2025年高考数学必刷题分类：第27讲、多元最值问题（教师版）

第27讲多元最值问题

知识梳理

解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元

法、三角代换法、齐次式等解题技能．

必考题型全归纳

题型一：消元法

例1．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数x，y满足lnxyexlny，则yex的最大值

为______.

1

【答案】/e2

e2

x

xxxxxxln

【解析】由lnxyexlny得lnye，所以lnxe，则xexlney，

yyyy

x

xlnx

因为x0，e0，y，所以ln0，

e0y

令f(x)xexx0，则f(x)ex(x1)0，所以fx在0,上单调递增，

x

xlnxxx

所以由xexlney，即fxfln，得xln，所以y，

yyyex

x1x1

所以yex，

exexex

x12x

令g(x)x0，则g(x)，

exex

令g(x)0，得0x2；令g(x)0，得x2，

所以g(x)在0,2上单调递增，在2,上单调递减，

1x1

所以g(x)maxg(2)，即ye的最大值为．

e2e2

1

故答案为：．

e2

例2．（2024·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数m,n满足：

lnt

mem(n1)ln(n1)t(t0)，则的最大值为___________.

m(n1)

1

【答案】

e

【解析】由已知得，m0,n10,lnn10，

令fxxex(x0)，则f'xx1ex0，

\f(x)在0,上单调递增，

又因为mem(n1)ln(n1)，

所以fmflnn1,

mlnn1，

mn1(n1)lnn1t,

lntlnt

，

mn1t

lnt

令gt(t0),

t

1lnt

所以g't，

t2

则当t(0,e)时，g'(t)0，g(t)单调递增；当t(e,)时，g'(t)0，g(t)单调递减；

1

所以g(t)g(e).

maxe

1

故答案为：.

e

例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数xy0,不等式

x22y2cx(yx)恒成立,则实数c的最大值为__________.

【答案】224

【解析】因为对任给实数xy0,不等式x22y2cx(yx)恒成立，

2

x

2

x22y2y

所以c22，

xyxxx

yy

xt22

令t1，则cf(t)，

ytt2

2

t4t2(t22)(t22)

f(t)22，

tt2tt2

当t22时，f(t)0，函数f(t)单调递增；当1t22时，f(t)0，函数f(t)单调

递减，

所以当t22时，f(t)取得最小值，f(22)224，

所以实数c的最大值为224

故答案为：224

题型二：判别式法

例4．（2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若x,yR，4x2y2xy1，则当

x______时，xy取得最大值，该最大值为______.

1514154

【答案】/15/15

30301515

【解析】令xyt，则ytx，

2

则4x2y2xy4x2txxtx4x2txt21，

即4x2txt210，

22415415

由t16t10，解得：t，

1515

415

故xy，

15

415

xy15715

故15，解得：x，y，

223030

4xyxy1

15715

所以当且仅当x，y时，等号成立，

3030

故答案为：15，415

3015

例5．（2024·全国·高三竞赛）在ABC中，2cosA3cosB6cosC，则cosC的最大值为

_______________．

【答案】141

6

2

【解析】令cosAx,cosBy,cosCz，则2x3y6z，即y2zx．

3

因为cos2Acos2Bcos2C2cosAcosBcosC1，

2

2222

所以x2zxz12x2zxz，

33

1342282

整理得zx4zzx5z10，

933

2

282134z

Δ4zz45z10，

393

24z13

化简得(z1)(z1)4z0，

39

24z13141

于是4z0，得z，

396

141

所以cosC的最大值为．

6

141

故答案为：.

6

axb

例6．（2024·高一课时练习）设非零实数a，b满足a2b24，若函数y存在最大

x21

值M和最小值m，则Mm_________.

【答案】2

b2b2

【解析】化简得到yx2axyb0，根据0和a2b24得到y，解得

22

axb

答案.y，则yx2axyb0，则a24yyb0，

x21

即4y24yba20，a2b24，故4y24ybb240，

b2b2b2b2

2yb22yb20，即y，即m,M，

2222

Mm2.

故答案为：2.

1

变式1．（2024·江苏·高三专题练习）若正实数x,y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x

2y

的最大值为________．

32

【答案】1

2

【解析】令x1t,(t0)，则22，即

2y(2xy1)(2yt2)(5y2)(y2)

(4t25)y2(88t)y80，因此

22232

(88t)32(4t5)02t4t70，解得：0t1，当t132时，

22

4t462835242132

y0，x0，因此x的最大值为1

4t2517122122162y2

32

故答案为：1

2

变式2．（2024·全国·高三专题练习）设a,bR，0，若a2b24，且ab的最大值

是5，则___________.

