多模态信号处理基础 课件 第2章 数据采集基础知识

线性时不变系统描述线性时不变系统描述1.连续时间系统与离散时间系统对比

LTI连续系统

LTI离散系统变量tk函数输入f(t);输出y(t)输入f(k)；输出y(k)基本信号求导微分差分系统描述微分方程差分方程LTI（LinearTimeInvariant）系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微(差)分方程。这种方法是在时域内进行的，比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。变量和函数：线性时不变系统描述v连续时间系统离散时间系统基本信号：线性时不变系统描述

一阶差分

微分与差分：线性时不变系统描述一阶后向差分一阶前向差分：

f(k)=f(k+1)–f(k)和称为差分算子，无原则区别。本课程主要用后向差分。差分的性质：线性时不变系统描述

常系数线性微分方程与差分方程：

阶次线性时不变系统描述

线性时不变系统描述

+

++LR

C

建立并求解线性微(差)分方程线性时不变系统描述

+

+

线性时不变系统描述2.线性时不变系统的特性

LTI连续系统

LTI离散系统经典解零输入+零状态卷积线性：可分解性、零状态线性和零输入线性

微分方程经典解请问同学们是否预习了我发布的微分方程经典解知识？是否需要老师讲解？已预习，但有些知识点不明白，需要讲解。已预习，已掌握，不需要讲解。没预习，需要讲解。没预习，但该知识掌握好，不需要讲解。ABCD提交投票最多可选1项微分方程经典解1.n阶线性时不变系统的描述

方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。

若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。微分方程经典解齐次解：2.求解微分方程经典法微分方程的经典解：完全解=齐次解+特解。

由特征方程→求特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。

微分方程经典解

解：系统的特征方程为

特征根

对应的齐次解为

重根微分方程经典解特解：

F（常数）（特征根均不为0）

P（常数）

（有r重0特征根）

微分方程经典解

微分方程经典解代入微分方程可得

全解为:

将初始条件代入，得

微分方程经典解解得:

最后得微分方程的全解为:

微分方程经典解3.响应的划分自由响应＋强迫响应(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)

例2：描述某系统的微分方程为

作答正常使用主观题需2.0以上版本雨课堂

例2：描述某系统的微分方程为

主观题10分0-到0+的问题0-到0+的问题1.起始点的跳变

0+状态

是不是等于

0-到0+的问题一个具体的电网络，系统的状态就是系统中储能元件的储能情况。

一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。

0-到0+的问题当系统用微分方程表示时，系统的到状态有没有跳变取决于微分方程右端是否包含及其各阶导数项。

0-到0+的问题2.冲激函数匹配法配平的原理：t=0时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该平衡(其它项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其它项）

也应该包含且仅有271,01,10，00,1ABCD提交单选题1分0-到0+的问题

利用系数匹配法分析：

(1)

0-到0+的问题

比较等式两边冲激项系数，有

0-到0+的问题

零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应

1.零输入、零状态概念

0-到0+的问题零输入响应和零状态响应

零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有对于零输入响应，由于激励为零，故有yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)零输入响应和零状态响应

全解=齐次解+特解

2.零输入+零状态求解零输入响应和零状态响应

该齐次方程的特征根为–1，–2，故

零输入响应和零状态响应

0-到0+

零输入响应和零状态响应

不难求得其齐次解为，其特解为常数3，

于是有代入初始值求得

零输入响应和零状态响应从零状态或零输入求解的过程依然是经典解的求解方法

全解=齐次解+特解(由方程右边的形式决定)

3.对线性系统的进一步理解经典解零状态+零输入冲击响应和阶跃响应冲击响应和阶跃响应1.冲击响应定义：系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用

表示。

冲击响应和阶跃响应冲击响应的数学模型：对于线性时不变系统，可以用一高阶微分方程表示令

则

冲击响应和阶跃响应

①与特征根有关②与n，m相对大小有关

由于及其导数在时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。

冲击响应和阶跃响应例1：求系统

的冲激响应解：将

求特征根

中不包含冲激项冲激响应

两种求待定系数方法：

奇异函数项相平衡法冲击响应和阶跃响应

设

∴

代入，

确定系数

得

冲击响应和阶跃响应法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数

将

代入原方程

根据系数平衡，得

冲击响应和阶跃响应法三：线性时不变性质法求系统

的冲激响应解：设满足简单方程

则由系统的线性时不变特性

冲击响应和阶跃响应1.阶跃响应定义：系统在单位阶跃信号作用下产生的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用

表示。

我们也可以根据线性时不变系统特性，利用阶跃信号和冲击信号的关系求阶跃响应。

冲击响应和阶跃响应

阶跃响应求解1）经典解2）线性性质求解经典解=齐次解+特解卷积积分(1)卷积积分1.信号的时域分解与卷积积分任意信号的时域分解：

卷积积分任意信号作用下的零状态响应：LTI系统f(t)

