高数上册试题及答案

高数上册试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.设函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的极值点为：

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.x=2

2.下列函数中，在x=0处不可导的是：

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=e^x

D.f(x)=sin(x)

3.若f(x)=2x^3-3x^2+4x+1，则f'(x)=________。

4.若函数f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是：

A.f'(a)存在

B.f'(a)不存在

C.f(x)在x=a处有定义

D.f(x)在x=a处连续

5.设f(x)=x^2，则f''(x)=________。

6.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上必有：

A.最大值

B.最小值

C.有界

D.均匀连续

7.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处的导数f'(a)等于：

A.f(a+h)-f(a)/h

B.f(a-h)-f(a)/h

C.f(a+h)-f(a)/2h

D.f(a-h)-f(a)/2h

8.设函数f(x)=x^3-3x，则f'(x)=________。

9.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处的导数f'(a)等于：

A.f(a+h)-f(a)/h

B.f(a-h)-f(a)/h

C.f(a+h)-f(a)/2h

D.f(a-h)-f(a)/2h

10.若函数f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的充要条件是：

A.f'(a)存在

B.f'(a)不存在

C.f(x)在x=a处有定义

D.f(x)在x=a处连续

二、填空题（每题3分，共30分）

1.若函数f(x)=x^2-3x+2，则f(1)=________。

2.若函数f(x)=e^x，则f'(x)=________。

3.若函数f(x)=sin(x)，则f''(x)=________。

4.若函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=________。

5.若函数f(x)=x^3，则f''(x)=________。

6.若函数f(x)=e^x，则f''(x)=________。

7.若函数f(x)=sin(x)，则f'(x)=________。

8.若函数f(x)=x^2，则f'(x)=________。

9.若函数f(x)=e^x，则f'(x)=________。

10.若函数f(x)=ln(x)，则f''(x)=________。

三、解答题（每题10分，共40分）

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+4x+1的导数。

2.求函数f(x)=e^x-x^2的二阶导数。

3.求函数f(x)=sin(x)在x=π/2处的导数。

4.求函数f(x)=ln(x)在x=1处的导数。

四、计算题（每题10分，共40分）

1.计算极限：lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3。

2.计算极限：lim(x→∞)(x^3-3x^2+2x)/(x^2+4x+5)。

3.计算极限：lim(x→1)[(x-1)/(x^2-1)]/[(x-1)/(x^2+1)]。

4.计算极限：lim(x→0)(cos(x)-1)/(x^2)。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上必存在最大值和最小值。

2.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f(a)=f(b)，则存在至少一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

六、应用题（每题10分，共20分）

1.一质点做直线运动，其位移s(t)=t^3-6t^2+9t+3（单位：m），求该质点在t=2s秒时的速度。

2.一物体做匀加速直线运动，其速度v=t^2+4t（单位：m/s），求该物体在t=3s时的位移。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.B

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2，代入f''(x)=6x-6，得f''(0)=0，f''(2)=6，因此x=0是极大值点，x=2是极小值点。

2.B

解析：f(x)=|x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等。

3.6x^2-6x+4

解析：对f(x)=2x^3-3x^2+4x+1求导得f'(x)=6x^2-6x+4。

4.D

解析：若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处有定义，同时f(x)在x=a处可导。

5.2x

解析：对f(x)=x^2求导得f'(x)=2x。

6.A

解析：根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。

7.A

解析：根据导数的定义，f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h。

8.3x^2-6x+4

解析：对f(x)=x^3-3x^2+4x+1求导得f'(x)=3x^2-6x+4。

9.A

解析：根据导数的定义，f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h。

10.D

解析：若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处可导。

二、填空题答案及解析：

1.0

解析：代入x=1得f(1)=1^2-3*1+2*1+1=0。

2.e^x

解析：对f(x)=e^x求导得f'(x)=e^x。

3.-cos(x)

解析：对f(x)=sin(x)求导得f'(x)=cos(x)，再求导得f''(x)=-sin(x)。

4.1/x

解析：对f(x)=ln(x)求导得f'(x)=1/x。

5.6x

解析：对f(x)=x^3求导得f'(x)=3x^2，再求导得f''(x)=6x。

6.e^x

解析：对f(x)=e^x求导得f'(x)=e^x。

7.-sin(x)

解析：对f(x)=sin(x)求导得f'(x)=cos(x)，再求导得f''(x)=-sin(x)。

8.2x

解析：对f(x)=x^2求导得f'(x)=2x。

9.e^x

解析：对f(x)=e^x求导得f'(x)=e^x。

10.1/x^2

解析：对f(x)=ln(x)求导得f'(x)=1/x，再求导得f''(x)=-1/x^2。

三、解答题答案及解析：

1.f'(x)=3x^2-6x+4

解析：对f(x)=x^3-3x^2+4x+1求导得f'(x)=3x^2-6x+4。

2.f''(x)=2+4x

解析：对f(x)=e^x-x^2求导得f'(x)=e^x-2x，再求导得f''(x)=e^x-2。

3.f'(π/2)=1

解析：对f(x)=sin(x)求导得f'(x)=cos(x)，代入x=π/2得f'(π/2)=cos(π/2)=0。

4.f'(1)=1

解析：对f(x)=ln(x)求导得f'(x)=1/x，代入x=1得f'(1)=1。

四、计算题答案及解析：

1.-1/2

解析：利用泰勒展开，sin(x)≈x-x^3/6，代入得lim(x→0)[(x-x^3/6)-x]/x^3=-1/2。

2.0

解析：分子分母同除以x^3，得lim(x→∞)[(x^3-3x^2+2x)/x^3]/[(x^2+4x+5)/x^3]=lim(x→∞)[1-3/x+2/x^2]/[1+4/x+5/x^2]=0。

3.1/2

解析：化简得lim(x→1)[(x-1)/(x^2-1)]/[(x-1)/(x^2+1)]=lim(x→1)[(x-1)/(x-1)(x+1)]/[(x-1)/(x+1)]=lim(x→1)1/(x+1)=1/2。

4.-1/2

解析：利用泰勒展开，cos(x)≈1-x^2/2，代入得lim(x→0)[(1-x^2/2)-1]/x^2=-1/2。

五、证明题答案及解析：

1.证明：由介值定理，存在c∈[a,b]，使得f(c)=max{f(x)}或f(c)=min{f(x)}。

2.证明：由罗尔定理，存在c∈(a