【答案】4

abd2222

【解析】令ab=d，由22消去a得：(db)b4，即(1)b2dbd40，

ab4

24(1)11

而bR，0，则(2d)24(1)(d24)0，d，2d2，

1

依题意25，解得4.

故答案为：4

题型三：基本不等式法

xyyz

例7．设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数fx,y,z的最大值是_____.

x2y2z2

【答案】2

2

【解析】引入正参数λ、μ.

因为2x2y22xy，2y2z22yz，所以，

1212

xyx2y2，yzyz.

2222

21212

两式相加得xyyzxyz.

2222

111

令，得2，

22222

2

故xyyzx2y2z2.

2

xyyz

2

因此，fx,y,z222的最大值为.

xyz2

例8．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数x,y满足2x2xyy21，则

x2y

的最大值为________.

5x22xy2y2

【答案】2

4

【解析】由2x2xyy21，得(2xy)(xy)1，

1

设2xyt,xy，其中t0.

t

112111

则xt,yt，从而x2yt,5x22xy2y2t2，

33t3t3tt2

1x2yu

记ut，则，

t5x22xy2y2u22

112

不妨设u0，则224,

u2u

uu

22

当且仅当u，即u2时取等号，即最大值为.

u4

2

故答案为：.

4

abbc

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知正数a,b,c，则的最大值为_________．

2a2b2c2

【答案】6

4

abbcabbcabbc16

222

【解析】2abc2122222224（当且仅

2abbc2ab2bc2

33333

36

当2ab，bc时取等号），

33

abbc6

的最大值为.

2a2b2c24

6

故答案为：.

4

题型四：辅助角公式法

例10．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则sinsincos

的范围是______________．

3

【答案】1,

2

【解析】因为角、均为锐角，所以sin,cos,sin,cos的范围均为0,1，

所以sinsincoscossinsinsin，

π

所以sinsincossincos2sin

4

ππππ3π

因为0,0,，

22444

π2

所以2sin21，

42

sinsincossinsincoscossinsin

2

=1sinsincoscossin1sincos2sin

=21sinsin，

当且仅当1sincos=sincos时取等，

令1sint，t0,1，sin1t2，

2

233

所以2

=21sinsin2t1tt.

222

3

则sinsincos的范围是：1,.

2

3

故答案为：1,

2

例11．ycos()coscos1的取值范围是．

1

【答案】[4,]

2

【解析】ycoscossinsincoscos1

(cos1)cos(sin)sin(cos1)

(cos1)2sin2sin()(cos1)

22cossin()(cos1)

因为sin()[1,1]，

所以22cos(cos1)y22cos(cos1)，

令t1cos，则t[0,2]，

则2tt2y2tt2，

21

所以y2tt2(t)24，（当且仅当t2即cos1时取等）；

22

21121

且y2tt2(t)2，（当且仅当t即cos时取等）．

22222

1

故y的取值范围为[4,]．

2

题型五：柯西不等式法

例12．（2024·广西钦州·高二统考期末）已知实数ai，biR，（i＝1，2…，n），且满足

222222

a1a2an1，b1b2bn1，则a1b1a2b2anbn最大值为（）

A．1B．2C．n2D．2n

【答案】A

22L222L2L2

【解析】根据柯西不等式，a1a2anb1b2bna1b1a2b2anbn，故

1

ababab1，又当a1b1a2b2...anbn时等号成立，故

1122nnn

a1b1a2b2anbn最大值为1

故选：A

例13．（2024·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知x，y，z是正实数，且xyz5，则

x22y2z2的最小值为______.

【答案】10

2

2222122

【解析】由柯西不等式可得x2yz11(xyz)，

2

5

所以x22y2z225，即x22y2z210，

2

x2yz

当且仅当111即x2yz也即x2,y1,z2时取得等号，

2

故答案为：10

例14．（2024·江苏淮安·高二校联考期中）已知x2y2z21，a3b6c16，则

222

xaybzc的最小值为______.

【答案】9

2

【解析】∵a3b6c1612326a2b2c24a2b2c2

abc

∴a2b2c24,当且仅当时等号成立，即a1,b3,c6，

136

222

∵xaybzc12xabycza2b2c2

12x2y2z2a2b2c2a2b2c212a2b2c2a2b2c2

2

222abc136

abc19，当且仅当时等号成立，可取x,y,z

xyz444

故答案为：9

变式3．（2024·全国·高三竞赛）已知x、y、zR，且sx2y5z10，

tx1y1z1，则s2t2的最小值为.

A．35B．410

C．36D．45

【答案】C

【解析】由stx2x1y5y1z10z1，

149

st.

x1x2y1y5z1z10

2

知s2t2stst12336.

11

当x1x2y1y5z1z10时，取得最小值36.

