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文档简介
人教版高一年级下学期期中考试数学试卷(一)(本卷满分150分,考试时间120分钟)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题(5分×8题=40分)1.已知AB=5,-3,C=A.(11,-3)B.(9,-3)C.(9,3)D.(4,0)2.已知向量a=1,3,b=3,m,若向量a,bA.23B.3C.03.设△ABC中BC边上的中线为AD,点O满足AO=-2DO,则OCA.-13AB+23ACB.24.已知向量a=-2,1,A.a//b,a//cB.a//b,a⊥cC.a//b,b//cD.a⊥b,a//c5.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB+asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定6.已知非零向量a,b满足:a=1,1,b=1,a-bA.π6B.π4C.7.在△ABC中,AC=2,BC=22,∠ACB=135°,过点C作CD⊥AB交AB于点D,则CD=()A.255B.2C.38.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为36a,则cbA.8B.6C.32D.二、多项选择题(5分×4题=20分,全选对5分,部分对3分,有错选不得分)9.设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论不正确的是()A.0·a=0C.a·b=0⇒a⊥b10.下列说法正确的有()A.在△ABC中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB.在△ABC中,若sin2A=sin2BC.在△ABC中,若sinA>sinB,则A>D.在△ABC中,a11.设a,b是两个非零向量,则下列描述正确的有()A.若|a|+|b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=B.若a⊥b,则C.若a+b=a+D.若存在实数λ12.如图,设三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acosC+ccosA=2bsinB,且∠CAB=π3.若点D是△ABC外一点,DC=1,DA=A.△ABC的内角B=πB.△ABC的内角C=πC.四边形ABCD面积的最大值为53D.四边形ABCD面积无最大值三、填空题(5分×4题=20分)13.在△ABC中,若a=2,b=23,A=3014.已知a=5,b=2,1,且a//b,则向量15.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=2A,a=1,b=3c=_16.已知在锐角△ABC中,A=π3,CA四、解答题(6大题,共70分)17.(10分)已知向量a与b的夹角为60°,a=3,(1)求a·b的值.(2)若c⊥d,求实数m的值.18.(12分)如图,三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bcosA-asinB=0(1)求A.(2)若AB⊥CD,AC=22,CD=5,求AD的长19.(12分)已知a(1)求证,向量a+b与a-b垂直(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-20.(12分)设三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=(1)求a,c的值.(2)求sin21.(12分)设三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinB+csinC=asinA+csinB.(1)求角A的大小.(2)若cosB=43722.(12分)已知向量a=m,cos2x,b=(sin2x,n),函数y=f(x)的图像过点(π12,(1)求m,n的值.(2)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,若y=f(x)的图像上各最高点到点(y=f(x)的单调递增区间.参考答案一、选择题123456789101112BBADBBADABACDABCABC二、填空题13.【60°或120°】由正弦定理得asinA=bsinB,所以sinB=bsinA14.【25,5或(-2x-2y=0,x2+y2=5,215.【2】因为B=2A,a=1,b=3,由正弦定理有1sinA=3a2=b216.【(0,12)】设△ABC内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,由题意得BA=c=2,由余弦定理得a2=b2+4-2b17.(1)(2)因为c⊥d,所以3即3ma所以3m×318.(1)在△ABC中,由正弦定理得sinBcosA-sinAsinB=0,∵sinB≠0,∴tanA=1,∵A(2)∵AB⊥AD,且∠BAC=π4,∴∠CAD=π∠CAD=π4,由余弦定理CD2=19.(1)证明:∵a所以a+ba-b(2)∵ka+b=aab=0.