高中数学：高一期中复习专题-函数的图象研究

高一数学期中复习专题一

函数图像研究

【学习目标】

1.会利用基本初等函数图像、函数性质作出函数图像；

2.会利用函数图像求解简单的函数综合性问题

【基础回顾】

1.一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数的图像是什么？

2.函数的单调性与奇偶性分别有怎样的函数图像特点？

3.函数的定义域、值域、零点在图像上如何反映？

【例题讲解】

<nlx-1|

例1：.画出函数y=（目的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值

域.

/31),

解：原函数变形为y=«

团(x<1),

显然函数y=Q）冈是偶函数,

先画出y=G）x（xNO）的图象，再作出其关于y轴对称的图象，即得y=g）冈

的图象，再向右平移1个单位，如图所示.

,,⑴伙一1|,,_

由图象可知，函数y=[jJ在（-8,1）上是增函数，在（1,十8）上是减

函数，其值域是（0,1].

变式练习：利用函数y=f(x)=2x的图象，作出下列各函数的图象:

(1)f(x-1);(2)f(|x|)；(3)f(x)-1；(4)-f(x);(5)|f(x)-1|.

【解】利用指数函数y=2x的图象及变换作图法可作出所要作的函数图

象.如图所示.(5)

作函数图象的方法

(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线.

(2)变换法——熟知函数图象的平移、对称、翻转.

①平移：y=f(x)左加右减＞y=f(x士加；

y=f(x)上加下减＞y=f(x)土k.(其中h＞0,k＞0)

②对称：y=f(x)关于'丫轴对称＞y=f(—x)；

y=f(x)关于'X轴对称＞y=­f(x)；y=f(x)关于原点对称＞y=-f(-x).

(3)利用变换作图法作图要注意：

①选择哪个函数作为起始函数.

②平移的方向及单位长度.

此外，函数y=f(|x|)的图象关于y轴对称；函数y=|f(x)|的图象可由函数y

=f(x)的图象保持在x轴上及其上方的部分不动，把x轴下方的部分翻折到x轴

上方得到.

例2：设函数f(x)=min｛|x-2|,xt|x+2|｝，其中min｛、y,z｝表示&y,z中的最小者.下列说法

错误的()

A.函数f(x)为偶函数B.若x£[l,+oo)时，有f(x-2)Wf(x)

C.若x£R时，f(f(x))<f(x)D,若x6[-4,4]时，|f(x-2)|>f(x)

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据定义作f(x)的图像，然后依据图像逐个检验即可.

【详解】在同一坐标系中画出y=|x-2|,y=x2,y=|x+2|的图像(如图所示),

故f(x)的图像为图所示.

f(x)的图像关于y轴对称，故f(x)为偶函数，故A正确.

由图可知x£[l,+oo)时，有f(x-2)Sf(x),故B成立.

从图像上看，当x£[0,+oo)时,有Owf(x)wx成立，令t=f(x),则t",故f[f(x)]Sf(x),

故C成立.

取x=|，则《-；)=©=；,g)=；,|f(x-2)|<f(x),故D不成立.

综上，选D.

【限时训练】

1.函数f(x)=x2—2冈的图象是()

x2—2xx0

解析：选cf(x)=2“'二二分段画出，应选C.

[x2+2x,x<0,

2.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则

■等于()

A.一彳B.1

c2-2

C.-3D.3

X—10VxV1

解析：选B由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)=,二一二八所

[x+1,—1<x<0,

以GH--一系所以《硼=｛一患一知4

x~+xx>0

3.若函数/(x)=：'—(ae/?)为偶函数，则下列结论正确的是()C

x"-ax,x<G

A./(«)>/(2«)>/(0)B.f(a)>f(0)>f(2a)

C./(2a)>/(«)>/(0)D./(2a)>/(0)>f(a)

4.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时

价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表示股票开始买

卖后2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元.下面

给出了四个图象，实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是()

C［根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，

对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项

C中的图象可能正确.］

5.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(一°°,0］上是增函数，若f(a)<f(2),

则实数a的取值范围是()

A.aW2B.a2—2

C.-2<a<2D.aW—2或32

解析：选D.因为y=f(x)是偶函数，且在区间(一8,0］上是增函数，所以y

=f(x)在区间(0,+8)上是减函数,由f(a)4f(2),得f(|a|)Wf⑵,所以|a|N2,得aw

一2或在2,故选D.

【课后作业】

Y

1.函数必=俞-2*的图象大致形状是()

2xx>0

解析：选B由函数£仅)=裔-2*='\可得函数在(0,+8)上单调递

II、2,xv。，

增，且此时函数值大于1；在(一8,0)上单调递减，且此时函数值大于一1且小

于零.结合所给的选项，只有B满足条件，故选B

2.函数y=abl(a>1)的图象是(

解析：选B该函数是偶函数.可先画出注。时，y=ax的图象，然后沿y

轴翻折过去，便得到xvO时的函数图象.

3.函数丫=a一1的值域是()

A.[1,+~)B.[0,+~)

C.(—30]D.(-1,0]

窗T，XM，

解析：选D将函数转化为分段函数，则y=〈图象如图

x<0,

所示,

所以函数的值域为(-1,0].

