2025版数学中考《二轮总复习微专题学案》二轮讲义19 遇到中点如何添加辅助线含答案或解析

微专题19遇到中点如何添加辅助线一阶方法训练 方法解读情形一已知三角形一边(两边)中点原理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半作法：1.如图①，连接一边中点与另一边中点构造中位线；2.如图②，倍长另一边构造中位线图①图②结论：DE∥BC，DE＝12情形二已知三角形一边中点原理：1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)；2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分作法：连接中点与顶点(1)等腰三角形(2)直角三角形结论：AD⊥BC，AD平分∠BAC结论：BD＝AD＝CD＝12(3)一般三角形结论：S△ABD＝S△ACD＝12S△情形三已知三角形一边上的中线或三角形一边上的中点与另一边上一点的连线原理：当三角形出现中线或与中线有关的线段，考虑倍长中线或倍长类中线构造全等三角形，利用全等三角形性质进行解题作法一：构造倍长中线延长AD至点E，使得AD＝DE，连接BE；结论：△BDE≌△CDA；作法二：构造倍长类中线延长MD至点N，使MD＝DN，连接CN；结论：△BDM≌△CDN方法一遇到中点，考虑构造中位线例1(北师九上习题改编)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF⊥BC于点F，连接DF，若BC＝8，EF＝3，则DF的长为()例1题图A.4B.5C.6D.8例2如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝12CD，F是AD的中点，若BF＝2，则AC的长为例2题图例3如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上一点，∠BAC＝2∠DEC，若CE＝8，AE＝2，则AB的长为.例3题图方法二遇到中点，考虑构造中线(2020.17)例4如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6，则EF的长为.例4题图例5(人教八上习题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，D为AB边的中点，E为BC延长线上一点，连接DE，∠B＝2∠E，则CE的长为.例5题图例6如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是CD的中点，F是BE的中点，若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为.例6题图方法三遇到中线(类中线)，考虑倍长中线(类中线)构造全等三角形(2024.15)例7如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝70°，∠DBC＝40°，BD＝3，则BC的长为.例7题图例8如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE.证法一(构造倍长中线)：例8题图证法二(构造倍长类中线)：二阶综合应用 1.(人教八上习题改编)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，若AF＝BC＝4，则△ABC的面积为()第1题图A.12 B.15 C.16 D.182.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EF，DF，若EF＝2，则DF的长为.第2题图3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在边BC上，连接ED，若∠A＝∠BED，则ED的长为.第3题图4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝60°，D，E分别为线段BC，AC上的动点，且BD＝EC，连接AD，BE交于点F，若点F为BE的中点，求线段BD的长.第4题图

一阶方法训练例1B【解析】如解图，连接DE，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝12BC＝4，∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠DEF＝180°－∠BFE＝90°，∵EF＝3，∴由勾股定理得DF＝32＋例1题解图例24【解析】如解图，延长DB至点G，使GB＝BD，连接AG.∵点F是AD的中点，∴BF是△ADG的中位线，∴AG＝2BF＝4，∵BD＝12CD，∴DG＝DC，∵AD⊥BC，∴AC＝AG＝4例2题解图例36【解析】如解图，过点D作DF∥AB交AC于点F，则∠DFC＝∠BAC，∵∠BAC＝2∠DEC，∠DFC＝∠DEC＋∠EDF，∴∠DEC＝∠EDF，∴EF＝DF，∵D为BC边的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴EF＝DF＝12AB，CF＝AF，∴CE＝CF＋EF＝AF＋EF＝AE＋EF＋EF＝2＋2EF＝2＋AB＝8，∴AB＝6例3题解图例43【解析】如解图，连接AF，∵AD＝AB，F是BD的中点，∴AF⊥BD，在Rt△AFC中，E是AC的中点，∴EF＝12AC＝12×6＝例4题解图例54【解析】如解图，连接CD，∵∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，∴CD＝BD＝AD＝12AB＝4，∴∠B＝∠BCD，∵∠B＝2∠E，∠BCD＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝∠CDE，∴CE＝CD＝4例5题解图例624【解析】如解图，连接AE，∵点F是BE的中点，∴S△AEF＝S△ABF＝12S△ABE.