数学必修4教学案：2.5平面向量应用举例

数学必修4教学案：2.5平面向量应用举例一、教学目标1.知识与技能目标通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤。会用向量方法解决简单的平面几何问题，如判断直线平行、垂直关系，求夹角、距离等。2.过程与方法目标通过实例，经历用向量方法解决物理问题和几何问题的过程，体会向量的工具性作用。培养学生观察、分析、归纳、类比的能力，以及运用向量知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过解决实际问题，让学生体会数学与物理等学科的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生的数学应用意识。

二、教学重难点1.教学重点用向量方法解决物理和几何问题的基本方法和步骤。向量在物理和几何中的实际应用。2.教学难点如何将物理问题和几何问题转化为向量问题，并合理运用向量知识求解。建立实际问题的向量模型，特别是对一些复杂问题中向量关系的准确把握。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入新课1.复习回顾向量的概念、表示方法、运算（加法、减法、数乘）及其几何意义。向量的数量积的定义、性质和运算律。2.情境引入展示一些物理中的力学问题和几何问题的图片，如起重机起吊重物、飞机飞行的速度与方向、三角形的边长与角度关系等。提出问题：如何利用我们所学的向量知识来解决这些实际问题呢？从而引出本节课的主题平面向量应用举例。

（二）讲解新课1.向量在物理中的应用力的合成与分解实例分析：以起重机起吊重物为例，设起重机吊钩上的拉力为\(\overrightarrow{F_1}\)，物体的重力为\(\overrightarrow{G}\)，水平方向的拉力为\(\overrightarrow{F_2}\)。已知\(\overrightarrow{G}\)的大小和方向，以及\(\overrightarrow{F_1}\)与竖直方向的夹角\(\theta\)，求\(\overrightarrow{F_1}\)和\(\overrightarrow{F_2}\)的大小。分析：根据力的平衡原理，\(\overrightarrow{F_1}\)、\(\overrightarrow{F_2}\)与\(\overrightarrow{G}\)的合力为零向量，即\(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{G}=\overrightarrow{0}\)。求解过程：先将\(\overrightarrow{F_1}\)分解为水平方向和竖直方向的分向量。设\(\overrightarrow{F_1}\)在竖直方向的分向量为\(\overrightarrow{F_{1y}}\)，水平方向的分向量为\(\overrightarrow{F_{1x}}\)。由三角函数关系可得：\(\vert\overrightarrow{F_{1y}}\vert=\vert\overrightarrow{F_1}\vert\cos\theta\)，\(\vert\overrightarrow{F_{1x}}\vert=\vert\overrightarrow{F_1}\vert\sin\theta\)。因为物体在竖直方向受力平衡，所以\(\vert\overrightarrow{F_{1y}}\vert=\vert\overrightarrow{G}\vert\)，即\(\vert\overrightarrow{F_1}\vert\cos\theta=\vert\overrightarrow{G}\vert\)，解得\(\vert\overrightarrow{F_1}\vert=\frac{\vert\overrightarrow{G}\vert}{\cos\theta}\)。又因为物体在水平方向受力平衡，所以\(\vert\overrightarrow{F_{1x}}\vert=\vert\overrightarrow{F_2}\vert\)，即\(\vert\overrightarrow{F_2}\vert=\vert\overrightarrow{F_1}\vert\sin\theta=\frac{\vert\overrightarrow{G}\vert\sin\theta}{\cos\theta}\)。总结方法：力的合成与分解问题，通常是根据力的平衡条件建立向量方程，然后利用向量的运算和三角函数知识求解。速度的合成与分解实例分析：一架飞机以\(v_1=200\)km/h的速度向正东方向飞行，此时风速为\(v_2=50\)km/h，风向为正北方向。求飞机实际飞行的速度大小和方向。分析：飞机的实际飞行速度\(\overrightarrow{v}\)是飞机自身速度\(\overrightarrow{v_1}\)与风速\(\overrightarrow{v_2}\)的合速度，即\(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\)。求解过程：根据向量加法的平行四边形法则，以\(\overrightarrow{v_1}\)和\(\overrightarrow{v_2}\)为邻边作平行四边形，则对角线就是合速度\(\overrightarrow{v}\)。由勾股定理可得飞机实际飞行速度的大小为：\(\vert\overrightarrow{v}\vert=\sqrt{\vert\overrightarrow{v_1}\vert^2+\vert\overrightarrow{v_2}\vert^2}=\sqrt{200^2+50^2}=50\sqrt{17}\)km/h。设飞机实际飞行方向与正东方向的夹角为\(\alpha\)，则\(\tan\alpha=\frac{\vert\overrightarrow{v_2}\vert}{\vert\overrightarrow{v_1}\vert}=\frac{50}{200}=\frac{1}{4}\)，所以\(\alpha=\arctan\frac{1}{4}\)。总结方法：速度的合成与分解问题，也是根据实际情况建立向量关系，然后运用向量运算和三角函数求解合速度的大小和方向。2.向量在几何中的应用判断直线平行与垂直实例分析：已知\(\overrightarrow{a}=(2,4)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，判断向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的关系，以及直线\(l_1\)与\(l_2\)的关系（设直线\(l_1\)的方向向量为\(\overrightarrow{a}\)，直线\(l_2\)的方向向量为\(\overrightarrow{b}\)）。分析：若两向量平行，则它们对应坐标成比例；若两向量垂直，则它们的数量积为零。求解过程：计算\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的坐标比例：\(\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=2\)，所以\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)。计算\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times(1)+4\times(2)=28=10\neq0\)，所以\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)不垂直。因为直线\(l_1\)的方向向量为\(\overrightarrow{a}\)，直线\(l_2\)的方向向量为\(\overrightarrow{b}\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，所以\(l_1\parallell_2\)。总结方法：对于判断直线平行与垂直问题，可通过两直线方向向量的关系来确定。若两直线方向向量平行，则两直线平行；若两直线方向向量垂直，则两直线垂直。求夹角问题实例分析：已知\(\overrightarrow{a}=(3,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，求向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角\(\theta\)。分析：根据向量的数量积公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)，可先求出\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)和\(\vert\overrightarrow{b}\vert\)，再求解\(\cos\theta\)，进而得到夹角\(\theta\)。求解过程：计算\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\times1+(1)\times2=32=1\)。计算\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{3^2+(1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)。由\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)，可得\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}=\frac{1}{\sqrt{10}\times\sqrt{5}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}\)。所以\(\theta=\arccos\frac{\sqrt{2}}{10}\)。总结方法：求两向量夹角问题，利用向量数量积公式建立等式，通过计算向量数量积、向量模长，进而求出夹角的余弦值，再确定夹角大小。求距离问题实例分析：已知\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，求\(A\)、\(B\)两点间的距离。分析：可构造向量\(\overrightarrow{AB}=(31,42)=(2,2)\)，则\(A\)、\(B\)两点间的距离等于向量\(\overrightarrow{AB}\)的模。求解过程：计算\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}\)。总结方法：求两点间距离问题，可先求出两点构成向量的坐标，再计算该向量的模长。

