高中数学人教新课标B版必修2-空间几何体的三视图、表面积与体积

送分专题（五）空间几何体的三视图、表面积与体积

［全国卷3年考情分析］

年份卷别考查内容及考题位置命题分析

空间几何体的三视图与直观图、面积的计1.“立体几何”在高考

卷I

算f中一般会以“两小一大”或

2017空间几何体的三视图及组合体体积的计“一小一大”的命题形式出

卷II

算不现，这“两小”或“一小”

卷m球的内接圆柱、圆柱的体积的计算主要考查三视图，几何体的

卷I有关球的三视图及表面积的计算表面积与体积，空间点、线、

空间几何体的三视图及组合体表面积的面位置关系（特别是平行与

卷n

计算厅6垂直）.

2016

空间几何体的三视图及组合体表面积的2.考查一个小题时，本小题

卷皿计算式9一般会出现在第4〜8题的

直三棱柱的体积最值问题位置上，难度一般；考查2

锥体体积的计算/6个小题时，其中一个小题难

卷I空间几何体的三视图及组合体表面积的度一般，另一小题难度稍高，

计算・Tu一般会出现在第10〜16题

2015空间几何体的三视图及组合体体积的计的位置上，本小题虽然难度

算工稍高，主要体现在计算量上，

卷n

三棱锥的体积、球的表面积、球与三棱锥但仍是对基础知识、基本公

的结构特征式的考查.

考点一,空间几何体的三视图

【题点•考法•全练］

1.已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为其俯视图是一个面积为1的正方

形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（）

A.1B.A/2

C.2D.272

解析：选C依题意得，题中的长方体的正视图和侧视图的高都等于地，正视图的长

是小,因此相应的正视图的面积等于gXg=2.

2.（2016•天潭高考）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得

到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）

解析：选B由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧（左）视图为图②.

①②

3.（2017•北京高考）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）

A.3rB.2小

C.2y［2D.2

解析：选B在正方体中还原该四棱锥如图所示,

从图中易得最长的棱为

ACi=^AC2+CC?=A/（22+22）+22=2®

［准解•快解・悟通］

看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体.（注：三视图中的

快审题

正视图也叫主视图，侧视图也叫左视图）

明确三视图问题的常见类型及解题策略

（1）由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意

准解

看到的部分用实线，看不到的部分用虚线表示.

题

（2）由几何体的部分视图画出剩余的视图.先根据已知的一部分视图，还原、推测

直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选择题，也

可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.

（3）由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确

三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.

考点二空间几何体的表面积与体积

[题点•考法・全练]

1.（2016•全国卷II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视

图，则该几何体的表面积为（）

A.207rB.247r

C.28?rD.327r

解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆

柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为/,圆柱高为瓦由图得r

=2,c=2nr=4n,h=4,由勾股定理得：I='\/22+(2^/3)2=4,5*=兀/+/+34=4汗+167t

+8n=28兀

2.（2017•云南11校跨•区训研）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（）

[=]0

正视图侧视图

俯视图

A.1B.2

C.3D.6

解析：选C依题意，题中的几何体是一个直三棱柱（其底面左、右相对），其中底面是

直角边长分别为1,2的直角三角形，侧棱长为3,因此其体积为gxiX2）X3=3.

3.（2017•浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位:

cm3）＞（）

正视图侧视图

Q

俯视图

B.]+3

C与+1D粤+3

解析：选A由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1,高为3的圆锥的

一半与一个底面为直角边长为也的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何

体的体积V=1xj7tXl2X3+|x^X^/2X^/2X3=^+1.

4.若正三棱锥4力CD中，ABLAC,且笈。=1,则三棱锥46CD的高为（）

A*B*

C.乎D.当

解析：选A设三棱锥A-8C。的高为瓦依题意得AB,AC,A。两两垂直，且A8=AC

=AD=^~BC=~^~,△BCD的面积为X1?=^^.由匕1a>=Vb-AC。得gSzksc。由=§S41CD,A3,

也

1以11

即-X--X解得h二坐,即三棱锥A-BCD的高人=乎.

