2024-2025学年北京市门头沟区大峪中学高三（下）质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市门头沟区大峪中学高三（下）质检数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x≥0}，B={x|x2−2x−3≤0}，则A∪B=A.(−1,+∞) B.[−1,+∞) C.[0,3] D.[−1,3]2.若z−(1−i)=1+i，则|z|=(

)A.i B.1 C.2 D.3.已知a，b，c∈R，且a<b，0<c<1，则(

)A.a−c<b−1 B.ac<b C.ab−a<b4.下列函数中，满足“∃x0∈R，f(xA.f(x)=ln(x2+1) B.f(x)=x5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=30，A.54 B.63 C.72 D.1356.已知直线l：y=2x，双曲线C：x2a2−y24=1(a>0)，则“直线A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC与△PAB都是边长为2的等边三角形，且PC=3，则点P到平面ABC的距离为(

)A.1

B.32

C.328.关于函数f(x)=3sin(2x+π6)(x∈R)，有下列命题：

①若f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2=kπ2(k∈Z)；

②f(x)=3sin(2x+π6)(x∈R)的图象可由g(x)=3sin2x(x∈R)向左平移π12得到；A.1 B.2 C.3 D.49.在平面直角坐标系xOy中，已知直线ax+y−4a=0与直线x−ay+2=0交于点P，则对任意实数a，|OP|的最小值为(

)A.4 B.3 C.2 D.110.德国心理学家艾⋅宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数y=1−0.6t0.27近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)(

)A.2小时 B.0.8小时 C.0.5小时 D.0.2小时二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.在二项式(1x−2x12.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MF|=4，则点M的纵坐标为______，点O为坐标原点，△MOF的面积为______．13.《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺.问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布______尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为______．14.已知函数f(x)=ax−2,x<a,3x−x2,x≥a.若f(x)15.已知曲线C：ax2+by2+xy=1(a,b为常数)，给出下列四个结论：

①曲线C关于坐标原点对称；

②当a+b=0时，曲线C恒过两个定点；

③记曲线C在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为S，则对任意a>0，存在b>0，使得S>12ab；

④设P，Q为曲线C上的两个动点，则存在三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=π2，AA1=AC=CB=2．

(17.(本小题14分)

在△ABC中，S△ABC=12，若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：

①0<tanAtanC<1；②c=1；③a=2；④a2+c2>b2．

(Ⅰ)选出使△ABC18.(本小题13分)

10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射击频数11102424乙的射击频数32103015丙的射击频数24101826假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立．

(Ⅰ)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；

(Ⅱ)若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；

(Ⅲ)甲、乙、丙各射击10次，用Xi(i=1,2,3)分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于a环的次数，其中a∈{6,7,8,9}.写出一个a的值，使D(19.(本小题15分)

已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx．

(Ⅰ)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)当20.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，长轴长为4．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若直线l不垂直于坐标轴，直线l与椭圆C交于A，B两点，直线l与x轴交于点Q.点B关于x轴的对称点为点B′，直线AB′与x轴交于P点．

(ⅰ)求证：P，Q两点的横坐标之积为定值21.(本小题15分)

对正整数m≥3，n≥6，设数列A：a1，a2，…an，ai∈{0,1}(i=1，2，⋯，n).B是m行n列的数阵，bij表示B中第i行第j列的数，bij∈{0,1}(i=1，2，⋯，m；j=1，2，⋯，n)，且B同时满足下列三个条件：

①每行恰有三个1；

②每列至少有一个1；

③任意两行不相同．

记集合{i|a1bi1+a2b1i2+⋯+anbin=0或3，i=1，2，…，m}中元素的个数为K．

(Ⅰ)若A：1，1，1，0，0，0，B=11100010参考答案1.B

2.B

3.C

4.C

5.B

6.B

7.C

8.D

9.C

10.C

11.−160

12.3

313.8031

9

14.[0,2]

