工程力学材料力学第4版第八章习题答案

工程力学材料力学第4版第八章习题答案一、习题81题目直径为d=100mm的等截面圆轴，受外力偶矩Me=2kN·m作用，材料的许用切应力[τ]=80MPa。试校核该轴的强度。

答案1.计算扭矩圆轴受外力偶矩\(M_e=2kN\cdotm\)，则轴的扭矩\(T=M_e=2kN\cdotm\)。2.计算抗扭截面模量对于直径为\(d=100mm\)的圆轴，抗扭截面模量\(W_t=\frac{\pid^3}{16}\)。代入\(d=100mm=0.1m\)，可得\(W_t=\frac{\pi\times(0.1)^3}{16}\approx1.96\times10^{4}m^3\)。3.计算切应力根据切应力计算公式\(\tau=\frac{T}{W_t}\)。代入\(T=2kN\cdotm=2000N\cdotm\)和\(W_t=1.96\times10^{4}m^3\)，可得\(\tau=\frac{2000}{1.96\times10^{4}}\approx10.2\times10^6Pa=10.2MPa\)。4.强度校核已知许用切应力\([\tau]=80MPa\)，而计算得到的\(\tau=10.2MPa\lt[\tau]\)。所以该轴的强度足够。

二、习题82题目一传动轴传递功率\(P=7.5kW\)，转速\(n=300r/min\)。试求该轴横截面上的扭矩。

答案1.计算外力偶矩根据公式\(M_e=9549\frac{P}{n}\)。已知\(P=7.5kW\)，\(n=300r/min\)，代入可得\(M_e=9549\times\frac{7.5}{300}\approx239N\cdotm\)。由于传动轴传递功率时，轴横截面上的扭矩等于外力偶矩，所以该轴横截面上的扭矩\(T=M_e=239N\cdotm\)。

三、习题83题目如图81所示，传动轴的转速\(n=300r/min\)，主动轮A输入功率\(P_A=500kW\)，从动轮B、C、D输出功率分别为\(P_B=150kW\)，\(P_C=150kW\)，\(P_D=200kW\)。试求：(1)各轮处的外力偶矩；(2)作轴的扭矩图。

答案1.计算各轮处的外力偶矩根据公式\(M_e=9549\frac{P}{n}\)。主动轮A：\(P_A=500kW\)，\(n=300r/min\)，则\(M_{eA}=9549\times\frac{500}{300}\approx15915N\cdotm\)。从动轮B：\(P_B=150kW\)，\(n=300r/min\)，则\(M_{eB}=9549\times\frac{150}{300}\approx4775N\cdotm\)。从动轮C：\(P_C=150kW\)，\(n=300r/min\)，则\(M_{eC}=9549\times\frac{150}{300}\approx4775N\cdotm\)。从动轮D：\(P_D=200kW\)，\(n=300r/min\)，则\(M_{eD}=9549\times\frac{200}{300}\approx6366N\cdotm\)。2.计算扭矩并作扭矩图用截面法求各段扭矩：取截面11，以左段为研究对象，由平衡方程\(\sumM_x=0\)，可得\(T_1=M_{eA}=15915N\cdotm\)。取截面22，以左段为研究对象，\(T_2=M_{eA}M_{eB}=159154775=11140N\cdotm\)。取截面33，以左段为研究对象，\(T_3=M_{eA}M_{eB}M_{eC}=1591547754775=6365N\cdotm\)。取截面44，以左段为研究对象，\(T_4=M_{eA}M_{eB}M_{eC}M_{eD}=15915477547756366=0\)。扭矩图如下：按比例画出横坐标表示截面位置，纵坐标表示扭矩大小。在A轮处，扭矩\(T=15915N\cdotm\)，画一竖线表示扭矩值。在B轮处，扭矩\(T=11140N\cdotm\)，画一竖线表示扭矩值。在C轮处，扭矩\(T=6365N\cdotm\)，画一竖线表示扭矩值。在D轮处，扭矩\(T=0\)，画一竖线表示扭矩值。连接各竖线顶点，得到扭矩图，该扭矩图为一直线，最大值在A轮处，\(T_{max}=15915N\cdotm\)。

四、习题84题目一实心圆轴，其直径\(d=50mm\)，转速\(n=200r/min\)。若该轴横截面上的最大切应力\(\tau_{max}=60MPa\)，求此轴所传递的功率。

答案1.计算抗扭截面模量对于直径为\(d=50mm=0.05m\)的实心圆轴，抗扭截面模量\(W_t=\frac{\pid^3}{16}\)。代入可得\(W_t=\frac{\pi\times(0.05)^3}{16}\approx2.45\times10^{5}m^3\)。2.计算扭矩根据切应力计算公式\(\tau_{max}=\frac{T}{W_t}\)，已知\(\tau_{max}=60MPa=60\times10^6Pa\)。则扭矩\(T=\tau_{max}W_t=60\times10^6\times2.45\times10^{5}=1470N\cdotm\)。3.计算传递功率由公式\(T=9549\frac{P}{n}\)，已知\(n=200r/min\)，\(T=1470N\cdotm\)。可得\(P=\frac{Tn}{9549}=\frac{1470\times200}{9549}\approx30.8kW\)。

五、习题85题目如图82所示，阶梯形圆轴，已知\(d_1=40mm\)，\(d_2=70mm\)，外力偶矩\(M_{e1}=1kN\cdotm\)，\(M_{e2}=2.5kN\cdotm\)，\(M_{e3}=1.5kN\cdotm\)。试求：(1)各段轴横截面上的扭矩；(2)轴横截面上的最大切应力。

