人教版七年级数学下册同步讲义第14讲专题83实际问题与二元一次方程组(学生版+解析)

专题8.3实际问题与二元一次方程组

专题8.3实际问题与二元一次方程组

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1.审：分析好问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系，从中找出能够表示实际问题全部含义的

相等关系.要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现：

2.设：设未知数，一般求什么，就设什么为肛若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x表

示出来.有时直接设不容易设得话，可采用间接设；

3.找：找出能够表示应用题全部意义的•个相等关系：

4.歹U：根据这个相等关系列出方程；

5.解：解所列出的方程，求出未知数的值；

6.验：检验所求得的解是否符合题意；

7.答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）.

处理问题的过程可以进一步概括为：

典例：（2023•全国•八年级专题练习）7月4日，2020长白山地卜森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子

带着他的两个孩子一同参加了比赛.下面是两个孩子与记者的部分对话：

妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁.

哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄.

根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现什•哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？

方法或规律点拨

本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决.

巩固练习

1.(2023•浙江杭州•七年级期末)甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则()

A.甲比乙大6岁B.乙比甲大6岁

C.甲比乙大4岁D.乙比甲大4岁

2.(2023•云南昆明•模拟预测)10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的

2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是;v岁和)，岁，根据题意可列方

程组为()

y+10=6(x+10)

A

•[y-l()=2(x-IO)

y-10=6(x-10)

B.

y+l()=2(x+10)

Jj-10=6(x+10)

*ly+10=2(x-10)

Jy-10=2(.i-10)

,>,+10=6(x+10)

3.(2023・全国•八年级专题练习)一名学生问老师：“你今年多大了？〃老师风趣地说“我像你这样大的时候,

你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了"，则今年老师的岁数是.

4.(2023・陕西•陇县教学研究室七年级期末)六年前，甲的年龄是乙的年龄的3倍，现在甲的年龄是乙的年

龄的2倍，则甲比乙大岁.

5.(2023・山东•枣庄市第十五中学八年级阶段练习)弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁.〃

哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁.〃则哥哥的年龄是岁.

6.(2023・全国•八年级专题练习)今年(2023年)4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学

40周年校庆口，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是

云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95,而爸爸的年龄恰好比爷爷的

年龄小40.已知小明今年13岁，妹妹今年4岁.

(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？(要求用二元•次方程组解答)

⑵假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？

考点2：和差倍半问题

典例：（2023•贵州铜仁•七年级期中）某文具专卖店出售甲、乙两种自动铅笔，已知该店进货甲种自动铅笔4

支和乙种自动铅笔2支共需22元，进货甲种自动铅笔8支所需费用比进货乙种自动铅笔4支所需费用多4

元.

⑴请分别求出甲、乙两种自动铅笔的进价；

⑵已知专卖店将甲种自动铅笔每支提价1元出售，乙种自动铅笔提价20%出售，小静在该专卖店购买甲种

自动铅笔机（〃总0）支、乙种自动铅笔〃（论0）支，共花费24元，小静有几种购买方案？

方法或规律点拨

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列

出方程（组）求解.

巩固练习

1.（2023•浙江温州•七年级期中）疫情期间，某单位采购了50包口罩和30瓶消毒液，一共花费1633元，其

中消毒液的单价比口罩的单价多2元，求口旱的单价和消毒液的单价.设口罩的单价为x元，消毒液的单价

为y元，依题意可列方程组为（）

j50x+30v=1633|50x+30y=1633

x=y+2[y=x+2

30x+50y=l63330x+50y=1633

C.〈/D.S

x=y+2=x+2

2.（2023•江苏•赣榆汇文双语学校七年级阶段练习）一玻璃厂熔炼玻璃液，其原料由石英砂和长石粉混合而

成，要求原料中含二氧化硅70%.经过化验，石英砂中含二氧化硅95%,长石粉中含二氧化硅63%.要配制

3.2t原料，需石英砂，长石粉各多少？

3.（2023・广东•佛山市顺德区大墩初级中学八年级期中）为响应创建全国文明城市，某校决定安装垃圾分类

的温馨提示牌和垃圾箱，若购买1个温馨提示牌和2个垃圾箱共需270元，若购买2个温馨提示牌和1个

垃圾箱共需180元.