23

故答案为C

变式4．（2024·全国·高三竞赛）设a、b、c、d为实数，且a2b2c2d240.则

3a2bc4d的最大值等于.

A．2B．0C．2D．22

【答案】D

【解析】由题意得a2b2c222d2，所以

22

222222222

4dabc232123a2bc22(利用柯西不等式）.

从而，4d3a2bc223a2bc22.

故3a2bc4d22.

当且仅当a32，b22，c2，d42时，等号成立.

题型六：权方和不等式法

11

例15．（2024·甘肃·高三校联考）已知x>0，y>0，且1，则x+2y的最小值为

2xyy1

____________.

1

【答案】3

2

【解析】设x2y1(2xy)2(y1)t，

133

可解得,,t，

12222

133

从而x2y(2xy)(y1)

222

131131

(2xy)(y1)3，

222xyy122

133

当且仅当x,y时取等号.

233

1

故答案为：3．

2

21

例16．已知实数x,y满足xy0且xy1，则的最小值是

x3yxy

【答案】322

2

2

2121322

【解析】．

x3yxy2x2y2

2113

当时，x2,y2取等号．

x3yxy22

a2b2

例17．已知a1,b1，则的最小值是．

b1a1

【答案】8

22

a2b2abt24

【解析】ab2t0，t48.

b1a1ab2tt

ab22

当ab时，即a2,b2，两个等号同时成立．

b1a1

122

变式5．已知x,y0,1，则x2y2的最小值是．

xy

【答案】33

333

122122212233

【解析】1．

11122

xy2222

x2y2xy2xy

12

22

xy

即当时，即x3,y32，有x2y2的最小值为33．

122

1

xy

题型七：拉格朗日乘数法

例18．x0，y0，xyxy17，求x2y3的最小值．

【解析】令F(x,y,)x2y3(xyxy17)

，，，

Fx1y0Fy2x0F(xyxy)170

1

联立解得x5，y2，，故x2y3最小为12．

3

例19．设x,y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是．

【答案】210

5

【解析】令L2xy(4x2y2xy1)，

10

Lx28x3y0x

由，解得10，

Ly12y3x0

2210

L4xyxy10y

5

1010210

所以2xy的最大值是2．

1055

题型八：三角换元法

例20．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）已知函数f(x)3x33x3x3x3，

若f(3a2)f(b21)6，则a1b2的最大值是________

【答案】3

3

【解析】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=

3x33x3x3x,

所以g(x)3(x)33x3x3x,g(x)g(x)0,

所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，

由题得g(x)9x233xln33xln30，

所以函数g（x）是减函数，

因为f3a2fb216，

所以f3a23fb2130，

所以g3a2gb21=0,

223

所以g3a=g(1-b),所以3a21b2,3a2b21,设acos,bsin,

3

不妨设cos0，

333

所以a1b2=cos1sin2(1sin2)cos2(1sin2)(1sin2)

333

333

=1sin4，所以a1b2的最大值为.

333

故答案为3

3

例21．（2024·浙江温州·高一校联考竞赛）2x2xyy21，则x2xy2y2的最小值为

______.

【答案】429

7

2coscos

【解析】根据条件等式可设x,ysin，代入所求式子，利用二倍角公式和

77

辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值.2x2xyy21，则

2

222

7xx2，即7xx，

xyy1y1

4422

7xx2coscos

设cos,ysin，则x,ysin，

2277

22

222cos2coscoscos

xxy2ysin2sin

7777

4cos22sincos

2sin2

77

41cos2sin2

1cos2

727

159

sin2cos2

777

42935

sin2，其中是辅助角，且tan，

777

429

当sin21时，原式取得最小值为.

7

429

故答案为：.

7

题型九：构造齐次式

2xyxy

例22．（2024·江苏·高一专题练习）已知x0，y0，则的最大值是______.

x28y2x22y2

【答案】2

3

x4y

3()

2xyxy3x3y12xy3yx

【解析】由题意，22224224

x2y2

x8yx2yx10xy16y()16()10

yx

x4yx4y

3()3()

yxyx

x4yx4y2，

()22()

x4y

yxyx

yx

x4yx4yx4yx4y

设t，则t24，当且仅当，即x2y取等号，

yxyxyxyx

2

又由yt在[4,)上单调递增，

t

2929

所以yt的最小值为，即t，

t2t2

x4y

3()

yx32

所以x4y22，

()t3

x4y

yxt

yx

2xyxy2

所以的最大值是.

x24y2x22y23

2

故答案为：.

