27、反比例函数与几何、代数的综合问题（答案）

1．（2023•北碚区校级开学）如图，在中，，，，，点在上且，动点从点出发，沿运动，到达点时停止．设点运动路程为，的面积为．（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；（2）在坐标系中画出的函数图象；（3）观察函数图象，请写出一条该函数的性质当时，随的增大而增大；；（4）在坐标系中画出的函数图象，并结合图象直接写出时的取值范围．【解答】解：（1）动点从点出发，沿运动，当点在边上时，如图所示：作，垂足为点，，，，，；当点在边上时，如图所示：作，垂足为点，，，，，，，，，，，，；综上，，故答案是．（2）由（1）得，，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出的函数图象，故答案如图所示：（3）由图可得，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；故答案为：当时，随的增大而增大．（4）在平面直角坐标系中描点画出的函数图象，如图所示：当时，令，解得，当时，令，解得或（不符合题意舍），时，，故答案是．2．（2022秋•细河区期末）如图，矩形放置在平面直角坐标系上，点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标是，其中，反比例函数的图象交交于点．（1）（用的代数式表示）；（2）设点为该反比例函数图象上的动点，且它的横坐标恰好等于，连接、．①若的面积比矩形面积多4，求的值；②现将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在轴上，求的值．【解答】解：（1）当时，，点的坐标为，．故答案为：；（2）①设，过点作于点，则．，．．解得（舍，，．②过点作轴于点．，，，且，．，即．解得，（舍．．3．（2023•大武口区模拟）如图，直线的图象与轴，轴分别交于点，，点与点关于原点对称，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点．（1）求证：．（2）求反比例函数的解析式．（3）动点从点到点，动点从点到点，都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为秒，当为何值时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？【解答】（1）证明：令，则，，令，则，，点，关于原点对称，，四边形是平行四边形，，且，，，，；（2）解：反比例函数的图象经过点，；反比例函数的解析式为：；（3）解：根据点，的运动可知，，，如图，过点作于点，，，，，，即，，，，当时，四边形的面积的最小值为．4．（2023•兴庆区模拟）已知在平面直角坐标系中有矩形，满足，；（1）如图1，若反比例函数的图象经过矩形边，且与边交于点，求点的坐标；（2）如图2，若将矩形沿线段翻折，使得点与点重合，此时点，同时在另一个反比例函数的图象上，试求出此时矩形的边的长度；（3）连接，试计算的度数．【解答】解：（1）矩形，，，的横坐标为2，把代入得，，点的坐标为；（2）连接，设反比例函数为，，，，，，，由题意可知，，由勾股定理得：，，，，，整理得，，，，或（舍去），；（3）连接，矩形沿线段翻折，使得点与点重合，，，，，在中，，，．5．（2023春•镇平县期末）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝（x＜0）的图象交于第二象限内的点A（﹣4，2）和B（﹣2，m），与x轴交于点C．（1）分别求出这两个函数的表达式．（2）不等式k1x+b≤的解集是x≤﹣4或﹣2≤x＜0．（3）在坐标平面内是否存在点P，使得由点O，B，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数y2＝（x＜0）的图象交于第二象限内的点A（﹣4，2）和B（﹣2，m），∴，∴，∴一次函数y1＝x+6，反比例函数y2＝；（2）由图象可得：当x≤﹣4或﹣2≤x＜0时，k1x+b≤，故答案为：x≤﹣4或﹣2≤x＜0；（3）∵一次函数y1＝x+6与x轴交于点C，∴点C（﹣6，0），设点P（x，y），∵点O（0，0），点B（﹣2，4），点C（﹣6，0），∴当OB为对角线时，0+（﹣2）＝（﹣6）+x，0+4＝0+y，∴x＝4，y＝4，∴点P（4，4）；当BC为对角线时，﹣2﹣6＝0+x，4+0＝0+y，∴x＝﹣8，y＝4，∴点P（﹣8，4）；当CO为对角线时，﹣6+0＝﹣2+x，0+0＝4+y，∴x＝﹣4，y＝﹣4，∴点P（﹣4，﹣4）；综上所述：点P（4，4）或（﹣8，4）或（﹣4，﹣4）．6．