⑴求一个温磐提示牌和一个垃圾箱各需多少元？

（2）根据计划，该校需购买温馨提示牌和垃圾箱共60个，且温馨提示牌数量不超过垃圾箱数量的一半，应如

何购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

4.（2023・全国•八年级专题练习）4月22是世界读书日，甲、乙两名同学在读书日到来之际共购买图书22

本，其中甲同学购买的图书本数匕乙同学的2倍多1本.求甲、乙两名同学分别购买的图书本数.

3

5.（2023•重庆市育才中学七年级开学考试）甲、乙两仓库共存粮95吨，现从甲仓库运出存粮的从乙仓

库运出存粮的40%,这时甲仓库剩下的粮和乙仓库剩下的粮同样多，甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？

6.（2023•浙江杭州•七年级期中）神舟十三号飞船搭载实验项目中，四川省农科院生物技术研究所共有。粒

水稻种子，每粒种子质量大约0.0000325千克；甘肃省天水市元帅系苹果的5粒干燥种粒，每粒种子质量大

约0.002275千克，参与航天搭载诱变选育.

Q）用科学记数法表示上述两个数.

⑵若参与航天搭载这两包种子的质量相等，求的值.

a

⑶若这两包种子的质量总和为1.。4千克，水稻种子粒数是苹果种子粒数10倍，求小〃的值.

7.（2023•辽宁大连•七年级期末）物流公司用4型车和8型车运送物资，已知用2辆A型车和1辆4型车装

满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.

⑴求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

⑵该物流公司现有80吨货物需要运送，计划同时租用A型车〃辆，8型车8辆（每种车辆至少1辆且A型

车数量少于8型车），一次运完，且恰好每辆车都装满货物.若A型车每辆需租金100元/次，8型车每辆需

租金120元/次，请你设计出所有租车方案并选出最省钱的租车方案，求出此时最少租车费.

8.（2023•吉林・长春市绿园区教师进修学校七年级期末）小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，需要长

为0.8m的钢管100根，长为2.5m的钢管32根，并要求这些用料粗细相同且不能是焊接而成的.现钢材市

场的钢管每根长为6m.

⑴试问一根长6m的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空（余料作废）.

方法①：当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪根.

方法②：当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料根.

方法③：当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料根.

（2）用（1）中的方法②和方法③等裁剪多少根6m长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？小

明是这样考虑的：设用（1）中方法②裁剪X根6m长的钢管，用方法③裁剪），根6m长的钢管.由题意，

可列方程组，进而得到问题的解法，请帮助小明把过程补充完整.

解：设用（1）中的方法②裁剪x根6m长的钢管，用方法③裁剪），根6m长的钢管，

根据题意，得

9.（2023•河南商丘•七年级阶段练习）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方

程.

问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工

作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多

少？

小明所列方程：:小亮所列方程：4（A+2（））=X+4

4y=x+46

根据以上信息，解答下列问题.

⑴以上两个方程（组）中x意义是否相同？（填“是〃或"否"）；

（2）小亮的方程所用等量关系（填序号，"①每个小时生产的零件数〃或“②4个小时生产的零件数相

等"）；

⑶从以上两个方程（组）中任选一个求解，完整解答老师提出的问题.

考点3：方案决策问题

典例：（2023•河南•郑州市.第十九初级中学八年级期末）郑州”.20〃特大暴雨灾害，人民的生活受到了极大

的影响.“一方有难，八方支援〃，某市筹集了大量的生活物资，用4、8两种型号的货车，分两批运往郑州，

具体运输情况如表：

第一批第二批

4型货车的辆数（单位：辆）12

8型货车的辆数（单位：辆）35

累计运输物资的吨数（单位：吨）2850

备注：第一•批、第二批每辆货车均满载

⑴求4B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？

（2）该市后续又筹集了70吨生活物资，若想恰好一次全部运走，需要怎样安排两种型号的货车？有哪几种运

输方案？

⑶运送生活物资到受灾地区，运输公司不收取任何费用，但是一辆4型货车需油费500元，一辆8型货车

需油费450元，为了节约成本，运送上述70吨物资到郑州应选择哪种运输方案？

方法或规律点拨

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是:

（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各

数量之间的关系，求出选择各方案所需油费.

巩固练习

1.（2023•广东韶关实验中学七年级期中）某校计划为在校运会上表现突出的12名志愿者每人颁发一件纪念

品，李老师前往购买钢笔和笔记本作为纪念品，如果买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢

笔和4本笔记本，需220元.