4.已知y=/(x)是定义在R上的偶函数，当x»()时，/(x)=f一2x,则不等式

〃2xT)>0的解集为()

A.17，-加(|，+8)B.18,一|'g引

C.(-00,-5)U(3,+oo)D.(ro,-3)U(3,+oo)

4【解析】因为y=/(x)是定义在R上的偶函数，当x2()时,/(x)=f-2x

令尤<0,贝！Jr>0,所以满足〃T)=>+2X,而偶函数满足/(x)=/(-x)

x2—2x,x>0

所以当尤<0时，f(x)=f(-x)=^+2x,即/(x)h

x2+2x,x<0

由函数图像可知，若/(2x-I)>0成立,

,13

则满足2x-l<-2或2x-l>2,解得x<或x>”

22

即〃2x-l)>0的解集为卜寸故选:A

5.已知函数f(x)=x2-3x-3,xe[O,4],当x=a时，f(x)取得最大值b,

【答案】D

【解析】由题意，函数f(x)=x2-3x-3,XG[O,4],

对称轴为x=1.5,开口向上，最大值为f(4)=1,所以a=4,b=1,

可得函数g(x)=。产]，相当于把y=(：再向左平移1个单位，所以D选项复

合题意.

故选：D.

6.(多选题)当时，函数丁=奴+匕和y="'的图像不可能是()

c.D.

7.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x<0时，f(x)=x2+4x,则f(x+2)>5

的解集为()

A.(—8,—7)U(—1,+°0)

B.(-8,-3)U(3,+~)

C.L，-7)U(3,+~)

D.(一°°,—5)U(3,+°°)

【解析】由X40时，f(x)=x2+4x,画出X40时的函数图象.因为f(x)是

定义在R上的偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称.

从而画出x>0时的图象，如图所示.当x40时，令x?+4x=5,解得x=一

5,由图象的对称性得f(—5)=f(5)=5,由图可知要使f(x+2)>5,只需x+2<—

5或x+2>5,解得xv—7或x>3.故选C.

x2-x-2,x<a

8.已知函数/。)=,1,若函数图像与x轴有且仅有一个交点，则实

1——,x>a

数”的取值范围是(

(T»,-1)U[1,2)C

D.(-1,1]U(2,-K»)

B

9.已知函数G)=小一)a-.(其中2>访的图象如右图所示，则函数g(x)=a*+b的图象

是()

【答案】A

【解析】

试题分析：由f(x)函数图像可知函数与X轴的交点横坐标为a,b,且Ova<l,bv-1

,.g(0)=a°+b=l+b<0，函数为减函数，因此A项正确

考点：二次函数与指数函数性质

10.(多选)若函数y=-—4X-4的定义域为［0,刈,值域为［-8,Y,则〃?的值

可能是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】ABC

【解析】

【分析】

作出函数y=/-4x-4的部分图像，由图像与题中条件，即可得出结果.

【详解】函数)=/一以-4的部分图像如图，/(0)=/(4)=-4,/⑵=-8.

因为函数y=/-4x-4的定义域为［0,耐，值域为［-8,-4］,

所以"的取值范围是⑵4］,

【点睛】本题主要考查由二次函数定义域与值域求参数的问题，熟记二次函数

的图像与性质即可，属于常考题型.

11.已知函数/(力是定义在[T())u(O,4]上的奇函数，当x«0,4]时,〃力的图

象如图所示，那么满足不等式/(力23'-1的x的取值范围是()

y

-----•--；---------i

61234

A.[-l,O)U(O,l]B.[-4,-2]U(O,l]

C.H，-2]U[2,4]D.[-l,0)U[2,4]

【答案】B

【解析】

【分析】

Q

根据题意作出“X)与g(x)的图像，可知其交于两点A(1,2),B(-2,-Q,因此,根据图

37

像即可得出结论.

【详解】设g(x)=3'-1,如下图所示，画出函数“力在[<0)5。，4]上的图像，

Q

可知/(x)与g(x)图像交于两点A(l,2),B(-2,--),

/(x)>3'-1,即/(%)的图像要在g(x)上方，

所以满足条件的x的取值范围为:xe[T,-2]U(0』，

故选:B.

【点睛】本题考查函数图像解不等式问题，涉及了函数奇偶性等知识，需要学生熟

悉并掌握基本初等函数的各项性质，利用数形结合法解题.

—X2—ax—5(x<1),

12.已知函数f(x)=<%>])是R上的增函数，则a的取值范

围是.

解：因为f(x)在R上是单调递增的函数，所以f(x)需满足在区间(一汽1]和

(1,+8)上都是单调递增的，并且端点处(x=1)的函数值-12—a—54*即a>

-3；f(x)=-x2—ax—5的对称轴为直线x=—*f(x)在区间(-8,1]上单调递

增，所以一|)，即aw—2；f(x)号在区间(1,+叼上单调递增，所以a<0.综上

所述，a的取值范围是[-3,-2].

13.设max{a,b}表示a,b两数中的最大值，若f(x)=max{|x|,关于x=1

对称，则t=.

【答案】2

【解析】

【分析】

利用函数y=|x|的图象和函数y=|x-t|的图象关于直线x==对称，从而得出结

论.

【详解】f(x)=max{|x|,Ix7}={f苦累禺,

由函数y=冈的图象关于x=0对称，函数y=|x-1|的图象关于x=t对称，

0+1

即有函数f(X)的图象关于x=—1对称，

f(x)=max{|x|,|x-t|}关于x=1对称，

即有;=1,求得t=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查函数的对称性，属于基础题.

14.已知函数f(x)=|-x2+2x+3|.

(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；

(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.

［解］(1)当一X2+2X+320时，得一14x43,函数f(x)=-x2+2x+3=—(x

—1产+4,

当一x2+2x+3<0时，得x<—1或x>3,

函数f(x)=x2—2x—3=(x—1)2—4,

/-□x-1n2+4,-1<X<3,

即f(x)1口2—4,x<—1或x>3的图象如图所