数学-湖南省2025届高三下学期“一起考”大联考（模拟二）试题+答案

2025届高三“一起考”大联考(模拟二)(时量：120分钟满分：150分)命题人：毛水一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x²-2x-3≤0},B={xeN|2-x≥0},则A∩B=()A.{1}B.{0,1}c.{0,1,2}D.{12.以y=±2x为渐近线的双曲线可以是()BA.1B.√3C.-√4.若tana=2tanβ,,则sin(a-β)=()AA人的名次排列的情形有()6.已知a∈R,函数.在R上没有零点，则实数a的取值范围是()c.(1,+o)u{0}D.(1,+0)u{0}7.已知某正三棱柱外接球的表面积为4π,则该正三棱柱体积的最大值为()二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.平面ABC垂直的是()三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.态度不喜欢喝茶喜欢喝茶35岁以上(含35岁)35岁以下a(2)设AB=1,且D是边BC的中点，求当∠CAD最大时，△ABC的面积.17.(15分)在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,PA⊥平面PBC.(1)求证：PBIBC;(2)若二面角P-AC-B的余弦值为,且AB=2,BC=√2,求PA.18.(17分)(1)当a=1时，求f(x)的单调区间与极值；(2)若f(x)≥0恒成立，求a的值；(3)求证：19.(17分)已知点F₁(-1,0),F₂(1,0),动点T满足|TF₁|+|TF₂(1)求C的方程；(2)直线l:x=4与x轴交于点M,B为1上的动点，过B作C的两条切线，分别交V轴于点P,Q.②ON经过B,P,Q三点，是否存在点B,使得∠PNQ=90°?若存在，求BM|;若不存在，请说明理由.2025届高三“一起考”大联考(模拟二)·数学1.C解析：由题意可得A={x|-I≤x≤3},B={3.D解析：(a+5)·(a-b)=a²-b²=laP-bP=[(-√3)²+(-1²,故选B.6.B解析：当x≤0时，0<e*≤1,若e*=-a无解，则a≥0或a<-1;综上，实数a的取值范围是(-0,-1)u{0}.故选B.令,则f'(x)=4x³-2x³=-2x'(x-√2)等号.a₂6=1,a₂7=2,a₂8=3,a₂9=4对于A,若z₁=Zz₂,则z₁=c-di,故Z₁Z₂=c²+d²∈R,故A正确；2|=a²-b²+2abil=√(a²-b²)²+4a²b²=√(a²+b²)同理23|=lz₂²,所以z₁²=|z₂对于A,取CA的中点为0,连接EO,BO,由中位线的性质可知：EO//BD,EO=BD,所以四边形BDEO为平行四边形，所以DE//BO,又BOc平面ABC,DEc平面ABC,所以DE//平面ABC,故A正确；对于B,设AB,DE的交点为0,连接CO,由正四棱锥的结构特征可知：又EDIAB,CO,AB为平面ABC内两条相交直线，所以直线DE⊥平面ABC,故B错误；对于C,设棱长为2,DE=DA+AE,所以DE·AC=(DA+AE)·AC=DA·AC+AE·AC=1×2×cos120°+2×2所以AC与DE不垂直，所以直线DE不与平面ABC垂直，故C正确；ED·AC=(EF+FD)·(AF+FC)=EF·AF+FD·AF+EF.y=txió/-gux)令,整理得e²x-2e*-1>0,又因为x₁+x₂=0,所以x₁+x₂+x₃>In(1+√2),故D正确.12.3√2解析：由3"=6=c可知c>0,a=log₃c,b=log₆c,,又f(x₁)=0,f(x₂)=√3,故答案为1.由消去V并化简整理得3x²-20x+12=0,易得△>0,,则则所以X的分布列为X012P16.解析：(1)由二倍角公式得.所以所以(2)由(1)及题设，有AC=BC=2CD,的最大值为此时,当且仅当时，等号成立.故AD²+CD²=AC²,可得△ACD为直角三角形且.又由(1)可得△ABC为正三角形，因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PEc平面PAB,PEIAB,所以BC⊥平面PAB,又PBc平面PAB,所以PB⊥BC.(2)法1:过E作EFIAC于F,连接PF.所以∠PFE即为二面角P-AC-B的平面角，所以,tan∠PFE=2√2.又由(1)可得PAIPB,BCIAB,设∠PAB=θ,所以PA=2cosθ,PE=2cosθsinθ,AE=2cos²θ,所以法2:由(1)可得PAIPB,BCIAB.如图，以B为原点，BA,BC所在则A(2,0,0),c(0,√2,0),P(2-2cos²0,0,2cosOsine),所以AC=(-2,√2,0),AP=(-2cos²e,0,2cosSsine).设平面ACP的法向量为则即在x=0处取得极小值0,无极大值.(2)由题意得g(a)max=g(1)=0,所以Ina-(a-1)≤0.又Ina-(a-1)≥0,所以Ina-(a-1)=0,所以a=1.(3)证明：先证sinx<x(x>0),设h(x)=sinx-x(x>0),则h'(x)=cosx-1≤0,令,则1由△=64k²(t-4k)²-4(3+4k²)[4(t-4k)²-12]=0,得12k²-8tk+t²-3=0因为,所以BP,BF₂,BQ的斜率成等差数列.②法1:在y-t=k₁(x-4)中，令x=0,得yp=t-4k,所以P(0,t-4k₁),所以NP=(-2k,k₂-2,2k₂-2k₁),NQ=(-2k₁k₂-2,2k₁-2k₂),法2:在y-t=k₁(x-4)中，令x=0,得yp=t-4k,因此P(0,t-4k₁),在y-t=k₁(x-4)中，令x=0,得yp=t-4k₁,故P(0,t-4k₁),同理可得Q(0,t-4k₂), 所以,整理得t⁴+2t²-63=0,