⑴求钢笔和笔记本的单价；

⑵售货员提示：当购买的钢笔超过6支时，所有的钢笔打9折.设购买钢笔的支数为李老师购买纪念品

一共花了210元钱，求他可能购买了多少支钢笔？

2.（2023・浙江•乐清市英华学校七年级期中）自从上海发生新冠肺炎发生以来，社会各界携手抗疫，全国人

民积极捐助，共克时艰.温州市无偿捐助新鲜蔬菜120t运往疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆

车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）

车型甲乙丙

汽车运载量（t/辆）5810

汽车运费（元/辆）400500600

⑴全部蔬菜可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车一辆来运送：

（2）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？

⑶该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出运费最省时三

种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？

3.（2023・辽宁・大连高新技术产业园区普罗旺斯学校七年级期中）某公司筹集了120吨的救灾物资运往灾区，

现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载）.

车型甲乙丙

汽车运载量（吨/辆）5810

汽车运费（元/辆）200250300

⑴全部救灾物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车辆来运送;

⑵若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费4100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？

⑶为了节省运费，公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，分别求出三

种车型的辆数，并求出此时的运费.

4.（2023•浙江•萧山区高桥初级中学七年级期中）”当好东道主，文明迎亚运〃，本区对亚运场馆附近的主干

道进行了改造，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方1760m3,现决定向某大型机械租赁公

司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：

租金（单位：元/台•时）挖掘土石方量（单位：必3/台•时）

甲型190160

乙型260240

⑴若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多

少台？

⑵如果每小时支付的租金不超过2000元，乂恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？

5.（2023・河北•石家庄外国语教育集团七年级期中）在石家庄外国语学校组织的读书节活动中，为帮扶山区

学校贫困同学，某班班长代表班级购买了一些学习用品，他与学习委员的对话如图所示：

⑴请根据图中信息，列出二元•次方程组，并通过求解说明班长确实算错了；

（2）若要将领来的700元全部用来买水笔，恰好花完.班长用列表法将所用方案进行了梳理:

单价6元笔的数量”05

单价1。元笔的数量67067

则满足条件的所有方案共种，表中的最大值是.

6.（2023・陕西•商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）新型冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，

接触，还有气溶胶传播，所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常

有效的个人防护.为了做好个人防护，乐乐用40元钱买了48两种型号的医用外科I」罩（两种型号都买），

4型每包6元，B型每包4元，在40元全部用完的情况下，有哪几种购买方案？

7.（2023•福建・厦门市杏南中学七色级期中）某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球，

若购买2个足球和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元.

⑴求出足球和篮球的单价分别是多少？

⑵已知该年级决定用800元购进两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明.

8.（2023•上海理工大学附属初级㈡学期末）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属

球组成（•条棱用一根塑料棒，•个顶点由•个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三

种档次进行包装.

⑴该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有33名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者

金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？

（2）现某中学购买两种档次的正方体教具共100套（价格如表所示），

品种高档中档低档

价格（元/套）302010

若恰好用了1800元，请问该学校应该如何购买该教具？

9.（2023•贵州•仁怀市周林学校七年级期中）己知用2辆A型车和1辆3型车装满货物一次可运货10吨：用1

辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车。辆，B

型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）1辆A型车和1辆8型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

⑵请你帮该物流公司设计租车方案（即A、〃两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）.

10.（2023•吉林・长春博硕学校七年级阶段练习）某公司购买了一批物资并安排两种货车运送.调查得知，2

辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1900件；4辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输2200件，

⑴求1辆大货车和1辆小货车•次可■以分别满载运输多少件物资？

⑵若6辆小货车，5辆大货车均满载，共可运输多少件？

考点4：古典文化中的二元一次方程组

典例：（2023•全国•八年级专题练习）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；

牛二、羊五，直金卜六两.问牛、羊各直金几何？〃译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、

5只羊，值16两银子.问每头牛'每只羊分别值银子多少两？〃根据以上译文，提出以下两个句题：

⑴求每头牛、每只羊各值多少两银子？

⑵若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你帮商人设计一种购

买方案.

方法或规律点拨

本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等最关系是解题的关键.

