工程数学作业解答

工程数学作业解答一、题目及解答

（一）线性代数部分

1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&t\\3&6&9\end{pmatrix}\)，问当\(t\)为何值时，矩阵\(A\)的秩\(r(A)=2\)？首先对矩阵\(A\)进行初等行变换：\(r_22r_1\)，\(r_33r_1\)得到\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&t6\\0&0&0\end{pmatrix}\)。因为矩阵的秩等于其非零行的行数，要使\(r(A)=2\)，则非零行有两行。所以\(t6=0\)，即\(t=6\)时，矩阵\(A\)的秩\(r(A)=2\)。

2.设向量组\(\alpha_1=(1,1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_3=(1,3,t)^T\)，求当\(t\)为何值时，向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关？构造矩阵\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\)。对矩阵\(A\)进行初等行变换：\(r_2r_1\)，\(r_3r_1\)得到\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t1\end{pmatrix}\)。再\(r_32r_2\)得到\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t5\end{pmatrix}\)。因为向量组线性相关的充要条件是矩阵的秩小于向量组中向量的个数。这里向量组有\(3\)个向量，要使其线性相关，则\(r(A)<3\)。而矩阵\(A\)的秩等于其非零行的行数，所以当\(t5=0\)，即\(t=5\)时，\(r(A)=2<3\)，向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性相关。

3.求齐次线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2x_3=0\\2x_1+3x_2+x_3=0\\3x_1+5x_2=0\end{cases}\)的基础解系和通解。首先写出方程组的系数矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&3&1\\3&5&0\end{pmatrix}\)。对系数矩阵\(A\)进行初等行变换：\(r_22r_1\)，\(r_33r_1\)得到\(\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&1&3\end{pmatrix}\)。再\(r_3r_2\)得到\(\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{pmatrix}\)。进一步化为行最简形\(\begin{pmatrix}1&0&5\\0&1&3\\0&0&0\end{pmatrix}\)。由此可得方程组的同解方程组为\(\begin{cases}x_1=5x_3\\x_2=3x_3\end{cases}\)，令\(x_3=k\)（\(k\)为任意常数）。则方程组的通解为\(X=k\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}\)，基础解系为\(\xi=\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}\)。

（二）概率统计部分

1.已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(1,4)\)，求\(P(1<X\leqslant3)\)。（已知\(\varPhi(1)=0.8413\)）首先将\(X\)标准化，设\(Z=\frac{X\mu}{\sigma}\)，这里\(\mu=1\)，\(\sigma=2\)。当\(X=1\)时，\(Z_1=\frac{11}{2}=1\)；当\(X=3\)时，\(Z_2=\frac{31}{2}=1\)。则\(P(1<X\leqslant3)=P(1<\frac{X1}{2}\leqslant1)=\varPhi(1)\varPhi(1)\)。因为\(\varPhi(1)=1\varPhi(1)\)，所以\(P(1<X\leqslant3)=\varPhi(1)(1\varPhi(1))=2\varPhi(1)1\)。把\(\varPhi(1)=0.8413\)代入得\(P(1<X\leqslant3)=2\times0.84131=0.6826\)。

2.设随机变量\(X\)的概率密度为\(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&其他\end{cases}\)，求\(E(X)\)和\(D(X)\)。首先求\(E(X)\)：\(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx\)。计算积分\(\int_{0}^{1}2x^2dx=\frac{2}{3}x^3\big|_0^1=\frac{2}{3}\)。然后求\(E(X^2)\)：\(E(X^2)=\int_{\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx=\int_{0}^{1}x^2\cdot2xdx\)。计算积分\(\int_{0}^{1}2x^3dx=\frac{1}{2}x^4\big|_0^1=\frac{1}{2}\)。最后求\(D(X)\)：\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2=\frac{1}{2}(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{2}\frac{4}{9}=\frac{1}{18}\)。

3.设总体\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的一个样本，求样本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的数学期望\(E(\overline{X})\)和方差\(D(\overline{X})\)。已知\(X_i\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。求\(E(\overline{X})\)：\(E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)\)。因为\(E(X_i)=\mu\)，所以\(E(\overline{X})=\frac{1}{n}\cdotn\mu=\mu\)。求\(D(\overline{X})\)：\(D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)\)。因为\(D(X_i)=\sigma^2\)，所以\(D(\overline{X})=\frac{1}{n^2}\cdotn\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}\)。

