职高复习第一轮教案02指数函数和对数函数

职高复习第一轮教案02指数函数和对数函数一、教学目标1.知识与技能目标理解指数函数与对数函数的概念，掌握它们的图象和性质。能运用指数函数与对数函数的性质解决相关问题，如比较大小、解指数方程与对数方程等。2.过程与方法目标通过对指数函数与对数函数的图象和性质的探究，培养学生观察、分析、归纳的能力。体会从特殊到一般的数学思想方法，提高学生的数学思维能力。3.情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学好数学的信心。

二、教学重难点1.教学重点指数函数与对数函数的概念、图象和性质。指数函数与对数函数性质的应用。2.教学难点指数函数与对数函数图象和性质的理解与掌握。指数方程与对数方程的解法。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）知识回顾1.指数的概念与运算提问：什么是指数？指数运算有哪些法则？回顾：指数的定义：$a^n=a×a×\cdots×a$（$n$个$a$相乘），其中$a$叫做底数，$n$叫做指数。指数运算法则：$a^m×a^n=a^{m+n}$$\frac{a^m}{a^n}=a^{mn}$$(a^m)^n=a^{mn}$$(ab)^n=a^nb^n$$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$2.对数的概念与运算提问：什么是对数？对数运算有哪些法则？回顾：对数的定义：如果$a^x=N$（$a>0$且$a≠1$），那么$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$x=\log_aN$。对数运算法则：$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM\log_aN$$\log_aM^n=n\log_aM$换底公式：$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$（$c>0$且$c≠1$）

（二）指数函数1.指数函数的概念给出实例：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个......一个这样的细胞分裂$x$次后，得到的细胞个数$y$与$x$的函数关系是什么？引导学生分析：$y=2^x$，其中自变量$x$在指数位置，底数2是一个大于0且不等于1的常数。归纳指数函数的定义：一般地，函数$y=a^x$（$a>0$且$a≠1$）叫做指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域是$R$。2.指数函数的图象与性质绘制函数图象：以$y=2^x$为例，列表：|$x$|3|2|1|0|1|2|3|||||||||||$y$|$\frac{1}{8}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{2}$|1|2|4|8|描点、连线，得到$y=2^x$的图象。同理，绘制$y=(\frac{1}{2})^x$的图象。观察图象，总结性质：定义域：$R$值域：$(0,+∞)$过定点：当$x=0$时，$y=1$，即图象过定点$(0,1)$单调性：当$a>1$时，函数$y=a^x$在$R$上是增函数。当$0<a<1$时，函数$y=a^x$在$R$上是减函数。函数值的变化情况：当$a>1$时：$x>0$时，$y>1$；$x<0$时，$0<y<1$。当$0<a<1$时：$x>0$时，$0<y<1$；$x<0$时，$y>1$。总结指数函数图象和性质的表格形式：|函数|$y=a^x$（$a>1$）|$y=a^x$（$0<a<1$）||||||定义域|$R$|$R$||值域|$(0,+∞)$|$(0,+∞)$||过定点|$(0,1)$|$(0,1)$||单调性|增函数|减函数||当$x>0$时|$y>1$|$0<y<1$||当$x<0$时|$0<y<1$|$y>1$|

3.指数函数性质的应用比较大小例1：比较下列各题中两个值的大小：$2^{0.3}$与$2^{0.2}$$(\frac{1}{2})^{0.5}$与$(\frac{1}{2})^{0.6}$分析：对于$2^{0.3}$与$2^{0.2}$，因为底数$a=2>1$，指数函数$y=2^x$是增函数，$0.3>0.2$，所以$2^{0.3}>2^{0.2}$。对于$(\frac{1}{2})^{0.5}$与$(\frac{1}{2})^{0.6}$，先将其化为同底数，$(\frac{1}{2})^{0.5}=2^{0.5}$，$(\frac{1}{2})^{0.6}=2^{0.6}$，因为底数$a=2>1$，指数函数$y=2^x$是增函数，$0.6>0.5$，所以$2^{0.6}>2^{0.5}$，即$(\frac{1}{2})^{0.6}>(\frac{1}{2})^{0.5}$。解指数方程例2：解方程$4^x=8$。分析：将方程两边化为同底数，$4^x=(2^2)^x=2^{2x}$，$8=2^3$，则方程变为$2^{2x}=2^3$，根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$。