巩固练习

1.（2023•河南・南阳市第四完全学校七年级期中）我国古代数学名著《孙子算经》中有•道题，原文是“今有

木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？"意思是：用一根绳子去量一

根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长.、，

尺，可列方程组为（）

y=x+4.5y=x+4.5x=y+4.5x=），+4.5

A.1B.111

—y=x-1—y=x+\万户y.l

2.（2023•全国•八年级专题练习）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳

四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？''意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将

绳了对折再量长木还剩余1尺，问K木多少尺？如果设长木长“尺、绳尺，则可以列方程组是（）

x-y=4.5[x-y=4.5（y-x=\[y-x=4.5

A.《1,B.I,C.S1D.\I

x——y=1—y-,r=1x——y=1—y-^=1

2'〔2/2'12J

3.（2023・福建•泉州市第九中学七年级阶段练习）《九章算术》中的“方程〃一章中讲述了算筹图，如图1.图

2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数外的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用

我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为匿类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）

IIIII-I

\_Il_li_II_I__=_T_/

图1

飞III=/

三下

图2

2x+3y=23[2x+3y=23[3x+3v=23[lLv+3y=23

A.,B.C.4D.

3x+4y=37'[3x+4y=32'[4x+3y=37'3x+y=32

4.（2023•河南•睢县第二中学七年级期中）《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十/E,共卖价钞五百七.四

/E绢价九十贯，三7E布价该五十.欲问绢布各几何?……”其大意是；今有绢与布30正，卖得570贯饯，4/E

绢价90贯，37E布价50贯，问绢与布各有多少.设绢有入冗，布有），JE，依据题意可列方程组为（）

x+y=30x+y=30

A..5090B.■9050

——x+——y=570—x+—y=570

43•

x+y=30x+y=30

C..9050一八D.<5090

—x+—y=370

34-34-

5.（2023・四川•成都七中八年级期中）我国古代很早就开始对一次方程组进行研窕，很多题目保留至今，如

《九章算术》中有这样的一道古代问题，”有大小两种盛酒的桶，一知5个大桶加上1个小桶可以盛酒15斛,

1个大桶加上5个小桶可以盛酒9斛，〃在本题题干中，用1个大桶和1个小桶共盛酒斛.

6.（2023•陕西•无八年级期中）《九章算术》中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不

足四、问人数、物价各几何？〃大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元,

少4元，问有人，该物品价值___________元.

7.Q023•山东・庆云县东辛店中学七年级阶段练习）【阅读材料】“九宫图〃源于我国古代夏禹时期的“洛书〃（如

图①），是世界上最早的矩阵，又称幻方.用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如图②）.

ooooooooo

492HS

3570m目

816Es

图①图②图③

（1）观察图②，根据九宫图中各数字之间的关系，我们可以总结出幻方需要满足的条件是

（2）若图③是一个幻方，求图中,b=

8.（2023•江西•寻乌县教育局教学研究室二模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，

余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将

绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？"如果设木条长x尺，绳子长），尺，可列方程组为

9.（2023•上海市梅陇中学九年级期中）《九章算术》中有一道题的条件是："今有大器五一容三斛，大器一

小器五容二斛.〃大致意思是：有大小两种盛米的桶，4大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加4小桶共盛2

斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛_________斛米.

10.（2023・全国•八年级专题练习）驴和骡子驮着货物走在路上，驴不停的埋怨自己驮的货物太重了，压得受

不了.骡子对驴说："你发什么牢骚啊！我驮的货比你重，如果你驮的货给我一袋子，那我驮的比你多一倍，

而如果我驮的货给你一袋子，咱俩驮的才一样多''请问你知道驴和骡子各驮了多少袋子货物吗？

11.（2023•江苏徐州•中考真题）《孙子算经》是中国占代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四

足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？〃译文：今有一种6头4脚的兽与一种

4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚.问兽、鸟各有多少？

根据译文，解决下列问题：

⑴设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为;

⑵求兽、鸟各有多少.

12.（2023•安徽•芜湖市第二十九中学二模）我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载有“多人共车"问题，原

文如下：“今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各儿何？"意思是：今有若干人乘车，每3

人乘1车，所乘车都坐满，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少

人，多少辆车？

考点5：行程问题

典例：（2023•全国•八年级专题练习）列方程组解应用题：

⑴有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队有10人，每支排球队12人，每名运动员

只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？

⑵小方、小程两人相距6km,两人同时出发相向而行，lh相遇；同时出发同向而行，小方3h可追上小程.两

人的平均速度各是多少？

方法或规律点拨

本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出对应的方程组是解题的关键.