15.①②③

16.(Ⅰ)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC

所以CC1⊥底面ABC，

所以CC1⊥BC，

因为∠ACB=π2，

所以AC⊥BC，

因为AC⊂面ACC1A1，CC1⊂面ACC1A1，AC∩CC1=C，

所以BC⊥面ACC1A1，

因为AC1⊂面ACC1A1，

所以BC⊥AC1．

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知：CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥AC，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，

分别以CA，CB，CC1为x，y，17.解：(Ⅰ)选择①②③或②③④，理由如下：

因为A，B，C∈(0,π)，且A+B+C=π，tanAtanC>0，∴tanA>0且tanC>0，∴A,C∈(0,π2)，

又tanAtanC<1，sinAcosA⋅sinCcosC<1，sinA⋅sinC<cosA⋅cosC，cos(A+C)>0，

cos(π−B)>0，−cosB>0，cosB<0，

∵B∈(0,π)，∴B∈(π2,π)，

由④得a2+c2−b2>0，cosB=a2+c2−b22ac>0，∵B∈(0,π)，∴B∈(0,π2)，

故①④矛盾，②③同时成立，

所以选①②③或②③④．

(Ⅱ)若选①②③，S△ABC=12acsinB=18.解：(Ⅰ)甲进入决赛，理由如下：

丙射击成绩的总环数为2×6+4×7+10×8+18×9+26×10=542，

甲射击成绩的总环数为1×6+1×7+10×8+24×9+24×10=549，

因为549>542，

所以甲进入决赛；

(Ⅱ)根据题中数据，“甲命中9环”的概率可估计为2460=25；“甲命中10环”的概率可估计为2460=25；“乙命中9环”的概率可估计为3060=12；“乙命中10环”的概率可估计为1560=14，

所以这4次射击中出现2个“9环”和19.解：(Ⅰ)当a=1时，f(1)=12−2+ln1=−32，

f′(x)=(x−1)2x，则切线的斜率k=f′(1)=0，

所以切线方程为y−(−32)=k(x−1)，即y=−32，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−32．

(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=(x−a)(x−1)x，

x(0,a)a(a,1)1(1,+∞)f′(x)+0−0+f(x)↗极大值↘极小值↗f(x)在(0,a)上递增，在(a,1)上递减，在(1,+∞)上递增．

此时f(x)极大值=f(a)=−12a2−a+alna<0，f(2a+2)=aln(2a+2)>aln2>0，

所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点，

②当a=0时，f(x)=12x2−x，由f(x)=0，得x1=2，x2=0(舍)，x(0,1)1(1,+∞)f′(x)−0+f(x)↘极小值↗此时f(x)极小值=f(1)=−a−12，

若a<−12时，f(x)min=f(1)=−a−12>0，所以f(x)在(0,+∞)上无零点，

若a=−12时，f(x)min=f(1)=−a−12=0，所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点，

若−12<a<0时，f(x)min=f(1)=−a−12<0，

f(e1a)=120.解：(Ⅰ)因为2a=4，

所以a=2，

又e=ca=32，所以c=3，

所以b2=a2−c2=1，

椭圆C的方程x24+y2=1．

(Ⅱ)( i)由题意可知，直线AB存在斜率，且不为0，

设直线AB的方程为：y=kx+m(k≠0)，∴Q(−mk,0)，

联立y=kx+mx2+4y2−4=0消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0.△=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−4)>0．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则B′(x2,−y2)，x1+x2=−8km1+4k2，x1⋅x2=4m2−41+4k2，

∴AB′的方程为：y+y2y1+y2=x−x2x1−x2，

令y=0，则xp=y2(x1−x2)y1+y2+x2=y2x1+x2y1y1+y2=2kx1x2+m(x1+x2)k(x1+x2)+2m=2k⋅4m2−41+4k2+m⋅−8km1+4k2k⋅−8km1+4k2+2m=−4km，

21.解：(Ⅰ)记ti=a1bi1+a2bi2+⋯