人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案（共两套）

人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题（5分×8题=40分）1.已知AB=5,-3,C=A.(11,-3)B.(9,-3)C.(9,3)D.(4,0)2.已知向量a=1,3,b=3,m，若向量a,bA.23B.3C.03.设△ABC中BC边上的中线为AD，点O满足AO=-2DO，则OCA.-13AB+23ACB.24.已知向量a=-2,1,A.a//b，a//cB.a//b，a⊥cC.a//b，b//cD.a⊥b，a//c5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB+asinA,则△ABC的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定6.已知非零向量a,b满足：a=1,1,b=1,a-bA.π6B.π4C.7.在△ABC中，AC=2，BC=22，∠ACB=135°，过点C作CD⊥AB交AB于点D，则CD=（）A.255B.2C.38.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为36a，则cbA.8B.6C.32D.二、多项选择题（5分×4题=20分，全选对5分，部分对3分，有错选不得分）9.设a,b,c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（）A.0·a=0C.a·b=0⇒a⊥b10.下列说法正确的有（）A.在△ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinCB.在△ABC中，若sin2A=sin2BC.在△ABC中，若sinA＞sinB,则A＞D.在△ABC中，a11.设a,b是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A.若|a|+|b|=|a|-|b|,则存在实数λ，使得a=B.若a⊥b,则C.若a+b=a+D.若存在实数λ12.如图，设三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且3acosC+ccosA=2bsinB，且∠CAB=π3.若点D是△ABC外一点，DC=1，DA=A.△ABC的内角B=πB.△ABC的内角C=πC.四边形ABCD面积的最大值为53D.四边形ABCD面积无最大值三、填空题（5分×4题=20分）13.在△ABC中，若a=2,b=23,A=3014.已知a=5,b=2,1，且a//b，则向量15.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若B=2A，a=1,b=3c=_16.已知在锐角△ABC中，A=π3,CA四、解答题（6大题，共70分）17.(10分)已知向量a与b的夹角为60°,a=3,(1)求a·b的值.(2)若c⊥d，求实数m的值.18.(12分)如图，三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,bcosA-asinB=0(1)求A.(2)若AB⊥CD，AC=22，CD=5，求AD的长19.(12分)已知a(1)求证，向量a+b与a-b垂直(2)若ka+b与a-kb的模相等，求β-20.(12分)设三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=(1)求a,c的值.(2)求sin⁡21.(12分)设三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且bsinB+csinC=asinA+csinB.(1)求角A的大小.(2)若cosB=43722.(12分)已知向量a=m,cos2x,b=(sin2x,n)，函数y=f(x)的图像过点(π12,(1)求m,n的值.(2)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位长度，得到函数y=g(x)的图像，若y=f(x)的图像上各最高点到点(y=f(x)的单调递增区间.参考答案一、选择题123456789101112BBADBBADABACDABCABC二、填空题13.【60°或120°】由正弦定理得asinA=bsinB，所以sinB=bsinA14.【25,5或(-2x-2y=0,x2+y2=5,215.【2】因为B=2A,a=1,b=3,由正弦定理有1sinA=3a2=b216.【(0,12)】设△ABC内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，由题意得BA=c=2,由余弦定理得a2=b2+4-2b17.(1)(2)因为c⊥d,所以3即3ma所以3m×318.(1)在△ABC中，由正弦定理得sinBcosA-sinAsinB=0,∵sinB≠0，∴tanA=1,∵A(2)∵AB⊥AD，且∠BAC=π4，∴∠CAD=π∠CAD=π4,由余弦定理CD2=19.(1)证明：∵a所以a+ba-b(2)∵ka+b=aab=0.∴因为0<β<α<20.