巩固练习

L（2023•民大附中海南陵水分校七年级期中）甲、乙两人相距300米，若两人同时相向而行，则需3分钟

相遇；如果两人同时同向而行，那么半小时后甲追上乙，则甲、乙两人的速度是（）

A.55米I分,40米/分B.55米/分，45米/分

C.50米/分，45米/分D.50米/分，45米/分

2.（2023・全国•八年级专题练习）甲乙两辆小车同时从A地开出，甲车比乙车每小时快l（）km,结果甲车行

驶了40分钟到达了8地，而乙车比甲车晚5分钟到达8地，设甲车和乙车的速度分别为xkm：h,ykm/h,

则下列方程组正确的是（）

40454035

4O.r=45y—x=-y40.r=35y—x=­y

B.6060-0D.《6060

y-x=\0x-y=10

x-y=\0y-x=\0

3.（2023・全国•八年级专题练习）从甲地到乙地有一段长xkm的上坡与一段长），km的平路.如果保持上坡

每小时走3km,平路每小时走4km,卜坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需

42门in.根据题意，可列方程组为（）

—X+,-y=-5-4-一A-+—y=-4-2

3x+4y=543x+4y=423460、3460

A.«B.C.,「D.

5x+4y=425x+4y=54丝里金

〔5460|5460

4.（2023•内蒙古・霍林郭勒市第五中学七年级期中）A,B两地相距80km.一艘船从A出发，顺水航行4h

到B,而从8出发逆水航行5h到4,已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速

度的和与差，船在静水中的速度是km/h.

5J2023•黑龙江•桦南县第三中学七年级期中）甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时可追上甲；

若相向而行，2小时两人相遇.设甲、乙两人每小时分别走x千米，＞千米，则可列出方程组

6.（2023•江苏•七年级单元测试）A、6两地相距3千米,甲从A地出发步行到8地,乙从8地出发步行到A

地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍.

（1）求甲、乙每小时各行多少千米？

⑵在他们出发后几分钟两人相距L5千米（直接写出结果）？

7.（2023・山东•宗圣中学七年级阶段练习）张老师组织七年级（1）班的学生乘客车去环境自然保护区去参观，

前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，已知客车在平路上行驶的平均速度为60千米/时，在上坡路行驶

的平均速度为40千米/时.客车从学校到环境自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2时.

⑴求客车在平路和上坡路上各行驶多少时间？

⑵第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，问客车在下坡路行驶的平均速度是多少？

8.（2023•山东•邹城市第十一中学七年级阶段练习）已知A,8两地相距120千米，甲、乙两车分别从A,B

两地同时出发，相向而行，其终点分别为B,A两地，两车均先以每小时。千米的速度行驶，再以每小时。

千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等.

⑴若3=3〃，且甲车行驶的总时间为g小时，求。和〃的值：

Q

⑵若〃=10,且乙车行驶的总时间为g小时，求两车相遇时，离A地多少千米？

9.（2023・广东•狮山实验学校七年级阶段练习）随着新冠疫情的来临，为了合理利用防疫物资，省防疫指挥

部枳极在各个城市之间进行物资调配.4车从佛山出发运送物资到阳江，车从阳江出发运送物资到佛山，

他们沿同一条公路同时出发，匀速（%＞也）相向而行，途中两车在一个服务区相遇，休息了10分钟后，

又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离$（千米）和时间/（分钟）之间的关系图象如图所示，

请回答卜.列问题:

⑴图象中的自变量是，因变量是:

⑵佛山与阳江两地的距离是千米；

（3）A车每小时行驶多少千米？

⑷图象中。的值是多少？

10.（2023•黑龙江•逊克县教师进修学校八年级期末）周末,军军和弟弟从家出发，步行去逊克县图书馆学习.出

发2分钟后，发现弟弟的数学书忘记带了，弟弟继续按原速前往图书馆，军军按原路原速帮弟弟I可家取书，

然后骑自行前往图书馆，恰好与弟弟同时到达图书馆.军军和弟弟各自距家的路程），（m）与军军行程所用

时间x（min）之间的函数图象如图所示.

（2）求军军取书后），与x的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

⑶直接写出军军取书后与弟弟相距100m的时间.