答案1.计算各段轴横截面上的扭矩用截面法：取截面11，以左段为研究对象，由平衡方程\(\sumM_x=0\)，可得\(T_1=M_{e1}=1kN\cdotm\)。取截面22，以左段为研究对象，\(T_2=M_{e1}M_{e2}=12.5=1.5kN\cdotm\)。取截面33，以左段为研究对象，\(T_3=M_{e1}M_{e2}+M_{e3}=12.5+1.5=0\)。2.计算抗扭截面模量对于\(d_1=40mm=0.04m\)的第一段轴，抗扭截面模量\(W_{t1}=\frac{\pid_1^3}{16}=\frac{\pi\times(0.04)^3}{16}\approx1.26\times10^{5}m^3\)。对于\(d_2=70mm=0.07m\)的第二段轴，抗扭截面模量\(W_{t2}=\frac{\pid_2^3}{16}=\frac{\pi\times(0.07)^3}{16}\approx6.74\times10^{5}m^3\)。3.计算轴横截面上的最大切应力第一段轴切应力\(\tau_1=\frac{T_1}{W_{t1}}\)，代入\(T_1=1kN\cdotm=1000N\cdotm\)和\(W_{t1}=1.26\times10^{5}m^3\)，可得\(\tau_1=\frac{1000}{1.26\times10^{5}}\approx79.4\times10^6Pa=79.4MPa\)。第二段轴切应力\(\tau_2=\frac{T_2}{W_{t2}}\)，代入\(T_2=1.5kN\cdotm=1500N\cdotm\)和\(W_{t2}=6.74\times10^{5}m^3\)，可得\(\tau_2=\frac{1500}{6.74\times10^{5}}\approx22.3\times10^6Pa=22.3MPa\)。比较\(\tau_1\)和\(\tau_2\)大小，\(\tau_{max}=\tau_1=79.4MPa\)。

六、习题86题目一空心圆轴，外径\(D=120mm\)，内径\(d=100mm\)，扭矩\(T=10kN\cdotm\)。试求该轴横截面上的最大切应力和最小切应力。

答案1.计算抗扭截面模量空心圆轴的抗扭截面模量\(W_t=\frac{\pi(D^4d^4)}{16D}\)。代入\(D=120mm=0.12m\)，\(d=100mm=0.1m\)，可得：\(W_t=\frac{\pi((0.12)^4(0.1)^4)}{16\times0.12}\approx3.22\times10^{4}m^3\)。2.计算最大切应力根据切应力计算公式\(\tau_{max}=\frac{T}{W_t}\)，已知\(T=10kN\cdotm=10000N\cdotm\)。则\(\tau_{max}=\frac{10000}{3.22\times10^{4}}\approx31\times10^6Pa=31MPa\)。3.计算最小切应力对于空心圆轴，切应力沿半径线性分布，最小切应力\(\tau_{min}\)在轴的内径处。由切应力分布规律\(\tau=\frac{T\rho}{I_p}\)，其中\(\rho\)为半径，\(I_p=\frac{\pi(D^4d^4)}{32}\)。最小切应力\(\tau_{min}=\frac{Td}{2I_p}\)，将\(I_p=\frac{\pi(D^4d^4)}{32}\)代入可得：\(\tau_{min}=\frac{Td\times16}{\pi(D^4d^4)}\)。代入\(T=10kN\cdotm=10000N\cdotm\)，\(D=120mm=0.12m\)，\(d=100mm=0.1m\)，可得：\(\tau_{min}=\frac{10000\times0.1\times16}{\pi((0.12)^4(0.1)^4)}\approx25.8MPa\)。

七、习题87题目如图83所示，一内外径之比\(\alpha=\frac{d}{D}=0.8\)的空心圆轴，两端承受扭转力偶矩\(T=100kN\cdotm\)。已知材料的许用切应力\([\tau]=80MPa\)，试选择轴的外径\(D\)。

答案1.计算抗扭截面模量空心圆轴的抗扭截面模量\(W_t=\frac{\pi(D^4d^4)}{16D}\)，因为\(\alpha=\frac{d}{D}=0.8\)，即\(d=0.8D\)。则\(W_t=\frac{\pi(D^4(0.8D)^4)}{16D}=\frac{\piD^3(10.4096)}{16}\approx0.11\times\piD^3\)。2.根据强度条件计算外径由强度条件\(\tau_{max}=\frac{T}{W_t}\leq[\tau]\)。已知\(T=100kN\cdotm=100000N\cdotm\)，\([\tau]=80MPa=80\times10^6Pa\)。代入可得\(\frac{100000}{0.11\times\piD^3}\leq80\times10^6\)。解不等式：\(100000\leq80\times10^6\times0.11\times\piD^3\)。\(D^3\geq\frac{100000}{80\times10^6\times0.11\times\pi}\)。\(D^3\geq\frac{100000}{2.765\times10^6}\)。\(D^3\geq0.0362\)。\(D\geq0.33m=330mm\)。所以可选择轴的外径\(D=350mm\)（答案不唯一，只要满足计算结果的尺寸均可）。

八、习题88题目一实心圆轴和一空心圆轴通过牙嵌式离合器连接在一起，如图84所示。已知实心轴直径\(d_1=40mm\)，空心轴外径\(D_2=50mm\)，内径\(d_2=30mm\)，两轴材料相同，长度相