（三）对数函数1.对数函数的概念由指数函数引出对数函数：已知指数函数$y=a^x$（$a>0$且$a≠1$），那么$x=\log_ay$，如果把$y$作为自变量，$x$作为因变量，那么$x$是$y$的函数，这个函数叫做对数函数，记作$x=\log_ay$（$a>0$且$a≠1$）。通常我们用$x$表示自变量，$y$表示函数，所以对数函数的一般形式为$y=\log_ax$（$a>0$且$a≠1$），其中$x$是自变量，函数的定义域是$(0,+∞)$。2.对数函数的图象与性质绘制函数图象：以$y=\log_2x$为例，列表：|$x$|$\frac{1}{8}$|$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{2}$|1|2|4|8|||||||||||$y$|3|2|1|0|1|2|3|描点、连线，得到$y=\log_2x$的图象。同理，绘制$y=\log_{\frac{1}{2}}x$的图象。观察图象，总结性质：定义域：$(0,+∞)$值域：$R$过定点：当$x=1$时，$y=0$，即图象过定点$(1,0)$单调性：当$a>1$时，函数$y=\log_ax$在$(0,+∞)$上是增函数。当$0<a<1$时，函数$y=\log_ax$在$(0,+∞)$上是减函数。函数值的变化情况：当$a>1$时：$x>1$时，$y>0$；$0<x<1$时，$y<0$。当$0<a<1$时：$x>1$时，$y<0$；$0<x<1$时，$y>0$。总结对数函数图象和性质的表格形式：|函数|$y=\log_ax$（$a>1$）|$y=\log_ax$（$0<a<1$）||||||定义域|$(0,+∞)$|$(0,+∞)$||值域|$R$|$R$||过定点|$(1,0)$|$(1,0)$||单调性|增函数|减函数||当$x>1$时|$y>0$|$y<0$||当$0<x<1$时|$y<0$|$y>0$|

3.对数函数性质的应用比较大小例3：比较下列各题中两个值的大小：$\log_23$与$\log_22.5$$\log_{0.5}0.6$与$\log_{0.5}0.4$分析：对于$\log_23$与$\log_22.5$，因为底数$a=2>1$，对数函数$y=\log_2x$是增函数，$3>2.5$，所以$\log_23>\log_22.5$。对于$\log_{0.5}0.6$与$\log_{0.5}0.4$，因为底数$a=0.5<1$，对数函数$y=\log_{0.5}x$是减函数，$0.6>0.4$，所以$\log_{0.5}0.6<\log_{0.5}0.4$。解对数方程例4：解方程$\log_3x=2$。分析：根据对数函数与指数函数的关系，由$\log_3x=2$可得$x=3^2=9$。

（四）课堂练习1.比较下列各题中两个值的大小：$3^{1.5}$与$3^{2}$$(\frac{1}{3})^{1}$与$(\frac{1}{3})^{2}$$\log_45$与$\log_46$$\log_{0.3}0.2$与$\log_{0.3}0.3$2.解下列方程：$2^x=16$$\log_5x=1$

（五）课堂小结1.指数函数与对数函数的概念、图象和性质。2.指数函数与对数函数性质在比较大小、解指数方程与对数方程中的应用。

（六）课后作业1.书面作业：教材课后习题中相关章节的练习题。2.拓展作业：已知函数$y=a^{x+2}3$（$a>0$且$a≠1$）的图象恒过定点$P$，求点$P$的坐标。若函数$y=\log_a(x+1)$（$a>0$且$a≠1$）在区间$[0,1]$上的最大值与最小值之和为$1$，求实数$a$的值。