∵点E是CD的中点，∴S△ADE＝S△ACE，S△BDE＝S△BCE，∴S△ABE＝S△BDE＋S△ADE＝12S△ABC，∴S△ABC＝2S△ABE＝4S△ABF＝例6题解图例76【解析】如解图，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，∵∠BDC＝∠EDA，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴BC＝EA，∠DBC＝∠DEA＝40°，∵∠ABD＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABD－∠DEA＝180°－70°－40°＝70°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE＝2BD＝6，∴BC＝6.例7题解图例8证法一：证明：如解图①，延长AD至点G，使AD＝DG，连接BG，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△ACD和△GBD中，AD＝∴△ACD≌△GBD(SAS)，∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠BED＝∠EAF，∴∠BEG＝∠G，∴BE＝BG，∴AC＝BE.例8题解图①证法二：证明：如解图②，延长ED至点H，使ED＝DH，连接CH，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△BDE和△CDH中，BD＝∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴∠BED＝∠CHD，BE＝CH，∵AF＝EF，∴∠EAF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BED，∴∠BED＝∠EAF，∴∠CHD＝∠EAF，∴CH＝AC，∴AC＝BE.例8题解图②二阶综合应用1.A【解析】如解图，连接DE，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB且DE＝12AB，∴△DEF∽△ABF，∴DFAF＝DEAB＝12，∴DF＝12AF＝2，∴AD＝AF＋DF＝4＋2＝6，∴S△ABC＝12×第1题解图2.27【解析】如解图，连接AF，AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AB＝AD＝BC.∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形.∵E，F分别是边AB，BC的中点，EF＝2，∴AC＝2EF＝4，AF⊥BC，∴AB＝AD＝AC＝4，∠AFB＝∠DAF＝90°，在Rt△ABF中，AF＝AB·sin60°＝23，在Rt△AFD中，DF＝AF2＋A第2题解图3.154【解析】如解图①，连接BD，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴由勾股定理可得AC＝10.∵D是AC的中点，∴DB＝DC＝12AC＝5，∴∠C＝∠DBE.又∵∠A＝∠BED，∴△ABC∽△EDB，∴ABED＝BCDB，即6ED＝85第3题解图①一题多解法如解图②，过点D作DF∥AB交BC于点F，∴∠DFE＝∠B，在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴由勾股定理可得AC＝10.∵点D是AC的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴FD＝12AB＝3.又∵∠A＝∠BED，∴△ABC∽△EFD，∴BCFD＝ACED，即83＝10ED，第3题解图②4.解：如解图①，过点F作FG∥AC交BC于点G，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6.∵点F为BE的中点，FG∥AC，∴FG为△BCE的中位线，∴BG＝CG＝12BC＝3设CE＝x(0＜x＜6)，则FG＝12x，AE＝AC－CE＝6－x∵BD＝CE＝x，∴DG＝3－x，CD＝6－x.∵FG∥AC，∴△DGF∽△DCA，∴FGAC＝DGDC，即x2解得x＝－35＋9或x＝35＋9(舍去)，∴BD＝－35＋9.第4题解图①一题多解法解法二：如解图②，延长AF至点H，使得FH＝AF，连接BH，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6.∵点F为BE的中点，∴BF＝EF.又∵∠BFH＝∠EFA，∴△HFB≌△AFE，∴∠H＝∠FAE，BH＝AE，∴BH∥AE，∴△BHD∽△CAD，∴BDCD＝BH设CE＝BD＝x(0＜x＜6)，∴DC＝AE＝BH＝6－x，∴x6－x解得x＝－35＋9或x＝35＋9(舍去)，∴BD＝－35＋9.第4题解图解法三：如解图③，过点F作FN∥AB交AC于点N，过点E作EM∥AD交BC于点M，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6.设BD＝EC＝x(0＜x＜6)，∵点F为BE的中点，FN∥AB，∴FN为△ABE的中位线，∴FN＝12AB＝3，EN＝AN