19.2.2　一次函数(第4课时　一次函数的应用)

8/919.2.2一次函数第4课时一次函数的应用本节课主要是利用一次函数解决有关的实际问题，在此之前学生已学习了一次函数及其图象、认识了一次函数的性质．在前面学习一元一次方程和二元一次方程组时也见识过大量的实际问题，所以具备了从实际问题中获取信息，并借助这些信息分析问题、解决问题的基础．但由于初中学生的年龄特点，他们认识事物还不够全面、系统，所以还需通过具体实例（即本节课的学习）来进一步加强他们这方面的能力，学生在本节课中通过对材料信息的识别与分析，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生数形结合能力和数学应用能力．【情景导入】购买某品牌荔枝，付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种荔枝比分三次每次购买1千克这种荔枝可节省多少元？【说明与建议】说明：本题目具有三个特点，一是用一次函数解决实际问题，二是函数图象作为研究问题的重要手段，三是分段函数．由此题可以呈现出本节课学习的主要内容．建议：教师呈现问题后，引导学生思考以下问题：（1）图中的函数图象与常见的一次函数图象有何不同之处？（2）每部分能用不同的函数解析式表达吗？（3）一次购买3千克这种荔枝应利用哪个函数解析式计算？（4）分三次每次购买1千克这种苹果应利用哪个函数解析式计算？（5）最后的问题应如何解决？【置疑导入】小明的爸爸用50万元购进一辆出租车（含经营权），在投入营运后，每一年的总收入为18.5万元，而各种费用的总支出为6万元；（1）设该车营运x年后开始赢利，赢利y万元，写出y与x之间的函数解析式；（2）问该出租车营运几年后开始赢利？【说明与建议】说明：设置现实情境，激发学生的求知欲，启发学生利用所学知识解决实际问题．建议：引导学生认真读题，首先弄清楚数量之间的关系，以及关键词的含义，比如“赢利”是指总收入减去购车费及各种费用总支出之差为正值，并根据数量关系列出函数解析式，进一步转化为不等式进行解答，最后根据实际意义确定结果．命题角度1一次函数的简单应用1.某苹果种植合作社通过网络销售苹果，如图所示的线段AB反映了苹果的日销售量y（千克）与销售价x（元/千克）间的函数关系，已知1千克苹果的成本是5元，如果某天该合作社的苹果销售价为8元/千克，那么这天销售苹果可盈利多少元？解：设直线AB的解析式是y＝kx＋b.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5k＋b＝4000，,10k＋b＝1000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－600，,b＝7000.))∴y＝－600x＋7000（5≤x≤10）.当x＝8时，y＝－600×8＋7000＝2200.∴这天销售苹果可盈利2200×（8－5）＝6600（元）.命题角度2分段函数的应用2.图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），则他从家到机场需要多少小时？解：设当x>3时，y与x的函数关系式为y＝kx＋b，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝13，,10k＋b＝34，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3，,b＝4.))∴y＝3x＋4（x>3）.当y＝64时，3x＋4＝64，解得x＝20.20÷60＝eq\f(1,3)（小时），即他从家到机场需要eq\f(1,3)小时．课题19.2.2第4课时一次函数的应用授课人素养目标1.能根据实际问题中文字信息或图象信息，建立分段函数模型．2.能将简单的实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题．3.在应用一次函数解决问题的过程中，渗透数形结合的数学思想．教学重点根据题意列出一次函数解析式解决实际问题．教学难点分段函数的实际应用．授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾已知直线经过点（1，2）和点（4，5），求这条直线的解析式．解：（1）设这条直线的解析式为y＝kx＋b，把（1，2）与（4，5）代入，∴这条直线的解析式为y＝x＋1.复习旧知，为新授课的学习奠定基础．活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】在课堂上我们用投影仪播放幻灯片，需要用电，用电产生费用，如果你家用电150kW·h，去哪里缴费？为节约资源，电网采用阶梯收费，那么要带多少钱呢？以上收费包含了一种函数关系，今天我们一起学习一次函数的应用．利用学生非常熟悉的例子，自然引入本课时的学习．活动二：实践探究、交流新知【探究新知】【探究1】学校为了学生的健康发展，从七年级开始使用升降桌凳，这些桌凳可以根据人的身高调节高度．该校八年级兴趣小组的同学分组测量，发现每套桌凳有四档高度，测量得到如下数据：凳高x（cm）3740424547桌高y（cm）757882.585.5教学步骤师生活动设计意图根据数据可知，桌高y与凳高x成一次函数．

（1）求y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；

（2）在上面的表格中，有一个数据被污染，请求出被污染的数据．

解：（1）设桌高y与凳高x的关系为y＝kx＋b（k≠0），依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝75，,42k＋b＝78，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1.5，,b＝15.))