（2023春•仪征市期末）已知点，在反比例函数的图象上，点在轴上，连接，如图1，将绕着点顺时针旋转至点，点正好落在轴上．（1）求的值和点的坐标；（2）若点在反比例函数图象上，连接并延长至点，使得，连接，，①如图2，连接并延长交轴于点，当轴时，试说明平分；②如图3，连接交于点，将沿着翻折，记点的对应点为，若点恰好落在线段上，求△与△面积之比．【解答】（1）解：如图1，过点作轴于点，则，将绕着点顺时针旋转至点，，，，，△，，，，，，，，，，，，，，；（2）①证明：如图2，过点作轴于点，过点作于点，则，，轴，，，，连接并延长至点，使得，，，四边形是矩形，，，同理可得，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，平分；②解：将沿着翻折，点的对应点为恰好落在线段上，，，，，，四边形是正方形，，，，，，，设直线的解析式为，将，代入，得，解得：，直线的解析式为，联立得，解得：（舍去），，，，，，，，．7．（2023春•漳州期末）如图1，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，已知：，点在平面直角坐标系中．（1）求直线的解析式；（2）若最大，求点坐标；（3）如图2，在反比例函数的图象上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线与轴交于点，，，，代入得，直线的解析式为：；（2）过点作关于直线的对称点，作直线，交直线与点，如图1，由对称性可知，，在直线上任意取一点，若点是直线上异于的点，则，这时，的值最大，点是点关于直线的对称点，，，设直线的解析式为：，把，代入得：，解得：，直线的解析式为：，把代入得：，；（3）存在，设，又，，，当、为对角线时，则、的中点重合，，解得：，；当、为对角线时，则、的中点重合，，解得：，；当、为对角线时，则、的中点重合，，解得：，；综上所述，存在，点的坐标为或或．8．（2023•青羊区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，坐标原点关于点的对称点为，且点在轴的正半轴上，若点是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接，以为边做正方形，当顶点恰好落在直线上时，求点的坐标．【解答】解：（1）设直线的解析式为，把点，点分别代入上式可得：，解得：，，把代入中，，解得：，，把代入可得：，解得：，反比例函数解析式为；（2）在反比例函数图象上，，，的面积与且的面积相等，当点在轴的正半轴上时，设过点与直线平行的直线解析式为，，解得，，；当点在轴的负半轴上时，点关于点的对称点为，此时的面积与且的面积相等，；综上所述：点坐标为或；（3）由题意得：，设，，①当点左侧时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，则，，四边形为正方形，，，，，，，，，，，，，，解得，，；②点在右侧时，过点作轴，交轴于点，过点作交于点，，同理可得：，，，，，，，代入可得：，解得：，，综上所述：点坐标为：或．9．（2023•宿迁）规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是②（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数有3个交点的是，与二次函数互为“兄弟函数”的是②，故答案为：②；（2）①把代入得，把，代入函数得，；②，，，，，，，或．故答案为：，．（3）满足方程，即，，满足方程，即，是方程的两个根，△，即，，．10．（2023春•安溪县期末）如图1，直线分别与轴、轴交于点，，直线分别与轴、轴交于点，，，的交点在第一象限，且，．（1）求，满足的关系式；（2）若四边形的面积为22．①点，分别在轴、直线上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标；②如图2，正方形中，顶点在轴的正半轴上，同时正方形的两个顶点，在反比例函数的图象上，另两个顶点，分别在轴、轴的正半轴上．当的值改变时，正方形的大小也随之改变，若变化的正方形与正方形有重叠部分时，直接写出的取值范围．【解答】解：（1）直线与轴、轴交于点、，直线与轴交于点，，，，，，，，，，；（2）①直线分别与轴交于点，，，，，的交点在第一象限，，解得：，四边形的面积为22，，，即，化简得：，又，，，，直线的解析式为，直线的解析式为，，，点，分别在轴、直线上，设，，当、为对角线时，则、的中点重合，，解得：，；当、为对角线时，则、的中点重合，，解得：，；当、为对角线时，则、的中点重合，，解得：，；综上所述，点的坐标为或或；②设，，则，，，，，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，如图，则，，四边形是正方形，，，，，△△△△，，，，解得：，，△为等腰直角三角形，，，，，，，，，直线、的解析式分别为和，当在边上时，如图，把代入，得：，解得：，，，；当与直线重合时，如图，把代入，得：，，；当正方形与正方形有重叠部分时，．