三角恒等变换教学设计

三角恒等变换教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。能运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明。2.过程与方法目标通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。引导学生体会化归与转化的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过探索三角恒等变换公式的过程，让学生感受数学的严谨性和美妙性，激发学生学习数学的兴趣。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及应用。运用三角恒等变换公式进行三角函数式的化简、求值和恒等式证明。2.教学难点两角和与差的余弦公式的推导。灵活运用三角恒等变换公式进行综合变形，解决较复杂的三角函数问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合，注重引导学生自主探究和合作交流。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.引导学生回顾三角函数的基本概念和性质，如正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质等。2.提出问题：在实际问题中，常常需要对三角函数进行化简、求值或证明恒等式，如何进行这些操作呢？从而引出本节课的主题三角恒等变换。

（二）讲授新课（30分钟）1.两角和与差的余弦公式利用向量的数量积推导两角和的余弦公式设单位向量\(\overrightarrow{a}=(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(\overrightarrow{b}=(\cos\beta,\sin\beta)\)，\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(\theta\)。根据向量数量积的定义\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)，且\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow{b}\vert=1\)，可得\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\cos\theta\)。又因为\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)，\(\theta=\vert\alpha\beta\vert\)，所以\(\cos(\alpha\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)。由两角和的余弦公式推导出两角差的余弦公式令\(\beta=\beta\)，则\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos(\beta)+\sin\alpha\sin(\beta)\)。因为\(\cos(\beta)=\cos\beta\)，\(\sin(\beta)=\sin\beta\)，所以\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\)。引导学生理解公式的结构特点和适用范围，强调公式中\(\alpha\)，\(\beta\)的任意性。2.两角和与差的正弦公式利用诱导公式\(\sin(\alpha+\beta)=\cos[\frac{\pi}{2}(\alpha+\beta)]\)，再结合两角差的余弦公式进行推导。\(\sin(\alpha+\beta)=\cos[(\frac{\pi}{2}\alpha)\beta]=\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)\cos\beta+\sin(\frac{\pi}{2}\alpha)\sin\beta\)。因为\(\cos(\frac{\pi}{2}\alpha)=\sin\alpha\)，\(\sin(\frac{\pi}{2}\alpha)=\cos\alpha\)，所以\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)。同理可推导出两角差的正弦公式\(\sin(\alpha\beta)=\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta\)。让学生观察两角和与差的正弦公式和余弦公式之间的关系，加深记忆。3.两角和与差的正切公式根据正切函数的定义\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)，推导两角和的正切公式。\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta}\)。分子分母同时除以\(\cos\alpha\cos\beta\)，得到\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1\tan\alpha\tan\beta}\)。用\(\beta\)代替\(\beta\)，推导出两角差的正切公式\(\tan(\alpha\beta)=\frac{\tan\alpha\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\)。强调公式的适用条件，即\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\alpha+\beta\)，\(\alpha\beta\)都不等于\(k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)。4.二倍角的正弦、余弦、正切公式由两角和的正弦、余弦公式推导二倍角公式在\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)中，令\(\alpha=\beta\)，得到\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)。在\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\)中，令\(\alpha=\beta\)，得到\(\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha\)。再利用\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，将\(\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha\)变形为\(\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha1=12\sin^{2}\alpha\)。根据正切函数的定义\(\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}\)，将\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)，\(\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha\sin^{2}\alpha\)代入可得\(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1\tan^{2}\alpha}\)。引导学生分析二倍角公式与前面所学公式的联系与区别，进一步理解公式的内涵。

（三）例题讲解（20分钟）1.化简三角函数式例1：化简\(\frac{\sin(\alpha+\beta)2\sin\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)}\)。分析：利用两角和与差的正弦、余弦公式将分子分母展开，然后进行化简。解：\[\begin{align*}&\frac{\sin(\alpha+\beta)2\sin\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)}\\=&\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta2\sin\alpha\cos\beta}{2\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta}\\=&\frac{\cos\alpha\sin\beta\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}\\=&\frac{\sin(\beta\alpha)}{\cos(\beta\alpha)}\\=&\tan(\beta\alpha)\end{align*}\]总结：化简三角函数式的关键是熟练掌握三角恒等变换公式，将式子中的三角函数进行合理变形，使其化为最简形式。

2.求值问题例2：已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\sin2\alpha\)，\(\cos2\alpha\)，\(\tan2\alpha\)的值。分析：先根据已知条件求出\(\cos\alpha\)的值，再利用二倍角公式求值。解：因为\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1\sin^{2}\alpha}=\sqrt{1(\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}\)。\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\times\frac{3}{5}\times(\frac{4}{5})=\frac{24}{25}\)。\(\cos2\alpha=12\sin^{2}\alpha=12\times(\frac{3}{5})^{2}=\frac{7}{25}\)。\(\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}=\frac{24}{7}\)。总结：解决求值问题时，要根据已知条件确定三角函数值的正负，然后选择合适的公式进行计算。

3.恒等式证明例3：求证\(\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\tan\frac{\alpha}{2}\)。分析：利用二倍角公式将左边式子进行化简，逐步向右边式子靠近。证明：\[\begin{align*}&\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\\=&\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^{2}\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\\=&\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\\=&\frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\\=&\tan\frac{\alpha}{2}\end{align*}\]总结：证明三角恒等式的方法有很多种，常用的有从左边推到右边、从右边推到左边、左右两边同时化简等，关键是要灵活运用三角恒等变换公式，使等式两边逐步相等。

（四）课堂练习（10分钟）1.化简\(\frac{1}{1\tan\theta}\frac{1}{1+\tan\theta}\)。2.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},0)\)，求\(\sin2\alpha\)，\(\cos2\alpha\)的值。3.求证\(\frac{\sin^{2}\alpha}{1+\cot\alpha}+\frac{\cos^{2}\alpha}{1+\tan\alpha}=1\)。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学的主要内容，包括两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。2.总结三角恒等变换的方法和技巧，如公式的正用、逆用、变形应用等，强调化归与转化的数学思想。3.让学生谈谈本节课的收获和体会，以及在学习过程中遇到的问题和困惑。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：课本第[X]页练习第[X]题，习题第[X]题。2.拓展作业：已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin2\alpha}{\sin^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha1}\)的值。3.探究作业：查阅资料，了解三角恒等变换在物理学、工程学等领域的应用