∴桌高y与凳高x的关系式为y＝1.5x＋15.

（2）当x＝37时，y＝1.5×37＋15＝70.5，

∴被污染的数据为70.5.师生活动：教师先出示第（1）小题，学生观察题目和表格，思考或解答以下问题：

①本题应采用哪种方法求一次函数解析式？

②怎么找到两个有序数对？写出根据你选用的两个有序数对求一次函数解析式的过程；

③你求得的一次函数解析式适合没有选用的其他有序数对吗？即其他有序数对满足求得的一次函数解析式吗？通过计算加以说明，然后出示第（2）小题，学生作答．【探究2】已知A，B两地相距30千米，B，C两地相距48千米，某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑车时间为x（时），离B地的路程为y（千米），则y与x的函数解析式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－12x＋30（0≤x≤2.5）,12x－30（2.5<x≤6.5）))师生活动：引导学生认真审题，思考或解答以下问题：①根据题意，画出线段示意图，标注地点与相应数据；②在此人骑车的行程中，y与x的函数关系始终一样吗？③如果不一样，在什么时候发生了变化（确定自变量的取值范围）？④在不同的路段，y与x之间的函数解析式分别是什么？

1.通过实际问题，指导学生通过对表格中数据的分析，确定一次函数解析式．2.让学生在问题的解答过程中，学习把问题逐步拆解的分析方法．

3.初步认识分段函数的实际意义，让学生明白自变量在不同取值范围内，所对应的一次函数解析式是不同的．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例（教材第94～95页例5）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打八折．（1）填写下表：购买量/kg0.511.522.533.54…付款金额/元2.557.51012141618…（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象．

【解答】（1）填表如表所示．

（2）设购买量为xkg，付款金额为y元．

当0≤x≤2时，y＝5x；

当x＞2时，y＝4（x－2）＋10＝4x＋2.

函数图象如图：

【变式训练】某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．设某户每月用水量为x吨，应缴水费为y元．

（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数解析式；

（2）若该城市某户4月份的平均水费为每吨2.8元，求该户4月份用水多少吨？解：（1）当x≤20时，y＝2.5x；

当x>20时，y＝3.3（x－20）＋2.5×20＝3.3x－16.

（2）∵该户4月份的平均水费为每吨2.8元，

∴该户4月份用水超过20吨．

设该户4月份用水a吨，则

2.8a＝3.3a－16，解得a＝32.

答：该户4月份用水32吨．师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．1.通过设置具体的实际问题背景，培养学生在复杂的问题情景下解决问题能力．2.进一步加强学生应用一次函数（分段函数）解决实际问题的能力，并感知此类问题的现实意义．教学步骤师生活动设计意图活动四：课堂检测【课堂检测】1.声音在空气中传播的速度y（m/s）是气温x（℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温的音速：气温x（℃）05101520音速y（m/s）331334337340343（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）气温x＝23℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相距多远？

解：（1）设y＝kx＋b，将（0，331），（5，334）代入，（2）当x＝23时，y＝35×23＋331＝344.8，

∴5×344.8＝1724（m）.

答：此人与烟花燃放地相距约1724m．

2.小明在暑期社会实践活动中，从批发市场购进若干荔枝到市场上去销售，在销售了40kg之后，余下的荔枝降价全部售完，销售金额y（元）与售出荔枝的重量x（kg）之间的关系如图所示．请根据图象提供的信息解答以下问题：（1）①降价前售出荔枝的价格为16元/kg；②降价前销售金额y（元）关于售出荔枝的重量x（kg）的函数解析式为y＝16x；（2）降价后的价格是多少？降价多少元？（3）小明销售了46kg，销售金额是多少元？解：（2）（760－640）÷（50－40）＝12（元/kg），16－12＝4（元）.答：降价后的价格为12元/kg，降价4元．（3）设降价后的函数解析式为y＝kx＋b.把（40，640），（50，760）代入函数解析式，得∴函数解析式为y＝12x＋160.把x＝46代入上式，得y＝712.答：小明销售了46kg，销售金额是712元