1L（2023•湖南益阳•七年级期末）如图，中国海监船46,49在距离钓鱼岛220海里处，已知两船的航速如

下表所示：

最大航速经济航速

海监4616节14节

海监4915.2节14.5节

其中，一节等于1海里/时，如果海监46先以经济航速行驶若干小时后以最大航速沿图中箭头方向航线行驶

至的鱼岛，共行驶时间15小时，海监49比海监46迟出发半小时，以最大航速沿同一路线驶向妁鱼岛.问：

海监46

海监呼海里

⑴两船谁先到达钓鱼岛？说明理由；

⑵海监46经济航行和最大航速航行各多少小时？

⑶设海监46航行时间为，，求两海监船之间的距离S与，之间的函数关系式.

12.（2023・全国•八年级单元测试）小华从家里出发到学校去上学，前1路段小华步行，其余路段小华骑自行

车.已知小华步行的平均速度为60m/min,骑自行车的平均速度为200m/min,小华从家里到学校一共用

了22min.

⑴小红同学提出问题:小华家里离学校有多少m?前1路段小华步行所用时间是多少min?请你就小红同

学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答.

（2）请你再根据题目的信息，就小华走的“路程〃或〃时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问

不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组.

考点6：图形问题

典例：（2023•河南驻马店•七年级期末）聪聪手中有一块长方形的硬纸片，其中长比宽多10cm,长方形的周

长是100cm.

⑴求长方形硬纸片的面积；

⑵现在聪聪想用这块长方形硬纸片沿着边裁出一块长与宽的比为5：4,面积为520cm2的新纸片作为他用，

聪聪不知道能否裁得出来，正在发愁.明明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小

的纸片.〃你同意明明的说法吗？德聪能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

方法或规律点拨

本题考查了一元一次方程组的应用以及算术平方根的应用，掌握以上知识是解题的关键.

巩固练习

1.（2023•福建•漳州三中八年级期中）将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的一个大

的长方形，或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为2cm的小正方形，求小长方形的长和宽，

若设小长方形的长为mm,宽为jcm,则下列所列方程组正确的是（）

5x=3y（3x=5y（5x=3y[3x=5y

A.4B.'C.'D.

2x=y+2,[x+2=2y'[x+2=2y'[2x=y+2

2.（2023•内蒙古•乌拉特前旗第三中学七年级期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方

形墙砖的长和宽分别为x厘米和V厘米，则依题意列方程组正确的是（）

2x+2y=75[x+2y=752x-y=152x+y=75

y=3xB，[x=3y

y=3xx=3y

3.（2023•河北唐山•七年级期末）如图，A8CO为一长条形纸带，ABCD,将ABC。沿所折叠，A,D两

点分别与4,2对应，君士CFE—2士CFD',设NCFE=y0,根据题意可得（）

)，=2x,B.[)'=2二x=2y,x=2y,

x+2y=180[x+y=1802x+y=180x+y=180

4.；2023•吉林•前郭县一中七年级阶段练习）一副三角板按如图方式摆放，且NI的度数比N2的度数大54。,

B.54。C.72°D.70°

5.（2023•江西•南昌民德学校八年级期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对

称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2九-〃）,

其关于y轴对称的点尸的坐标为+则（加-〃严”的值为（）

EF

A.32023B.-1C.1D.0

6.（2023•山东临沂・七年级期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方

形如图（1）;小红看见了，说：“我也来试试〃.结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的E方形，中间

还留下了一个洞，恰好是边长为1mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（）

A.9mm2B.10nun2C.15nmrD.25mm2

7.（2023•北京•首都师范大学附属中学八年级期中）如图所示为两个形状、大小一样的小长方形拼接而成的

图形.己知A4=5,8=3.则小长方形的面积为

8.（2023・全国•八年级专题练习）如图，正方形A8C。由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一

个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1,

则大正方形A8CO的面积是.

9.（2023•河北邢台•八年级期末）现有300张完全相同的矩形纸片.一张纸片若按图1所示方式裁剪后，可

以围成•个无盖长方体，•张纸片若按图2的所示方式裁剪后，可以形成2个与前面无盖长方体搭配的盖

子，现先按图2所示的方式裁剪矩形纸片工张，再按图1所示的方式裁剪剩余纸片，其中盖子的数最不大于

图2

⑴直接写出搭配完后，剩余的无盖长方体的数量.（用含有4的代数式表示）.