二、知识点总结

（一）线性代数知识点1.矩阵的秩通过初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩阵的秩。秩的概念在判断矩阵的可逆性、向量组的线性相关性以及方程组的解的情况等方面有重要应用。例如在本题中，通过对矩阵\(A\)进行初等行变换，使其呈现阶梯形，从而根据秩的定义确定\(t\)的值使得矩阵\(A\)的秩为\(2\)。2.向量组的线性相关性向量组线性相关的充要条件是存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0\)。通常通过构造矩阵并对其进行初等行变换，将矩阵化为行最简形来判断向量组的线性相关性。像本题中构造矩阵\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)，经过初等行变换后，根据秩与向量个数的关系来确定\(t\)的值使向量组线性相关。3.齐次线性方程组求解齐次线性方程组的步骤包括写出系数矩阵，通过初等行变换将系数矩阵化为行最简形，进而得到方程组的同解方程组，从而求出基础解系和通解。本题中通过对系数矩阵\(A\)的一系列初等行变换，得到同解方程组，进而确定了基础解系和通解的表达式。

（二）概率统计知识点1.正态分布对于正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，通过标准化变换\(Z=\frac{X\mu}{\sigma}\)可以将一般正态分布转化为标准正态分布\(N(0,1)\)。利用标准正态分布的概率值表（如本题中的\(\varPhi(1)=0.8413\)）来计算相关区间的概率。例如本题中求\(P(1<X\leqslant3)\)，就是先将\(X\)标准化，然后利用标准正态分布的性质进行计算。2.随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量\(X\)的数学期望\(E(X)=\sum_{i}x_ip_i\)，连续型随机变量\(X\)的数学期望\(E(X)=\int_{\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)。数学期望反映了随机变量取值的平均水平。本题中对于连续型随机变量\(X\)，通过积分\(\int_{0}^{1}x\cdot2xdx\)计算出\(E(X)=\frac{2}{3}\)。方差：方差\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2\)，它衡量了随机变量取值的离散程度。计算\(D(X)\)时，需要先求出\(E(X^2)=\int_{\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx\)，再结合\(E(X)\)的值进行计算。本题中通过计算\(E(X^2)=\int_{0}^{1}x^2\cdot2xdx=\frac{1}{2}\)，进而得到\(D(X)=\frac{1}{18}\)。3.样本均值的数字特征已知总体\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，样本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)。样本均值的数学期望\(E(\overline{X})=\mu\)，方差\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)。这两个性质在抽样推断等方面有重要应用。

三、解题方法总结

（一）线性代数解题方法1.矩阵秩的计算方法对矩阵进行初等行变换是求矩阵秩的基本方法。在变换过程中，要熟练运用行变换的规则，如倍加变换、倍乘变换等，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵中非零行的行数确定矩阵的秩。例如在求矩阵\(A\)的秩时，通过\(r_22r_1\)，\(r_33r_1\)等变换将矩阵化为阶梯形，从而方便得出秩的值。2.向量组线性相关性的判断方法构造矩阵法是判断向量组线性相关性的常用方法。将向量组按列构成矩阵，然后对矩阵进行初等行变换，化为行最简形。若矩阵的秩小于向量组中向量的个数，则向量组线性相关；若秩等于向量个数，则向量组线性无关。本题中就是通过这种方法，对矩阵\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)进行初等行变换，根据秩与向量个数的关系判断向量组的线性相关性。3.齐次线性方程组的求解方法求解齐次线性方程组的关键步骤是将系数矩阵化为行最简形。通过一系列的初等行变换，将系数矩阵化为行最简形后，写出同解方程组，进而确定自由变量，令自由变量为任意常数（如本题中令\(x_3=k\)），得到方程组的通解，通解中的基础解系就是自由变量取不同值时得到的解向量。

（二）概率统计解题方法1.正态分布概率的计算方法对于正态分布概率的计算，首先要进行标准化变换，将一般正态分布转化为标准正态分布。然后利用标准正态分布的概率值表来查找相应的概率值。例如本题中求\(P(1<X\leqslant3)\)，通过标准化得到\(P(1<\frac{X1}{2}\leqslant1)=\varPhi(1)\varPhi(1)\)，再利用\(\varPhi(1)=1\varPhi(1)\)的性质进行计算。2.随机变量数字特征的计算方法计算随机变量的数学期望和方差时，要根据随机变量是离散型还是连续型选择相应的公式。对于连续型随机变量，通过积分计算期望和方差的相关积分表达式。例如计算\(E(X)\)和\(D(X)\)时，分别利用\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx\)和\(D(X)=E(X^2)[E(X)]^2\)，其中\(E(X^2)=\int_{0}^{1}x^2\cdot2xdx\)来进行计算。3.样本均值数字特征的计算方法已知总体分布求样本均值的数学期望和方差，直接运用相应的公式\(E(\overline{X})=\mu\)和\(D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}\)。这是基于样本均值的性质，在抽样分布等理论中有重要应用。

四、常见错误分析

（一）线性代数部分1.矩阵初等行变换错误在对矩阵进行初等行变换时，可能会出现计算错误。比如在\(r_22r_1\)，\(r_33r_1\)等变换过程中，数字计算失误，导致阶梯形矩阵错误，进而影响对矩阵秩的判断以及向量组线性相关性的判断。例如在计算矩阵\(A=\begin{pmatrix}1