11．（2023•唐河县模拟）如图，矩形的顶点，分别在函数和的图象上，且．（1）求，的值；（2）若点，分别在和的图象上，且不与点，重合，是否存在点，，使得，若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点的坐标代入得：；过点作轴于点，过点作轴于点，四边形为矩形，则，，．．，．，则和的相似比为：，则，，故点．将点的坐标代入，得：．（2）、．理由如下：由（1）知，两个反比例函数的表达式分别为：、，假设存在点，符合题设条件，设点，点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图：由（1）知，．所以，，解得：或（舍去）；，．即且，解得：或1或（舍去）或（舍去），点不与点重合，不合题意舍去，，，即；，，，即，；综上所述，存在符合题设要求的点，，它们的坐标分别为、．12．（2023•虎林市校级三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴负半轴、轴正半轴上，、的长分别是方程的两个根，且．（1）求点的坐标；（2）如图2，过点且垂直于的直线交轴于点，在直线上截取，过点作轴于点，求经过点的反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，写出点的个数及其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）方程的两个根为：，．，，．．（2）过点作交延长线于点，，，，，在和中，，，，，，四边形为矩形，，，，设过点的反比例函数解析式为，，．（3）存在，，，，，理由如下：当时，，，，，根据解析（2）可知，点的坐标为，此时点的坐标为或；当时，，，，，此时点的坐标为：或；综上分析可知，有四个点，坐标分别为，，，．13．（2022•成都自主招生）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴正半轴交于点，与反比例函数交于点，且，轴交反比例函数于点．（1）求、的值；（2）如图1，若点为线段上一点，设的横坐标为，过点作，交反比例函数于点．若，求的值．（3）如图2，在（2）的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，在直线上方是否存在点，使得与相似（不含全等）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）作轴于，如图，，，直线经过点，，解得，直线解析式为：，，，，，点坐标为，将点坐标代入，得．（2）轴，点的纵坐标为3，代入，得，点坐标为，将点横坐标代入，得，，点纵坐标为，代入，得，点坐标为，，，，解方程得或（舍，．（3）存在，理由如下：如图2，过点作轴于点，由（2）知，，直线的解析式为：，，，，，．，．Ⅰ、当时，如图2所示，设与交于点，由（2）知，轴，，，，设，则，在中，由勾股定理可得，，解得；；，，直线的解析式为：；①若，则，不符合题意，舍去；②若，，即，解得，设，，解得，负值舍去，；Ⅱ、当时，①若，如图4，，，，即点在上，，，，，直线的解析式为：；②若，，即，解得，设，，解得，负值舍去，，；Ⅲ、当时，，直线的解析式为：；①若，则，不符合题意，舍去；②若，如图5，，即，解得，设，，解得，正值舍去，，；综上，符合题意的点的坐标为：或或，或，．14．（2022秋•市中区期中）如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，点是线段上的一个动点（不与、重合），双曲线经过点，与矩形的边相交于点．（1）如图①，当点为中点时，的值为24，点的坐标为．（2）如图②，当点在线段上的任意位置时（不与、重合），连接、，求证：．（3）是否存在反比例函数上不同于点的一点，满足：为直角三角形，，且，若存在，请直接写出满足以上条件时点的横坐标，若不存在，请说明理由．【解答】（1）解：、是矩形的两个顶点，，，，点是的中点，，，，当时，，，故答案为：24，；（2）证明：设点的横坐标为，点的坐标为，，反比例函数的解析式为：，点的坐标为，，，，，，即，；（3）解：根据题意可知，需要分两种情况：①当点在直线上方时，如图，过点作轴于点，过点作于点，，，，，，，，，，，，设点的横坐标为，则，，，，，解得（负值舍去）．即此时点的横坐标为：．