34322

oo

5.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

“2-+-3T14-1

正视图侧视图

俯视图

A.28+6港B.60+12/

C.56+12^5D.30+6小

解析：选D如图，在长方体ABCDAIBIGA中，还原该三棱锥

P-BCD,易得8。=尸8=何，PD=2y［5,:.SAPBD=：X2木

又易得SABCD=；X4X5=10,SABCP=|XBCXPC=10,SAPC»=|XCDXCCI=10,:.

///

该三棱锥的表面积是30+6^5.

［准解•快解・悟通］

快审1.看到求规则图形的表面积（体积），想到相应几何体的表面积（体积）公式.

2.看到求不规则图形的表面积，想到几何体的侧面展开图.

3.看到求不规则图形的体积，想到能否用割补思想、特殊值法等解决.

1.活用求几何体的表面积的方法

⑴求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平

面化，这是解决立体几何的主要出发点.

（2）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先

准求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积.

解2.活用求空间几何体体积的常用方法

题

⑴公式法：直接根据相关的体积公式计算.

（2）等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容

易，或是求出一些体积比等.

（3）割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算

体积的几何体.

考点三多面体与球的切接问题

［题点考法全练］

1.（2017•全国卷田）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的

球面上，则该圆柱的体积为（）

解析：选B设圆柱的底面半径为r,则r2=l2-Q）2=i所以圆柱的体积V=1nXl

37r

=不

2.（2017•贵阳检测）三棱锥P-48C的四个顶点都在体积为竽的球的表面上，底面A8C

所在的小圆面积为16K,则该三棱锥的高的最大值为（）

A.4B.6

C.8D.10

解析：选C依题意，设题中球的球心为O、半径为£,△A5C的外接圆半径为〃则

,苧=5；",解得K=5,由几户=16兀，解得r=4,又球心O到平面45C的距离为"九一』

=3,因此三棱锥P-ABC的高的最大值为5+3=8.

3.半径为2的球0中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面）.当该正四棱

柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是.

解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为“、高为力，则有16=2<?+九222限

ah,即4。臼他,该正四棱柱的侧面积S=4ahW16\/i,当且仅当h=巾a=2吸时取等

号.因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是47rx22

-16/=16（兀一也）.

答案：165一啦）

［准解•快解・悟通］

快审题看到多面体与球的切接问题，想到是内切还是外接，想到球心位置和半径的大小.

掌握“切”“接”问题的处理方法

（1）“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要

准解先找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则多通过多面体过球心的对角

题

面来作截面.

（2）“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题.解决这类问题

的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

f专题过关检测L

一'选择题

i.如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（）

正视图侧视图

O

俯视图

合

ABCD

解析：选D先观察俯视图,由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧

视图可知选项D正确.

2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是（）

—2—

正视图侧视图

俯视图

9

2-

A.B.2

C,2D.3

解析：选D由三视图判断该几何体为四棱锥,且底面为梯形，高为匚故该几何体的

体积，=；X；X（l+2）X2Xx=3,解得x=3.

3.（2017•广州缥合测试）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线

画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体二）、二

积为小则该几何体的俯视图可以是（）

解析：选D由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2,

其底面为正方形，面积为2X2=4,因为该几何体的体积为:X4X2=§,满足

条件，所以俯视图可以为一个直角三角形.选D.

4.（2017•新强第二次适应性检测）球的体积为4由兀，平面a截球。的球

面所得圆的半径为1,则球心O到平面a的距离为（）

A.1Bm

C.小D.A/6

解析：选B依题意，设该球的半径为R,则有专火3=43见由此解得/?=小，因此

球心。到平面a的距离d=y]R2—l2=y[2.