根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)由时不变性：δ(t-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t-τ)由齐次性：f(τ)h(t-τ)由叠加性：

卷积积分卷积积分的定义：已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分

为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。

卷积积分阶跃函数确定积分限：2.卷积积分的计算由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积的积分限会有所变化。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。

1、列写KVL方程：2、冲击响应为：3、

+_R=1ΩL=1Hi(t)u(t)卷积积分

4、定积分限：

⇒

⇒

卷积积分

2

0

200

卷积积分(2)卷积积分图解法求解：用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出积分限尤为方便准确，用解析式法作容易出错，最好将两种方法结合起来。卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘积：f1(τ)f2(t-τ)（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。

注意：t为参变量。

卷积积分

例1.已知

,

τ0-111f1(τ)f2(-τ)

0-3τt-3f2(t-τ)

0τtt0-111f1(t)f2(t)

03t左+，右-？卷积积分浮动坐标：下限上限t-3t-0-11f2(t-

)f1(

)τt：移动的距离t=0f2(t-

)

未移动t>0f2(t-

)右移t<0f2(t-

)左移

0-11f1(τ)

卷积积分两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0

0-11f1(τ)τ1卷积积分

0-11f1(τ)τ1

两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限-1，上限t

，t

为移动时间;

时卷积积分

11-10t-3t

时卷积积分

11-10t-3t

时卷积积分

11-10t-3t

时

即卷积积分

其它t

11-10t03t2-10124t卷积积分的性质卷积积分的性质1.代数性质交换律：

证：

得：卷积积分的性质

分配率：

结合率：

卷积积分的性质系统并联

系统并联，框图表示：

结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。(分配率)

卷积积分的性质

系统并联，框图表示：结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。

系统级联(结合率)

卷积积分的性质2.与冲激函数或阶跃函数的卷积

证：

证：

卷积积分的性质3.卷积的微积分性质

证：

上式

证：

上式

在

的前提下，

卷积积分的性质4.卷积的移位性质若

则

求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。三者常常结合起来使用。卷积积分的性质例1：

如图，

求解：

由于

依据时移特性，有

LTI离散系统响应1.经典解法LTI离散系统响应

齐次解：

齐次方程

特征方程

即LTI离散系统响应根据特征根，齐次解的两种情况1.无重根

2.有重根

n个待定系数LTI离散系统响应特解：特解的形式与差分方程右边的形式(激励)类似

F（常数）

P（常数）（特征根均不为0）

（有r重0特征根）

LTI离散系统响应

齐次解

代入初始条件解得：

全解：

2.零输入+零状态LTI离散系统响应

零输入响应：输入为零，差分方程为齐次方程零状态响应：初始状态为0，即齐次解形式：

求解方法经典法：齐次解+特解卷积法

初始条件：离散系统经典解

LTI离散系统响应

特征根:

LTI离散系统响应

LTI离散系统响应

分别求出齐次解和特解，得代入初始值递推得

例2：描述某系统的微分方程为

单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应1.单位序列响应系统

定义：单位序列响应和阶跃响应

根据线性时不变性，

单位序列响应和阶跃响应2.单位阶跃响应系统

定义：单位序列响应和阶跃响应

单位阶跃响应求解1）经典解2）线性性质求解经典解=齐次解+特解

单位序列响应和阶跃响应两个常用的求和公式：

单位序列响应和阶跃响应

由

卷积和的定义与计算卷积和的定义与计算1.卷积和f(-1)f(k)f(1)f(0)f(2)f(i)………-1012ik序列的时域分解：

卷积和的定义与计算任意序列作用下的零状态响应：LTI系统

根据h(k)的定义：

由时不变性：

由齐次性：由叠加性：

卷积和的定义与计算

卷积和的定义：

注意：求和是在虚设的变量

i下进行的，i为求和变量，k

为参变量。结果仍为k

的函数。

卷积和的定义与计算

2.卷积和的计算由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷积和的累加限会有所变化。卷积和中累加限的确定是非常关键的。

卷积和的定义与计算卷积的作用：解法一：经典解=齐次解+特解初始值特解形式由差(微)分方程右边的形式决定解法二：全解=零输入+零状态齐次解+特解齐次解解法三：全解=零输入+零状态卷积和(积分)齐次解线性性质

线性系统信号分解

LTI系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微(差)分方程。卷积和的计算与性质卷积和的计算与性质卷积过程可分解为四步：（1）换元：k换为i→得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘积：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i从–∞到∞对乘积项求和。注意：k为参变量。

图解法求解：卷积和的计算与性质

解：

f2(2–i)iiii