②当点在直线下方时，如图，过点作轴于点，过点作于点，，，，，，，，，，，，设点的横坐标为，则，，，，，解得（负值舍去）．即此时点的横坐标为：．综上，满足题意的点的横坐标为：或．15．（2021•广东模拟）如图1，两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，已知，，反比例函数的图象经过点．（1）求的值；（2）把沿射线移动，当点落在图象上时，求点经过的路径长度；（3）如图2，点与点关于点成中心对称，连接，把绕点逆时针旋转得到△，所在直线与轴交于点，所在直线与反比例函数交于点，试问，是否存在的一个值，使得，若存在，请求出点的坐标及的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）和全等，且为等腰直角三角形，，．点的坐标为．代入得．（2）如图1，设平移后与反比例函数图象的交点为，由平移性质可知，过点作轴于点，交于点，设交轴于点．，，．点的坐标为．设横坐标为，则．．．．在反比例函数图象上，图1，，解得或（舍去）．．，即点经过的路径长度为．（3）如图2，存在．理由如下：当，连接．又，，．．点与点关于点成中心对称，图2，．．．点的横坐标为．由（1）知，反比例函数解析式为，点的纵坐标为．．如图2，作于点．在中，，，．．．在中，．16．（2023春•泉港区期末）如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．（1）试求出、的值；（2）已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点．①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由．②当与互相垂直时，试求出点的坐标．【解答】解：（1）点在函数的图象上，，，点在函数的图象上，；（2）①的面积随点的运动变化没有发生变化，理由如下：如图，延长交轴于点，设点，则点，，，轴，点，，点，，，，的面积是一个固定值，不会随点的运动变化而变化；②点，点，设直线的解析式为：，将代入，解得：，直线的解析式为：；直线是函数图象的对称轴，又，点，关于直线对称；，，，，，解得或（舍，．17．（2023•青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于第一象限内，两点在右侧），分别交轴，轴于，两点．（1）若点的坐标为，求和的值；（2）在（1）的条件下，是否存在轴上一点，使与相似，若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由；（3）过点作交轴于点，过点作，交轴于点，连接，，当点的坐标为时恰有，求的面积．【解答】解：（1）一次函数与反比例函数交于点，，，，；（2）由（1）知一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，解得，，，一次函数与轴，轴交于，两点，，，，，设，，，①当时，，，，，；②当时，，，，，，，，解得，，，综上所述，或，；（3）一次函数与轴，轴交于，两点，，，，，，，，，，过点作轴，过点作轴，过点作交的延长线于点，，，，，，，设，则，，，，在反比例函数上，，解得，，，，．18．（2023春•新吴区期末）如图1，已知点，，且、满足平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．（1），；（2）求反比例函数表达式：（3）点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标．【解答】解：（1），且，，，解得，故答案为：，；（2）设反比例函数表达式为，由（1）知，，，，，为中点，，设，又四边形是平行四边形，，，，，点在反比例函数的图象上，，，反比例函数表达式为；（3）点在双曲线上，点在轴上，设，，①当为边时：如图1所示：若为平行四边形，则，解得，此时，；如图2所示：若为平行四边形，则，解得，此时，；②如图3所示：当为对角线时：，且；，解得，，；综上所述，；；．19．（2023春•洛江区期末）如图，已知反比例函数的图象与直线将于交于、两点，直线交轴于点，点是轴正半轴上的一点，（1）求反比例函数及直线的解析式；（2）若，求点的坐标；（3）若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将代入，得，解得：，反比例函数的解析式为：；将代入，得，，直线经过、两点，，解得：，直线的解析式为：；（2）在中，令，得，，点是轴正半轴上的一点，设，，，，，即，解得：；点的坐标为；（3）若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）存在．