∴因为0<β<α<20.(1)由余弦定理,b2=因为a+c=6,b=2,cosB=79,所以ac=9(2)在△ABC中,sinB=1-cos2因为a=c,所以sin21.(1)根据题意即正弦定理得b2+c2=a2+bc,(2)由(1)知A=π3,则sinA=32所以sinB=1-cos2c=asinCsinA=13.22.(1)由题意知fx=所以12m(2)由(1)得fxgx=fx+φ=2sin2x+2φ+π6,设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知x02所以g由-π+2kπ所以y=g(x)的单调递增区间为[-人教版高一年级下学期期中考试数学试卷(二)(本卷满分150分,考试时间120分钟)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷(选择题共60分)一单项选择题(5分×12=60分)1.设复数z满足1+iz=2i,则z=(A.1B.2C.D.22.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=()A.-2B.6C.2D.-63.已知点O是ΔABC所在平面内一点,点D为BC边的中点,且AO=2OD,mOA+OB+OC=0,则m的值为(A.1B.2C.-1D.-24.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=1,-2,AD=(2,1)则AB·AC=()A.5B.4C.3D.25.已知a=10,a·b=-530A.B.C.D.6.复数z在复平面内表示的点Z如图所示,则使得z2·z1是纯虚数的一个A.4B.3C.4-3D.3-47.设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ΔABC的面积为a2+b2-c24A.1B.2C.3D.48.已知a=sinα,1-4cos2α,b=1,3sinα-2,αA.B.-C.D.-9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1A.存在点E,使得A1C1/B.对于任意的点E,平面A1CC.存在点E,使得B1DD.对于任意的点E,四棱锥B1-BE10.已知AB⊥AC,AB=1t,AC=t,若点P是ΔABC所在平面内一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PB·PC的最大值等于(A.13B.15C.19D.2111.已知向量OB=1,0,OC=0,1,CA=(cosθ,sinθ),则的|AB|取值范围是()A.[1,2]B.[2C.[D.[12.如图所示,梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形,A'D'=2BA.2B.2C.3D.3第Ⅰ卷(选择题共60分)二填空题(5分×4=20分)13.已知向量a=x,2x,b=(-3x,2),若a与14.已知A1,1,B(5,3),向量AB绕点A顺时针旋转π2到AC位置,则点C的坐标为15.若复数z满足3z+z=1+i,其中i为虚数单位,则z=___________.16.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为_____.三解答题(本大题共6小题,一共70分)17.(本小题满分10分)(Ⅰ)已知i为虚数单位,计算1+ⅈ1-ⅈ(Ⅱ)已知z是复数,z+3i与z3-ⅈ均为实数(为i虚数单位),求复数z.18.(本小题满分12分)ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(Ⅰ)求A的值;(Ⅱ)若a=3,BC边上的高为2319.(本小题满分12分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P为矩形内一点,且AP=1,,设∠(Ⅰ)当α=π3时,求证:PC⊥PD;(Ⅱ)求PC+PD·AP的最大值.20.(本小题满分12分)已知正三棱锥的高为1,底面边长为26,其内有一个球,球心到该三棱锥的四个面的距离都相等.求:(Ⅰ)棱锥的表面积;(Ⅱ)球的半径R.21.(本小题满分12分)在多面体ABCDEF中,直角梯形ADEF与正方形ABCD所在平面互相垂直,∠FAD=∠EFA=90°,EF=AF=1(Ⅰ)求证:AE⊥平面CDE;(Ⅱ)求证:MN//平面ABF.22.(本小题满分12分)在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=cosA,cosB,b=(a,2c-b),且(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若b=3,ΔABC的面积SΔABC=3参考答案第Ⅰ卷(选择题共60分)一单项选择题(5分×12=60分)1.设复数z满足1+iz=2i,则z=(A.1B.2C.D.2【C】【解析】z=2ⅈ1+ⅈ=2ⅈ(1-i)2.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=()A.-2B.6C.2D.-6【C】【解析】由题意有AE·BD=AD+DE·BA+AD=AD+12AB·AD-AB=AD2+13.