（三）课堂练习1.已知作用在同一物体上的两个力\(\overrightarrow{F_1}=(3,4)\)，\(\overrightarrow{F_2}=(2,5)\)，求它们的合力\(\overrightarrow{F}\)的大小和方向。2.一艘船以\(15\)km/h的速度向正北方向航行，水流速度为\(5\)km/h，方向正东。求船实际航行的速度大小和方向。3.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,2)\)，判断向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)是否垂直，并求它们夹角的余弦值。4.已知\(A(1,3)\)，\(B(2,1)\)，求\(A\)、\(B\)两点间的距离。

（四）课堂小结1.请学生回顾本节课所学内容，包括向量在物理和几何中的应用，以及解决这些问题的方法和步骤。2.教师总结强调：向量在物理中的应用主要有力的合成与分解、速度的合成与分解，关键是根据实际情况建立向量模型，利用向量运算和三角函数求解。向量在几何中的应用包括判断直线平行与垂直、求夹角和距离，通过向量的坐标运算和数量积公式来解决。用向量方法解决实际问题的一般步骤：分析问题，建立向量模型；进行向量运算；将运算结果还原为实际问题的答案。

（五）布置作业1.书面作业：教材P112练习第2、3、4题；习题2.5A组第3、4、5题。2.拓展作业：思考如何用向量方法证明三角形的三条中线交于一点。

五、教学反思通过本节课的教学，学生初步掌握了用向量方法解决物理和几何问题的基本思路和方法。在教学过程中，通过实例引导学生分析问题、建立向量模型，让学生体会到向量的工具性作用，提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力。但部分学生在将实际问题转化为向量问题时还存在困难，需要在今后的教学中加强针对性训练。同时，要鼓励学生积极思考，勇于探索，培养学生的创新思维和数学应用意识。

六、数学必修4平面向量应用举例学案

（一）学习目标1.理解向量在物理和几何中的应用，掌握用向量方法解决相关问题的步骤。2.能够运用向量知识解决力的合成与分解、速度的合成与分解、直线平行与垂直判断、夹角和距离计算等问题。

（二）知识梳理1.向量在物理中的应用力的合成与分解力的合成与分解遵循__________法则。已知两个力\(\overrightarrow{F_1}\)和\(\overrightarrow{F_2}\)，它们的合力\(\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\)。力的分解通常是根据实际情况将一个力分解为两个互相垂直的分力，设力\(\overrightarrow{F}\)与水平方向夹角为\(\theta\)，则水平分力\(\overrightarrow{F_x}=\vert\overrightarrow{F}\vert\cos\theta\)，竖直分力\(\overrightarrow{F_y}=\vert\overrightarrow{F}\vert\sin\theta\)。速度的合成与分解速度的合成与分解也遵循__________法则。已知物体的速度\(\overrightarrow{v_1}\)和速度\(\overrightarrow{v_2}\)，合速度\(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\)。合速度的大小\(\vert\overrightarrow{v}\vert=\sqrt{\vert\overrightarrow{v_1}\vert^2+\vert\overrightarrow{v_2}\vert^2}\)（当\(\overrightarrow{v_1}\)与\(\overrightarrow{v_2}\)垂直时），合速度的方向与\(\overrightarrow{v_1}\)的夹角\(\alpha\)满足\(\tan\alpha=\frac{\vert\overrightarrow{v_2}\vert}{\vert\overrightarrow{v_1}\vert}\)。2.向量在几何中的应用判断直线平行与垂直已知直线\(l_1\)的方向向量为\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，直线\(l_2\)的方向向量为\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)。若\(l_1\parallell_2\)，则\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，即__________。若\(l_1\perpl_2\)，则\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，即__________。求夹角问题已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，它们的夹角为\(\theta\)。则\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\o