29、猪蹄模型（答案）

1．（2022秋•射洪市期末）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图1，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，已知，，点在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整）解：因为所以因为又因为所以即所以由（1）知（3）【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为．【解答】解：（1）．理由：过点作．，．，．，．（2）解：因为，所以（两直线平行，同旁内角互补）．因为（平角的定义），又因为，所以（等角的补角相等），即．所以．由（1）知，．故答案为：，两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；，；等角的补角相等；（3）平分，平分，，．，由（1）知，即．，，即．．，，即．．．故答案为：．2．（2023春•东西湖区期中）如图，直线，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间．（1）如图1，若，，求的度数；（2）如图2，若平分，平分，的反向延长线与交于点，求证；（3）如图3，在（2）的条件下，若平分，，当时，．（直接写出结果）【解答】解：（1）如图，过点作．，，，，，，．（2）由（1）可知，．，．又平分，平分，，，．设与交于点，，，．，，即．，，，，．（3）若，则有．平分，，．由（2）可知，，．故答案为：．3．（2023春•德城区期末）已知，平分交射线于点，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，点是射线上一点，过点作交射线于点，点是上一点，连接，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，点为延长线上一点，平分交于点，若平分，，，求的度数．【解答】（1）证明：平分，，，，；（2）证明：过点作，，，，，，，，；（3）解：设，平分，，，，，，，，由（2）得：，，平分，，，，，，，解得：，，的度数为．4．（2022秋•叙州区期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．（1）导入：如图①，已知，如果，，那么60；（2）发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由；（3）运用：如图③，已知，，点、分别在、上，，如果，那么；如图④，已知，点、分别在、上，、分别平分和．如果，那么；如图⑤，已知，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么．（用含的代数式表示）【解答】解：（1），，．．故答案为：60．（2）理由：过点作．，，．．（3），由（2）的结论可得．，，．，．，．故答案为：60．，由（2）的结论可得，．、分别平分和，，．．．，．．故答案为：128．、分别平分和，，．，由（1）知．，，即．，．，即．．，．故答案为：．5．（2023春•上杭县期末）点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分．（1）如图1，当点在右侧时，求证：；（2）如图2，当点在左侧时，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若与互余，，求的度数．【解答】证明：（1）平分，，又，，，，，．．（2）如图，过点作，交于点，同（1）的证明方法可得：，，，．，．（3）平分，设，平分，，，平分，，，，，，，，，，与互余，，，，，．6．（2023春•新洲区期末）如图，已知，，分别是直线，上的一点，点在直线，之间，，．（1）直接写出的度数为或（用含、的式子表示）；（2）如图，若平分，平分，直线与直线相交于点，当时，求的度数；（3）如图，若，将绕点以秒的速度逆时针旋转，绕点以秒的速度逆时针旋转，当旋转了时，两者同时停止，则在整个转动过程中，秒时，．【解答】解；（1）作，，，，①如图一，，，；②如图二，，，．故答案为：或．（2）平分，平分，，，，，，，．（3）当点和点旋转到如图三所示的位置时，，设与的交点为点，根据题意，，，，，，，，解得；当点和点旋转到如图四所示的位置时，，设与的交点为点，根据题意，，，，，，，，解得．综上，或．7．（2023春•宝安区校级期中）已知，点在直线、之间，连接、．（1）探究发现：探究，，之间的关系．如图1，过作，两条直线平行，内错角相等（已知）；（2）解决问题：①如图2，延长至点，作的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，试判断与的数量关系并说明理由；②如图3，若，分别作，，、分别平分，，则的度数为（直接写出结果）．【解答】解：（1）探究发现：如图1，过作，（两条直线平行，内错角相等），（已知），（平行公理的推论），，；故答案为：两条直线平行，内错角相等；平行公理的推论；；；（2）问题解决①：．理由：如图2，平分，平分，，，过作，，，，，由（1）得：，又，，；②、分别平分，，，，，，过点作，如图3，，，，由（1）得，，．8．（2023春•雷州市校级期中）已知，直线分别与直线、相交于点、，并且．（1）如图1，求证：．（2）如图2，点在直线、之间，连接、，当，时，求的度数．（3）只保持（2）中所求的度数不变，如图3，是的平分线，是的平分线，作，则的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于且小于的角）【解答】（1）证明：，，，．（2）解：，，即，，，，，．（3）解：的度数不发生改变，理由如下，由（2）得，，，、分别平分和，，，，，，，．9．（2022秋•道里区校级月考）已知，点在上，的两边与相交于点，与相交于点，平分．如图1，若，，的数量关系为．（2）如图2，在（1）的条件下，若，，求证；（3）点、分别在点、的下方，若，，请在备用图中画出相应的图形，并求出的度数．【解答】（1）解：．理由：如图1，平分，，，，，故答案为：．（2）证明：如图2，，，，平分，，，，，，，，，，与都相交于直线上的点，并且在同一平面内，，（3）解：所画图形如图3、图4所示，设，在图3中，，，平分，，，，，，，，，解得：，；在图4中，，，，平分，，，，，，，，，，解得：，；综上所述，的度数为或．10．（2022春•源城区校级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）已知平行于，如图，当点在、外部时，即，为什么？