已知点O是ΔABC所在平面内一点,点D为BC边的中点,且AO=2OD,mOA+OB+OC=0,则m的值为(A.1B.2C.-1D.-2【A】【解析】如图,OB+OC=2OD,因为故m=1,4.在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=1,-2,AD=(2,1)则AB·AC=()A.5B.4C.3D.2【A】【解析】由题意知DC=AB=1,-2,AC=AD+DC=3,-1,AB·AC=1×3+5.已知a=10,a·b=-530A.B.C.D.【C】【解析】因为a-ba+b=-15,所以b=5,因为a·b=-56.复数z在复平面内表示的点Z如图所示,则使得z2·z1是纯虚数的一个A.4B.3C.4-3D.3-4【C】【解析】由图可知复数z=-2+7.设ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ΔABC的面积为a2+b2-c2A.1B.2C.3D.4【A】【解析】S由正弦定理可得8.已知a=sinα,1-4cos2α,b=1,3sinα-2,αA.B.-C.D.-【B】【解析】因为a//b,所以9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CCA.存在点E,使得A1C1/B.对于任意的点E,平面A1CC.存在点E,使得B1DD.对于任意的点E,四棱锥B1【C】【解析】对于A,当点E位于棱CC1的中点时,A1C1//EF,因为A1C1⊈平面BED1F,EF⊆平面BED1F,所以A1C1//平面BED1F,故排除A;对于B,容易证明10.已知AB⊥AC,AB=1t,AC=t,若点P是ΔABC所在平面内一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PB·PC的最大值等于(A.13B.15C.19D.21【A】【解析】以点A为坐标原点,AB,AC的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A0,0,B1t,0,0,t,t>0.因为AP=AB|AB|+4AC|AC|,所以P1,4,PB=1t-1,-4,所以PC=(-1,t-4),所以PB11.已知向量OB=1,0,OC=0,1,CA=(cosθ,sinθ),则的|AB|取值范围是()A.[1,2]B.[2C.[D.[【C】【解析】易知AC=-cosθ,-sinθ,CO=0,-1.因为OB=1,0,所以AB=AC+CO+OB=1-cosθ,-1-sinθ,所以AB=1-cosθ2+-1-sinθ2=3+22sinθ-π4,当sin(θ-12.如图所示,梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形,A'D'=2BA.2B.2C.3D.3【C】【解析】如图,作平面直角坐标系xAy,AD在x轴上,且AD=2,AB在y轴上,且AB=2,过点B作BC//AD,且BC=1,则直角梯形ABCD为原平面图形,其面积S=1第Ⅰ卷(选择题共60分)二填空题(5分×4=20分)13.已知向量a=x,2x,b=(-3x,2),若a与-∞,-13∪-13,0∪(43,+∞)【解析】设向量的夹角为θ,则cosθ=a14.已知A1,1,B(5,3),向量AB绕点A顺时针旋转π2到AC位置,则点C的坐标为___________.3,-3【解析】由题意得AB=4,2,设点C(x,y),则AC=(x-1,y-1),所以AB·AC=4x-1+2y-1=0,因为|AB|=|AC|,所以20=x-1215.若复数z满足3z+z=1+i,其中i为虚数单位,则z=___________.14+12i【解析】设复数z=a+bi,a,b∈R,16.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为_____.3π4【解析】设圆柱面底半径为r,由题意可得r=12三解答题(本大题共6小题,一共70分)17.(本小题满分10分)(Ⅰ)已知i为虚数单位,计算1+ⅈ1-ⅈ(Ⅱ)已知z是复数,z+3i与z3-ⅈ均为实数(为i虚数单位),求复数z.【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)设z=x+yi,x,y∈R,因为z+3i=x-y+3i,由题意得y=-3.因为z18.(本小题满分12分)ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin(Ⅰ)求A的值;(Ⅱ)若a=3,BC边上的高为23【解析】(Ⅰ)因为sinA+π6=2cosA,所以sinA=3cosA,(Ⅱ)由题意可知S△ABC=12×319.(本小题满分12分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P为矩形内一点,且AP=1,,设∠(Ⅰ)当α=π3时,求证:PC⊥PD;(Ⅱ)求PC+PD·AP的最大值.【解析】以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系如图,则A(Ⅰ)证明:当α=π3时,P12,所以PC·PD=32×-12(Ⅱ)由三角函数的定义可得Pcosα,sinα0<α<π2,则PC=2-cosα,
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