机械工程控制基础 0933

机械工程控制基础0933一、引言机械工程控制基础是机械工程领域的重要学科，它涉及到机械系统的动态特性分析、控制策略设计以及系统性能优化等方面。本课程0933旨在让学生掌握机械工程控制的基本理论和方法，培养学生运用控制理论解决实际机械工程问题的能力。

二、机械系统的数学模型

（一）系统的微分方程1.建立步骤首先确定系统的输入、输出变量。例如在一个简单的机械振动系统中，输入可能是外力，输出是位移。然后分析系统中各元件的特性，如弹簧的弹性特性（力与位移的关系）、阻尼器的阻尼特性（力与速度的关系）等。根据牛顿第二定律、基尔霍夫定律等物理定律，列出描述系统动态行为的微分方程。以单自由度弹簧质量阻尼系统为例，设质量为\(m\)，弹簧刚度为\(k\)，阻尼系数为\(c\)，外力为\(F(t)\)，位移为\(x(t)\)，则根据牛顿第二定律可得：\(m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)\)。2.方程的阶次上述方程是二阶微分方程，其阶次反映了系统的复杂程度。一般来说，系统的阶次越高，分析和控制就越困难。

（二）传递函数1.定义与求取传递函数是在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。对于上述单自由度系统，对其微分方程两边进行拉普拉斯变换，设初始位移\(x(0)=0\)，初始速度\(\dot{x}(0)=0\)，可得：\((ms^{2}+cs+k)X(s)=F(s)\)，则传递函数\(G(s)=\frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{ms^{2}+cs+k}\)。2.特点传递函数只取决于系统的结构和参数，与输入无关。它可以方便地描述系统的动态特性，如稳定性、响应速度等。

（三）方框图1.组成与绘制方框图由方框、信号线和比较点组成。以简单的反馈控制系统为例，系统包括控制器\(G_c(s)\)、被控对象\(G(s)\)、反馈环节\(H(s)\)。首先画出各个方框表示相应的传递函数，然后用信号线连接各方框的输入输出，比较点用于比较输入信号和反馈信号的差值。绘制方框图时要注意信号的流向和极性，按照系统的工作原理逐步构建。2.化简规则常用的化简规则有串联、并联和反馈连接的化简。串联环节的传递函数为各串联环节传递函数的乘积；并联环节的传递函数为各并联环节传递函数之和；反馈连接的等效传递函数为\(\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\)。通过化简方框图可以得到系统的总传递函数，便于分析系统性能。

三、控制系统的时域分析

（一）典型输入信号1.单位阶跃信号定义为\(u(t)=\begin{cases}0,&t\lt0\\1,&t\geq0\end{cases}\)。它是控制系统中最常用的输入信号之一，常用于测试系统的稳态性能。2.单位斜坡信号表达式为\(r(t)=tu(t)\)，它模拟了随时间线性变化的输入。3.单位脉冲信号\(\delta(t)=\begin{cases}\infty,&t=0\\0,&t\neq0\end{cases}\)且\(\int_{\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1\)。单位脉冲信号可用于测试系统的动态特性，如系统的脉冲响应。

（二）一阶系统的时域响应1.单位阶跃响应对于一阶系统\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)（\(T\)为时间常数），其单位阶跃响应为\(c(t)=1e^{\frac{t}{T}}\)。当\(t=T\)时，\(c(T)=1e^{1}\approx0.632\)，时间常数\(T\)反映了系统响应的快慢，\(T\)越小，系统响应越快。2.性能指标上升时间\(t_r\)：从阶跃响应开始到第一次达到稳态值的时间。对于一阶系统，\(t_r\approx2.2T\)。调节时间\(t_s\)：系统响应达到并保持在稳态值的\(\pm5\%\)或\(\pm2\%\)范围内所需的时间。对于一阶系统，\(t_s\approx3T\)（\(\pm5\%\)误差带）。

（三）二阶系统的时域响应1.单位阶跃响应二阶系统的传递函数为\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，其中\(\omega_n\)为无阻尼自然频率，\(\zeta\)为阻尼比。当\(0\lt\zeta\lt1\)时，系统响应为衰减振荡。其上升时间、峰值时间、调节时间等性能指标都与\(\omega_n\)和\(\zeta\)有关。例如，峰值时间\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}\)，其中\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1\zeta^2}\)为有阻尼自然频率。2.不同阻尼比下的响应特性当\(\zeta=0\)时，系统为无阻尼系统，响应为等幅振荡。当\(\zeta=1\)时，系统为临界阻尼系统，响应无振荡且上升速度较快。当\(\zeta\gt1\)时，系统为过阻尼系统，响应缓慢且无振荡。

（四）系统的稳态误差1.定义与计算稳态误差是系统在稳态时输出与输入的差值。对于不同类型的输入信号和系统，稳态误差的计算方法不同。例如，对于单位阶跃输入，系统的稳态误差\(e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}\)，其中\(K_p\)为系统的位置误差系数。对于单位斜坡输入，稳态误差\(e_{ss}=\frac{1}{K_v}\)，\(K_v\)为速度误差系数。对于单位加速度输入，稳态误差\(e_{ss}=\frac{1}{K_a}\)，\(K_a\)为加速度误差系数。2.减小稳态误差的方法增大系统的开环增益可以减小稳态误差，但可能会影响系统的稳定性。也可以通过增加积分环节等方法来消除或减小稳态误差。