请说明理由．如图，将点移动到、内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则、、之间有何数量关系？请说明结论；（2）在图中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图中的度数．【解答】解：（1）①，，，，即：，②不成立，结论：，理由：如图，过点作，，，，，，；（2）结论：，理由：如图，连接并延长，是的外角，，同理：，；（3）如图，是的外角，，同理：，．11．（2023春•宜都市期中）已知，直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、．（1）如图1，若，，求的度数；（2）如图2，过点作的角平分线交的延长线于点，的角平分线交的反向延长线交于点，若与互补，试探索直线与直线的位置关系，并说明理由；（3）若点在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点，请直接写出与的数量关系．【解答】解：（1）如图，过作，，，，，．故；（2），如图，理由：平分，平分，，，由（1）得，，，，由三角形外角的性质可得，，与互补，，整理得，，；（3）①．如图，，，，平分，平分，，，由外角的性质得，，，，．②．如图，，，由外角的性质得，，由（1）得，，，．12．（2016春•门头沟区期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据学习《观察猜想与证明》的学习经验继续完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成（2）（3）．（1）过点作．，又．（2）如图2，若，点在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．（3）如图3，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，则、、、之间有何数量关系？（直接写出结果）【解答】解：（1）如图1，过点作．，，（平行于同一条直线的两条直线平行），又，，（两直线平行内错角相等），．（2）发生变化，应是．证明：如图2，，，；（3）如图3，连接，并延长到，，，．13．（2019秋•陈仓区期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若，点在、内部，，，求．（2）如图2，将点移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．（3）如图3，写出、、、之间的数量关系？（不需证明）（4）如图4，求出的度数．【解答】解：（1）过点作，，，，，；（2）．理由如下：设与相交于点，，，在中，，．（3）如图，连接并延长，结论：．（4）如图，由三角形的外角性质，，，，．14．（2023春•大冶市月考）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论共有个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①，，，，，，平分，，，故①选项是正确的；②由①知，，，，，，，，，故②选项是正确的；③由①知，，，，故③选项是错误的．故选：．15．（2023春•邵阳期末）如图1，直线，是截线上的一点．（1）若，，求；（2）如图1，当点在线段上运动时，与的平分线交于，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；（3）如图2，若是直线上且位于点的上方的一点，如图所示，当点在射线上运动时，与的平分线交于，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．【解答】解：（1），，，，，的度数为；（2）是定值，理由：过点作，，，，，，，同理可得：，平分，平分，，，，；（3）是定值，理由：过点作，，，，，，，同理可得：，平分，平分，，，，．16．（2023春•孝南区期末）课题学习平行线的“等角转化”功能．【阅读理解如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．（1）阅读并补充下面推理过程．解：过点作，所以，，又因为，所以．解题反思从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得到角的关系，使问题得到解决．方法运用（2）如图2，已知，求的度数；深化拓展（3）已知，点在的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．①如图3，若，则．②如图4，点在点的右侧，若，则（用含的代数式表示）．【解答】解：（1）解：过点作，所以，，又因为，所以，故答案为：；；（2）过点作，，，，，，的度数为；（3）①过点作，，，，，，平分，平分，，，，故答案为：65；②过点作，平分，平分，，，，，，，，，故答案为：．17．（2023春•荆门期末）如图1，已知，连接和交于点．（1）求证：；（2）如图2，点，分别在线段，上，且，，且．①若，求的度数；②当2时，为定值，此时定值为．【解答】（1）证明：过点作，，，，，，；（2）①解：设，，，，，，，，由（1）可得：，，，，是的一个外角，，是的一个外角，，，，，，即，解得：，，的度数为；②由①可得：，，由①可得：，，，，，为定值，，，，当时，为定值，此时定值为，故答案为：2；．18．（2023春•蓬莱区期末）已知，在，内有一条折线．（1）如图①，过点作，试说明；（2）如图②，已知的平分线与的平分线相交于点，运用（1）中结论探究与的数量关系，并说明理由．【拓展应用】如图②，若，，，则的度数为（用含，的代数式表示）．【解答】解：（1），，，，，，；（2），理由：由（1）可得：，，平分，平分，，，，，即．【拓展应用】由（1）可得：，，，，，，，故答案为：．19．（2023春•江津区期末）如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、．（1）如图1，当，，求的度数；（2）如图2，平分，平分，与相交于点，求证：；（3）如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系．【解答】解：如图（1）所示：过点作，，，，，，，；（2）如图（2）所示：由（1）得：，同理：，平分，平分，，，；（3）如图（3）所示：作的角平分线交于点，，平分，，，，