⑵把搭配完的无盖长方体和有盖长方体进行包装后，放到网格平台进行销售，其中无盖长方体每个售价机

元，有盖长方体每个售价〃元，完全售出后，满足如下数据:

X（张）6090

销售后的总利润），（元）540510

①求y与x之间的关系式,

②求），的最小值;

10.（2023•吉林省第二实验学校七年级期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有•个大正方形和

四个一样的小正方形，小华、小雨分别用这些正方形设计出了图1，图2两种图案，根据图1,图2中所标

数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米?

图1图2

11.（2023・河南•辉县市第一初级中学七年级期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务,

为了确保质量，该企业进行试生产.他们购得规格是170cmx40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材

再按照裁法一或裁法二裁下A型与8型两种板材.如图所示，（单位：cm）

\B\B\

170

（裁;£z）

图乙

（1）列出方程（组），求出图甲中。与。的值.

（2）在试生产阶段，若将〃?张标准板材用裁法一裁剪，〃张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型

板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒.

①两种裁法共产生4型板材张，B型板材张（用也、〃的代数式表示）；

②当3OW〃区40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是个.（在

横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）

12.（2023•浙江杭州•七年级期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部

分）区域种植鲜花.

⑴如图1,大长方形的相邻两边长分别为60m和45m,求小长方形的相邻两边长.

⑵如图2,设大长方形的相邻两边长分别为〃和江小长方形的相邻两边长分别为x和

①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.

②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的求4和），满足的关系式（不含〃，b）.

考点7：营销问题

典例：（2023•浙江湖州•七年级期末）某水果销售商前往水果批发市场进货，已知苹果的批发价格为每箱40

元，橙子的批发价格为每箱50元.他花了3500元购进苹果和橙子共80箱.

⑴向苹果、橙子各购买了多少箱？

⑵该水果销售商有甲、乙两家店铺，因地段不同，每售出•箱苹果和橙子的获利也不同，甲店分别可获利

12元和18元，乙店分别可获利10元和15元.现将购进的80箱水果中的〃箱苹果和〃箱橙子分配到甲店，

其余的分配到乙店.由于口碑良好，两家店都很快卖完这批水果.若此次销售过程中销售商在甲店获利600

元，那么在乙店获利多少元？

方法或规律点拨

此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解题的关键.

巩固练习

1.（2023•广东•深圳市福田区外国涪学校八年级期中）某商场代俏甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为

12。元/件，售件为130元/件，乙种商品的进价为100元/件，售件为150元/件，若商场用36000元购进这

两种商品，销售完后可获得利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

2.（2023・四川•泸州市第二十八初级中学校七年级阶段练习）在某超市买6件4商品和3件8商品需要54

元，买3件A商品和4件8商品需要32元.为了促销，此超市决定对A、8两种商品打折出售，5两种

商品均打8折出售，此时小明买50件A商品和40件3商品，需要付多少钱？

3.（2023•重庆一中八年级阶段练习）今年8月，受高温影响，重庆多地突发山火.“山火无情人有情“，多家

企业积极履行社会责任，主动投身到防暑抗旱、森林防火工作中，合力共克时艰.某区工商联组织捐赠油

锯和水基灭火器共2.5万个，总价值1080万元.已知油锯的售价为每个600元，水基灭火器的售价为每个

18C元.

⑴本次捐赠中，油锯和水基灭火器的数量分别为多少万个？（请列二元一次方程组解决该问题）

⑵某企业计划捐赠90个油锯、120个水基灭火器，在采购时，商家为驰援山火救援主动让利，将油锯的售

价降低了〃2%,水基灭火器的售价降低了g〃?%,最终该企业捐赠的这批物资总价为62400元，请求出，〃的

值.

4"2023・湖南株洲•七年级期末）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具.据

了解，8只“冰墩墩〃和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩〃和20只“雪容融''的进价共计3100

元.

⑴求“冰墩墩”和“雪容融''两种毛绒玩具每只进价分别是多少元.

⑵若“冰墩墩”和“雪容融〃两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，该专卖店计划恰好用3500元购

进，请问专卖店共有几种采购方案，并选出利润最大的采购方案.

5.（2023•福建•漳州三中八年级期中）平和蜜柚是漳州市平和县的地方名果，已有500