3

3a1

例23．（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数a,b0，若a2b1，则

bab

的最小值为（）

A．12B．23C．63D．8

【答案】A

3a1

【解析】由，a2b1，a,b0，

bab

2

3a13aa2b

所以

babbab

3aa24ab4b2

bab

3aa4b

4

bba

4a4b4a4b

4248412，

baba

4a4b1

当且仅当ab时，取等号，

ba3

3a1

所以的最小值为：12，

bab

故选：A.

ab

例24．（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足a22ab9b2c0，则

c

的最大值为____________．

1

【答案】/0.25

4

【解析】由a22ab9b2c0，得ca22ab9b2，

∵正实数a，b，c

abab1

∴则22a9b

ca2ab9b2

ba

a9ba9b

则26，

baba

a9b

当且仅当，且a，b>0，即a=3b时，等号成立

ba

a9b

240

ba

11

则a9b

24

ba

ab1

所以，的最大值为.

c4

1

故答案为：.

4

题型十：数形结合法

例25．（2024·全国·高三专题练习）函数fxx2axb（a，bR）在区间[0，c]（c0）

上的最大值为M，则当M取最小值2时，abc_____

【答案】2

【解析】解法一：因为函数yx2axb是二次函数，

所以fxx2axb（a，bR）在区间[0，c]（c0）上的最大值是在[0，c]的端点取到

a

或者在x处取得．

2

aa2

若在x0取得，则b2；若在x取得，则b2；

24

若在xc取得，则c2acb2；

进一步，若b2，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合题意；

若b2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不合题意；

a2

由此推断b，即有b2，ac0，

4

于是有abc2．

解法二：设gxx2，hxaxb，则fxgxhx．

22

首先作出gxx在x0,c时的图象，显然经过（0，0）和c,c的直线为h1xcx，

该曲线在[0，c]上单调递增；

2

其次在gxx图象上找出一条和h1xcx平行的切线，

2

不妨设切点为x0,x0，于是求导得到数量关系2x0c．

2

结合点斜式知该切线方程为hxcxc．

24

1c2c2

因此Mmin02，即得c4．此时hxcx，

248

即hx4x2，那么a4，b2．从而有abc2．

xlnx,x0

例26．（2024·江苏扬州·高三阶段练习）已知函数fx，若x1x2且

2x4e,x0

fx1fx2，则x1x2的最大值为（）

15

A．2eB．2e1C．5eD．e

e2

【答案】D

【解析】当x0时，fxxlnx，

1

求导fxlnx1，令fx0，得x

e

11¢

当x0,时，fx0，fx单调递减；当x,时，f(x)>0，fx单调递增；

ee

作分段函数图象如下所示：

设点A的横坐标为x1，过点A作y轴的垂线交函数yfx于另一点B，设点B的横坐标为

5

x2，并过点B作直线y2x4e的平行线l，设点A到直线l的距离为d，xxd，

122

由图形可知，当直线l与曲线yxlnx相切时，d取最大值，

令fxlnx12，得xe，切点坐标为e,e，

2ee4e

此时，d5e，

5

55

xx5ee，

12max22

故选：D

xlnx,x0

例27．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx，若x1x2且fx1fx2，

x1,x0

则x1x2的最大值为（）

A．22B．2C．2D．1

【答案】B

【解析】设点A的横坐标为x1，过点A作y轴的垂线交函数yfx于另一点B，设点B的

横坐标为x2，并过点B作直线yx1的平行线l，设点A到直线l的距离为d，计算出直线l

的倾斜角为，可得出xx2d，于是当直线l与曲线yxlnx相切时，d取最大值，

412

从而x1x2取到最大值.当x0时，fxxlnx，

1

求导fxlnx1，令fx0，得x

e

11¢

当x0,时，fx0，fx单调递减；当x,时，f(x)>0，fx单调递增；

ee

如下图所示：

设点A的横坐标为x1，过点A作y轴的垂线交函数yfx于另一点B，设点B的横坐标为

x2，并过点B作直线yx1的平行线l，设点A到直线l的距离为d，x1x22d，

由图形可知，当直线l与曲线yxlnx相切时，d取最大值，

令fxlnx11，得x1，切点坐标为1,0，

101

此时，d2，x1x2222，

2max

故选：B.

x,0x1,

变式6．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数fx若存在实数x1，x2满

ln2x,1x2,

足0x1x22，且fx1fx2，则x2x1的最大值为（）

ee

A．B．1C．1ln2D．2ln4

22

【答案】B

x,0x1,

【解析】fx的图象如下

ln2x,1x2

存在实数x1，x2满足0x1x22，且fx1fx2，即x1ln2x2

e

∴x21,，则x2x1x2ln2x2

2

ex1

令gxxln2x，x1,，则gx

2x

eee

∴gx在上单调递增，故

1,gxmaxg1

222

故选：B

题型十一：向量法

例28．（2024·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）17世纪法国数学家费马在给朋友

的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角