点的坐标为或或．设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为：；设、，又、，当、为平行四边形的对角线时，、的中点重合，，解得：，；当、为平行四边形的对角线时，、的中点重合，解得；当、为平行四边形的对角线时，、的中点重合，解得．综上所述，点的坐标为或或．20．（2023春•广陵区期末）如图1，将函数的图象向左平移4个单位得到函数的图象，与轴交于点．（1）若，求的值；（2）如图2，为轴正半轴上一点，以为边，向上作正方形，若、恰好落在上，线段与相交于点．①求正方形的面积；②直接写出点的坐标．【解答】解：（1）当时，点平移前的点的坐标是；（2）①把点代入中得：，，如图2，过点作轴于，过点作于，，，四边形是正方形，，，，，，，当时，，，同理得：，，，，，，正方形的面积；②由①得：，，设的解析式为：，，解得：，的解析式为：，，解得：，点在第一象限，，，．21．（2023•东城区二模）某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下．请你补全探究过程．（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为，．由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标；（2）画出函数图象函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中画出直线；（3）平移直线，观察函数图象当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为；（4）得出结论若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长的最小值为米，此时矩形相邻两边的长分别为米、米．【解答】解：（1），，满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．故答案为：一；（2）列表012210描点、连线，画出函数图象，如图所示．（3）观察函数图象，可知：当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为故答案为：4；（4）由（3）可知：的最小值为4，的最小值为8，此时，此时矩形相邻两边的长分别为2米、2米．故答案为：8，2，2．22．（2023•越秀区校级三模）如图，已知矩形，在轴上，在轴上，，．双曲线与矩形的边、分别交于点、．（1）若点是的中点，求点的坐标；（2）将沿直线对折，点落在轴上的处，过点作于点．问：与是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．【解答】解：（1）点是的中点，，，点的坐标为，将点的坐标代入，可得，即反比例函数解析式为：，点的横坐标为4，点的纵坐标，点的坐标为；（2）由折叠的性质可得：，，，，，，又，，结合图形可设点坐标为，，点坐标为，则，，，在中，，，即，，．23．（2023春•江阴市期末）解决数学问题是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程．如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，连接，，满足，过点分别作轴、轴的平行线，过点分别作轴、轴的平行线，交点组成四边形，直线交轴于点，作射线，交于点．（1）①四边形的形状是矩形；②点是否在射线上？试说明理由；（2）求证：；（3）若，过点作轴的平行线，在上存在点，使原点关于直线的对称点恰好在四边形的对角线所在直线上，请直接写出满足条件的点的坐标．【解答】（1）①解：如图，延长至，过点分别作轴、轴的平行线，过点分别作轴、轴的平行线，四边形是平行四边形，，轴，，四边形是矩形，故答案为：矩形；②解：点在射线上，理由如下：设点，点，点，点，直线的表达式为：，当时，，点在射线上；（2）证明：四边形是矩形，，，，，，，，，，，即；（3）解：如图，过点作于，延长交于，设直线于交于点，，，，，，，，，，，，，，点，点，，点是中点，点，，原点关于直线的对称点恰好在四边形的对角线所在直线上，，点与点重合或点在线段的延长线上，当点与点重合时，点与点关于直线对称，垂直平分，设与交于点，点，，直线的解析式为，当时，，点，；当点在的延长线上时，点与点关于直线对称，，同理可求：直线的解析式为当时，，点，，综上所述：点的坐标为，或，．24．（2023春•苏州期中）如图1，平面直角坐标系中，点的坐标是，过作轴于，轴于，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