2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高一下学期3月调研考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高一下学期3月调研考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=1,2，b=x,−1，若向量a//A.2 B.12 C.−122.若cos(π4−α)=4A.−725 B.1825 C.73.已知向量a，满足a=1，b=2，a，夹角为3π4，则在a上的投影向量为(

)A.−2 B.2a C.4.在▵ABC中，若sin(A−B)+sinC=0，则▵ABC是A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形5.已知sin(α+β)=15，sin(α−β)=1A.1 B.14 C.−146.一艘船在A处，灯塔S在船正北方向，船以100海里/小时的速度向北偏东30°航行，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船南偏西75°方向上．此时灯塔S与船B之间的距离为(

)海里A.25(6−2) B.25(7.如图，在直角▵ABC，∠ACB=90∘，AC=1,BC=3，点E，F是边BC上两个三等分点，则cos∠EAF=(

)A.1010 B.31010 8.在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若asinBcosC+csinBcosA=A.(1,32) B.(32二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列化简结果是12的选项为(

)A.22sin105∘+10.下列命题正确的是(

)A.在▵ABC中，A<B是sinA<sinB的充要条件

B.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,B=π6,b=233，则A=π3

C.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=π11.在▵ABC中，点D,M分别满足AB=3AD,BC=2MC,AM与CD相交于点A.AF=12AM

B.若AB=4,AC=2,∠BAC=π3，则AM=5+23

C.S▵AFD:三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a，b满足a=1，b=3，且a⋅(a−3b)=3，则a13.cos1014.如图所示，已知点G是▵ABC的重心，过点G作直线MN与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AB=xAM，AC=yAN，则x+y=

；x四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知a=4，b=2，且a与b的夹角为(1)求a+2(2)若向量2a−λb⊥16.(本小题12分)已知tan((1)求tanα(2)求12(3)求2α−β的值．17.(本小题12分)如图，在▵ABC中，已知B=π4，D是边BC上一点，AD=10，AC=14，(1)求cos∠ADC(2)求AB的长；(3)求▵ABC的面积．18.(本小题12分)已知函数fx(1)求f(x)的周期及在(0,π(2)已知锐角▵ABC中，BC=22，且▵ABC的面积为3，f(A)=3219.(本小题12分)我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点(以下简称“T点”).通过研究发现三角形中的“T点”满足到三角形三个顶点的距离和TA+TB+TC最小.当▵ABC的三个内角均小于120∘时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120∘的点O即为“T点”；当▵ABC有一个内角大于或等于120∘时，最大内角的顶点为“T(1)若3①求A；②若bc=4，设点P为▵ABC的“T点”，求PA⋅(2)若acosB−bcosA=c，设P点为▵ABC的“T点”，PB+参考答案1.C

2.C

3.C

4.C

5.D

6.A

7.B

8.B

9.AB

10.AC

11.AC

12.−213.2

14.3

；315.(1)a∴a所以a+2(2)由2a−λb即2λa∴32λ+4×6−λ2∴λ=−1或λ=6．

16.(1)由tanπ4+α(2)由(1)得12(3)依题意，tan2α−β由tanα=12，α∈(−π2,π2)所以2α−β=π

17.(1)在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理可得：cos∠ADC=(2)因为cos∠ADC=−1所以∠ADC=2π3，所以在▵ABD中，AD=10，B=π4，由正弦定理ADsinB=(3)在▵ABD中，B=π4，∠ABD=π在▵ABD中，由正弦定理BD可得，BD=5所以BC=BD+DC=5S▵ABC

18.(1)fT=2π因为x∈0,π2，所以2x−所以fx在0,π2(2)因为▵ABC为锐角三角形，所以A∈0,π2又fA=sin2A−π因为S=3=在▵ABC中，由余弦定理得8=b2+因为AT为BC边上的中线，所以AT=所以AT2所以AT=2即BC边上的中线AT的长为2

19.(1)①在▵ABC中，由正弦定理得3∵B=π−(A+C)，有sinB=33∵sinC≠0，∴tan∴A=π②由①知A=π3，则▵ABC的三个角都小于由“T点”定义知：∠APB=∠BPC=∠APC=120设PA=x，PB=y，PC=z12xy⋅所以PA=xy⋅−(2)由acosB−bcos有sin(A−B)=sinC，∵A,B,C均为三角形内角，或A−B+C=π，即A=B+C=π−A，∴A=π由点P为▵ABC的“T点”，得∠APB=∠BP