(1)由余弦定理，b2=因为a+c=6,b=2,cosB=79,所以ac=9(2)在△ABC中，sinB=1-cos2因为a=c,所以sin21.(1)根据题意即正弦定理得b2+c2=a2+bc,(2)由(1)知A=π3，则sinA=32所以sinB=1-cos2c=asinCsinA=13.22.(1)由题意知fx=所以12m(2)由(1)得fxgx=fx+φ=2sin2x+2φ+π6,设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知x02所以g由-π+2kπ所以y=g(x)的单调递增区间为[-人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（二）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共60分）一单项选择题（5分×12=60分）1.设复数z满足1+iz=2i，则z=（A.1B.2C.D.22.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD=（）A.-2B.6C.2D.-63.已知点O是ΔABC所在平面内一点，点D为BC边的中点，且AO=2OD,mOA+OB+OC=0,则m的值为（A.1B.2C.-1D.-24.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=1,-2,AD=(2,1)则AB·AC=（）A.5B.4C.3D.25.已知a=10,a·b=-530A.B.C.D.6.复数z在复平面内表示的点Z如图所示，则使得z2·z1是纯虚数的一个A.4B.3C.4-3D.3-47.设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ΔABC的面积为a2+b2-c24A.1B.2C.3D.48.已知a=sinα,1-4cos2α,b=1,3sinα-2,αA.B.-C.D.-9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1A.存在点E，使得A1C1/B.对于任意的点E，平面A1CC.存在点E，使得B1DD.对于任意的点E，四棱锥B1-BE10.已知AB⊥AC，AB=1t,AC=t,若点P是ΔABC所在平面内一点，且AP=AB|AB|+4AC|AC|，则PB·PC的最大值等于（A.13B.15C.19D.2111.已知向量OB=1,0,OC=0,1,CA=(cosθ,sinθ)，则的|AB|取值范围是（）A.[1,2]B.[2C.[D.[12.如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A'D'=2BA.2B.2C.3D.3第Ⅰ卷（选择题共60分）二填空题（5分×4=20分）13.已知向量a=x,2x,b=(-3x,2)，若a与14.已知A1,1,B(5,3)，向量AB绕点A顺时针旋转π2到AC位置，则点C的坐标为15.若复数z满足3z+z=1+i,其中i为虚数单位，则z=___________.16.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_____.三解答题（本大题共6小题，一共70分）17.(本小题满分10分)(Ⅰ)已知i为虚数单位，计算1+ⅈ1-ⅈ(Ⅱ)已知z是复数，z+3i与z3-ⅈ均为实数(为i虚数单位)，求复数z.18.(本小题满分12分)ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(Ⅰ)求A的值；(Ⅱ)若a=3,BC边上的高为2319.(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点P为矩形内一点，且AP=1,，设∠(Ⅰ)当α=π3时，求证：PC⊥PD；(Ⅱ)求PC+PD·AP的最大值.20.(本小题满分12分)已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，其内有一个球，球心到该三棱锥的四个面的距离都相等.求：(Ⅰ)棱锥的表面积；(Ⅱ)球的半径R.21.(本小题满分12分)在多面体ABCDEF中，直角梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直，∠FAD=∠EFA=90°,EF=AF=1(Ⅰ)求证：AE⊥平面CDE；(Ⅱ)求证：MN//平面ABF.22.(本小题满分12分)在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=cosA,cosB,b=(a,2c-b)，且(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若b=3，ΔABC的面积SΔABC=3参考答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一单项选择题（5分×12=60分）1.设复数z满足1+iz=2i，则z=（A.1B.2C.D.2【C】【解析】z=2ⅈ1+ⅈ=2ⅈ(1-i)2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD=（）A.-2B.6C.2D.