四、控制系统的频域分析

（一）频率特性1.定义与表示方法频率特性是系统对不同频率正弦输入信号的响应特性。它可以用幅频特性\(A(\omega)\)和相频特性\(\varphi(\omega)\)表示。例如，对于系统\(G(s)\)，其频率特性\(G(j\omega)=A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}\)，其中\(j=\sqrt{1}\)。2.频率特性的求取可以通过将\(s=j\omega\)代入系统的传递函数\(G(s)\)来得到频率特性。例如，对于一阶系统\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)，将\(s=j\omega\)代入可得\(G(j\omega)=\frac{1}{1+j\omegaT}\)，然后对其进行化简，得到幅频特性\(A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+(\omegaT)^2}}\)，相频特性\(\varphi(\omega)=\arctan(\omegaT)\)。

（二）典型环节的频率特性1.比例环节传递函数\(G(s)=K\)，其频率特性\(G(j\omega)=K\)，幅频特性\(A(\omega)=K\)，相频特性\(\varphi(\omega)=0\)，即输出与输入成正比，无相移。2.积分环节\(G(s)=\frac{1}{s}\)，频率特性\(G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}\)，\(A(\omega)=\frac{1}{\omega}\)，\(\varphi(\omega)=\frac{\pi}{2}\)，输出信号的相位滞后输入信号\(90^{\circ}\)。3.微分环节\(G(s)=s\)，频率特性\(G(j\omega)=j\omega\)，\(A(\omega)=\omega\)，\(\varphi(\omega)=\frac{\pi}{2}\)，输出信号的相位超前输入信号\(90^{\circ}\)。4.惯性环节如前面所述的一阶系统\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)，具有低通滤波特性，随着频率升高，幅频特性逐渐减小。5.振荡环节对应二阶系统\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，在一定频率范围内会出现谐振现象，幅频特性会有峰值。

（三）系统的频域性能指标1.带宽频率系统的带宽频率\(\omega_b\)是指系统的幅频特性下降到其低频值的\(0.707\)倍时的频率。带宽反映了系统对快速变化信号的跟踪能力，带宽越宽，系统响应越快，但抗干扰能力可能会下降。2.相角裕度和幅值裕度相角裕度\(\gamma\)是指当系统开环幅频特性\(A(\omega)=1\)时，对应的相角与\(180^{\circ}\)的差值。幅值裕度\(K_g\)是指当系统开环相角为\(180^{\circ}\)时，对应的开环幅频特性的倒数。相角裕度和幅值裕度反映了系统的相对稳定性，一般来说，相角裕度和幅值裕度越大，系统越稳定。

（四）频域稳定性判据1.奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性曲线在复平面上的映射关系来判断系统稳定性的。首先绘制系统开环频率特性\(G(j\omega)H(j\omega)\)的奈奎斯特曲线，然后根据曲线是否包围\((1,j0)\)点以及包围的次数来判断系统的稳定性。如果奈奎斯特曲线不包围\((1,j0)\)点，则系统稳定；如果包围\((1,j0)\)点，则系统不稳定，包围次数决定了系统不稳定的极点个数。2.伯德图稳定判据伯德图由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线组成。通过分析伯德图上的幅值穿越频率\(\omega_c\)（对数幅频特性曲线与\(0\)dB线交点处的频率）和相角裕度、幅值裕度等参数来判断系统稳定性。当相角裕度\(\gamma\gt0\)且幅值裕度\(K_g\gt1\)时，系统稳定。

五、控制系统的校正

（一）校正的基本概念1.校正的目的校正的目的是改善控制系统的性能，使其满足设计要求。例如，提高系统的稳定性、减小稳态误差、加快响应速度等。2.校正方式主要有串联校正、反馈校正和前馈校正等方式。串联校正通过在系统前向通道中串联校正装置来改善系统性能；反馈校正通过引入反馈信号来改变系统的动态特性；前馈校正则是利用输入信号的预知信息来补偿系统的输出。

（二）串联校正1.超前校正超前校正装置的传递函数为\(G_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts}\)（\(a\gt1\)）。它主要是利用其相位超前特性来增加系统的相角裕度，从而提高系统的稳定性。同时，也会对系统的高频特性有一定影响，适当增加系统的带宽，提高响应速度。2.滞后校正滞后校正装置的传递函数为\(G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts}\)（\(b\lt1\)）。它主要利用其幅值衰减特性来降低系统的开环增益，从而减小稳态误差，同时对系统的相角影响较小，主要是在低频段起作用。3.滞后超前校正结合了超前校正和滞后校正的优点，在低频段减小稳态误差，在高频段增加相角裕度，提高系统的稳定性和响应速度。

（三）反馈校正1.原理与作用反馈校正通过测量系统的输出信号，并将其反馈到输入端与输入信号进行比较，然后通过校正装置对误差信号进行处理。反馈校正可以改善系统的动态性能，如减小系统的非线性影响、抑制干扰等。2.应用实例在一些高精度控制系统中，如数控机床的进给系统，通过采用反馈校正可以提高系统的定位精度和跟踪性能。例如，利用位移传感器将工作台的实际位移反馈到控制器，与输入的指令位移进行比较，然后通过控制器调整驱动电机的输出，从而实现精确的位置控制。

（四）前馈校正1.原理与设计前馈校正根据输入信号的变化直接对系统进行补偿，以减小误差。设计前馈校正装置时，需要根据系统的传递函数和输入信号的特性来确定其传递函数，使得前馈补偿信号能够抵消系统的部分误差。2.优点与局限性优点是能够及时对输入信号的变化做出响应，快速减小误差，提高系统的跟踪精度。局限性在于对干扰信号没有补偿作用，且前馈校正装置的设计需要准确知道输入信号的特性，