B.（2小+6）JT+96

C.（44+4）兀+64

D.（44+4）4+96

解析：选D几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4,圆锥的高

为4,底面半径为2,几何体的表面积为S=6X42+nX22+rtX2X^42+22=（4Vs+4）7r+

96.

6.（2018届高三•西安八校联考）某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视

图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）

A,2

解析：选C依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a,

则斜边长为也”，圆锥的底面半径为半a、母线长为a,因此其俯视图中椭圆的长轴长为也a、

7.在棱长为3的正方体ABCfMiBiGOi中，尸在线段55上，且怒M为线段

31G上的动点，则三棱锥的体积为（）

A.1B.1

C.1D.与M点的位置有关

解析：选B•.•黑■=[,.,.点尸到平面3G的距离是d到平面8G距离的;，即为萼1

rU\/J

19193

=I.M为线段BiCi上的点，.,.SAMBC=3X3X3=5，/.VM-PBC=VP-MBC-TXTX1=r.

8.（2017•贵州适应性考试）如图，在正方体A3C0-481G"中，点P

是线段4G上的动点，则三棱锥P-BCD的俯视图与正视图面积之比的

最大值为（

A.1B.也

C.小D.2

解析：选D正视图，底面8,C,O三点，其中。与C重合，随着点尸的变化，其

正视图均是三角形且点尸在正视图中的位置在边BiG上移动，由此可知，设正方体的棱长

为。，则SE闽=%2;设4G的中点为0,随着点尸的移动，在俯视图中，易知当点尸在

0G上移动时，SML国就是底面三角形BCD的面积，当点P在。41上移动时，点尸越靠近

Alt俯视图的面积越大，当到达4的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，

所以学的最大值为畀=2.

S俯视用=。2,

3正视困2

9.（2017•石家庄一桃）祖胞是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，

即祖眶原理：“嘉势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，

被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体

积一定相等.现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、

图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖眠原理的两个几何体为（）

0.5R

①②③④

A.①@B.①③

C.D.

解析：选D设截面与底面的距离为心则①中截面内圆的半径为九则截面圆环的面

积为n（R2-h2）;②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为n（R—h）2;③中截面圆的半

径为R一号则截面圆的面积为“（/?一乡2；④中截面圆的半径为'R2-九2,则截面圆的面积

为兀（R2—〃2）.所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.

10.等腰△ABC中，AB=AC=59BC=69将5c沿SC边上的高A。折成直二面

角B-AD-C,则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为（）

20

A.57rB.

C.10nD.34n

解析：选D依题意，在三棱锥〃・AC。中，AD9BD,CD两两垂直，且AO=4,BD

=CD=3,因此可将三棱锥氏AC。补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4,

且其外接球的直径2R=*而4不=牺，故三棱锥B-ACD的外接球的表面积为4n/?2=

347r.

11.（2017•郑州第二次反・•颈测）将一个底面半径为1,高为2的圆锥形工件切割成一个

圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为（）

A—

'.27

-九

C.TD.于

解析：选B如图所示，设圆柱的半径为r,高为x,体积为V,由

题意可得£=[7^,所以x=2—2r,所以圆柱的体积V=71^（2—2r）=Inij2

x/

2

-

-#)(0<rvl),则V'=2n(2r-3r2),由2加(2/-3/)=0,得r3

柱的最大体积Vmax=2n(^)2-d)3]=27,

12.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上，54_1_平面ABC,SA=2小,

AB=1,AC=2,N8AC=60。，则球。的表面积为（）

A.4nB.127r

C.167rD.647r

解析：选C取SC的中点E,连接AE,BE,依题意，BC2=AB2+AC2§

-lAB-ACcos60°=3,：.AC2=AB2+BC1,即A5_L8C.又&4_L平面ABC,:.PX

SA±BC,又SAQA5=A,...BCJ■平面S48,BC±SB,AE=^SC=BE,:.

点E是三棱锥S-ABC的外接球的球心，即点E与点O重合，OA=；SC=；