-6【C】【解析】由题意有AE·BD=AD+DE·BA+AD=AD+12AB·AD-AB=AD2+13.已知点O是ΔABC所在平面内一点，点D为BC边的中点，且AO=2OD,mOA+OB+OC=0,则m的值为（A.1B.2C.-1D.-2【A】【解析】如图，OB+OC=2OD,因为故m=1,4.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=1,-2,AD=(2,1)则AB·AC=（）A.5B.4C.3D.2【A】【解析】由题意知DC=AB=1,-2,AC=AD+DC=3,-1,AB·AC=1×3+5.已知a=10,a·b=-530A.B.C.D.【C】【解析】因为a-ba+b=-15,所以b=5,因为a·b=-56.复数z在复平面内表示的点Z如图所示，则使得z2·z1是纯虚数的一个A.4B.3C.4-3D.3-4【C】【解析】由图可知复数z=-2+7.设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若ΔABC的面积为a2+b2-c2A.1B.2C.3D.4【A】【解析】S由正弦定理可得8.已知a=sinα,1-4cos2α,b=1,3sinα-2,αA.B.-C.D.-【B】【解析】因为a//b,所以9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CCA.存在点E，使得A1C1/B.对于任意的点E，平面A1CC.存在点E，使得B1DD.对于任意的点E，四棱锥B1【C】【解析】对于A，当点E位于棱CC1的中点时，A1C1//EF，因为A1C1⊈平面BED1F，EF⊆平面BED1F，所以A1C1//平面BED1F，故排除A；对于B，容易证明10.已知AB⊥AC，AB=1t,AC=t,若点P是ΔABC所在平面内一点，且AP=AB|AB|+4AC|AC|，则PB·PC的最大值等于（A.13B.15C.19D.21【A】【解析】以点A为坐标原点，AB,AC的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A0,0,B1t,0,0,t,t>0.因为AP=AB|AB|+4AC|AC|,所以P1,4,PB=1t-1,-4,所以PC=(-1,t-4),所以PB11.已知向量OB=1,0,OC=0,1,CA=(cosθ,sinθ)，则的|AB|取值范围是（）A.[1,2]B.[2C.[D.[【C】【解析】易知AC=-cosθ,-sinθ,CO=0,-1.因为OB=1,0,所以AB=AC+CO+OB=1-cosθ,-1-sinθ,所以AB=1-cosθ2+-1-sinθ2=3+22sinθ-π4,当sin(θ-12.如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A'D'=2BA.2B.2C.3D.3【C】【解析】如图，作平面直角坐标系xAy，AD在x轴上，且AD=2，AB在y轴上，且AB=2，过点B作BC//AD，且BC=1，则直角梯形ABCD为原平面图形，其面积S=1第Ⅰ卷（选择题共60分）二填空题（5分×4=20分）13.已知向量a=x,2x,b=(-3x,2)，若a与-∞,-13∪-13,0∪(43,+∞)【解析】设向量的夹角为θ，则cosθ=a14.已知A1,1,B(5,3)，向量AB绕点A顺时针旋转π2到AC位置，则点C的坐标为___________.3,-3【解析】由题意得AB=4,2,设点C(x,y)，则AC=(x-1,y-1)，所以AB·AC=4x-1+2y-1=0,因为|AB|=|AC|,所以20=x-1215.若复数z满足3z+z=1+i,其中i为虚数单位，则z=___________.14+12i【解析】设复数z=a+bi,a,b∈R,16.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_____.3π4【解析】设圆柱面底半径为r,由题意可得r=12三解答题（本大题共6小题，一共70分）17.(本小题满分10分)(Ⅰ)已知i为虚数单位，计算1+ⅈ1-ⅈ(Ⅱ)已知z是复数，z+3i与z3-ⅈ均为实数(为i虚数单位)，求复数z.【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)设z=x+yi,x,y∈R,因为z+3i=x-y+3i,由题意得y=-3.因为z18.(本小题满分12分)ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(Ⅰ)求A的值；(Ⅱ)若a=3,BC边上的高为23【解析】(Ⅰ)因为sinA+π6=2cosA,所以sinA=3cosA,(Ⅱ)由题意可知S△ABC=12×319.(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点P为矩形内一点，且AP=1,，设∠(Ⅰ)当α=π3时，求证：PC⊥PD；(Ⅱ)求PC+PD·AP的最大值.【解析】以点A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系如图，则A(Ⅰ)证明：当α=π3时，P12,所以PC·PD=32×-12(Ⅱ)由三角函数的定义可得Pcosα,sinα0<α<π2,则PC=2-cosα,