黑龙江省齐齐哈尔市讷河市第二中学2024-2025学年高一下学期3月考试 数学试题（含解析）

高一年级下学期数学试卷第I卷（选择题）一、单选题（共40分）1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解.【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定为“，”.故选：B2.已知全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误【详解】A中，显然集合A并不是集合B子集，错误.B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误.C中，，错误.D中，由，则，，正确.故选：D．3.设函数，则函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由零点存在性定理判断即可.【详解】和均为增函数，函数在区间上单调递增.又，，由零点存在性定理得，函数存在唯一零点在区间上.故选：C.4.小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求解．【详解】由已知可得扇形的圆心角，扇形半径，则扇形面积为故选：A.5.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式判断奇偶性和单调性即可.【详解】因为在上单调递减，不合题意；因为不是奇函数，不合题意；因为不是奇函数，不合题意；因为在上单调递增，且，是奇函数，符合题意.故选：C6.若，，则（）A. B.1 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用对数运算公式和换底公式计算.【详解】因为，，所以，，所以，，因此，．故选：B.7.已知定义在上的函数满足，当时，.则（）A.5 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】先求出周期，再利用周期代入即可求值.【详解】因为，所以,所以的周期为4，则，又，令得：，因为当时，，所以，所以.故选：D8.已知函数，，若，则下列各式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式、导数的性质进行逐一判断即可.【详解】由题可得，即，在同一坐标系中分别绘出函数，，图象，由，可知，由，可得，联立，解得，因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，则，，且，，对于A，，故A错误；对于B，由，，则，故B正确；对于C，因为，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.二、多选题（共18分）9.下列说法正确的是（）A.若的值域为，则的值域为B.函数且的图象恒过定点C.函数的最小值为D.“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件【答案】CD【解析】【分析】由图象的平移判断A；求函数且的图象恒过定点，即可判断B；利用换元法及对勾函数的性质，求出函数的最小值，即可判断C；求出方程有一正根和一负根时，的范围，即可判断D．【详解】解：对于A，因为的图象是由的图象向右平移1个单位得到的，又因为的值域为，所以的值域也为，故A错误；对于B，因为函数且图象过定点，故B错误；对于C，令，则函数即为，由对勾函数的性质可知在上单调递增，所以，即函数的最小值为，故C正确；对于D，当关于的方程有一正根和一负根，则有，解得，所以“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件，故D正确．故选：CD．10.已知函数.则下列说法正确的是（

）A.，则B.的值域为C.当时，有2个不相等的实数根，则D.若在上单调递减，则的取值范围为【答案】AD【解析】【分析】对于A，列方程求解验算即可；对于B，直接验算值域即可；对于C，注意到当时，，此时有一个实数根，从而只需，由此即可判断；对于D，只需且，解不等式组即可判断.【详解】对于A，若，解得，故A正确；对于B，若，则时，，时，，故B错误；对于C，若有2个不相等的实数根，注意到当时，，∴此时有一个实数根，∴还需使得时，有一个实数根，又时，，∴，解得，故C错误；对于D，在上单调递减，首先时，单调递减，有，其次时，显然单调递减，最后还需满足，解得，故D正确.故选：AD.11.如图所示为函数（，）的部分图象，则下列说法正确的是（）A.B.在区间上单调递增C.将的图象向右平移个单位可以得到的图象D.方程在上有三个根【答案】AC【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出函数解析式，再逐项求解判断.【详解】观察图象，得的最小正周期，解得，由，得，而，解得，对于A，，A正确；对于B，当时，，当，即时，取得最大值，因此在区间上不单调，B错误；对于C，，C正确；对于D，当时，，由，得或，因此方程在上有2个根，D错误.故选：AC第II卷（非选择题）三、填空题（共15分）12.函数在上的最大值是_______．【答案】2【解析】【分析】利用函数的单调性求解.【详解】令，设且，，当且时，，则，即，可得在上单调递减，即函数在上单调递减，故当时，函数取得最大值，最大值为2．故答案为：2.13.计算：_______；_______．【答案】①.3②.【解析】【分析】结合指数、对数的运算法则，即可求解．【详解】，.故答案为：3；.14.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如：，，若函数，则的定义域是__________，值域是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】结合函数新定义，令可得定义域；然后分两方面证明的值域是即可.【详解】令，得的定义域是，下面求值域：一方面，根据高斯函数的定义，有.故对，由，有，；对，由，有，.所以对任意，都有.另一方面，对任意，有，；对任意，有所以的值域一定包含.综合以上两个方面，可知的值域是.故答案为：，.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能理解高斯函数的定义.四、解答题（共77分）15.（1）已知，求的表达式；（2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可．（2）设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在时的解析式．【详解】在中用替换，得，于是有，消去，得．所求函数的表达式为．（2）奇函数的定义域为．当时，，又当时，，，．故．16.（1）已知，在第二象限，求，的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，求的值.【答案】（1）（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到；（2）将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果.（3）结合同角三角函数关系解出方程即可.【详解】（1）在第二象限，，.（2）由，所以（3）因为，且，解得或（舍去），则.17.已知函数，其中．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性，并给予证明；（3）求使的x取值范围．【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据对数的定义知真数大于0，即可求定义域；（2）利用奇偶性的定义得知函数为奇函数；（3）由，可得，即可求解.【详解】(1)∵已知,∴,即,解得,故f(x)的定义域为(−1,1).(2)∵的定义域关于原点对称,,故函数是奇函数．(3)由>0可得,即,解得,故求使>0的的取值范围是(0,1).【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．18.已知函数.（1）求该函数的单调递增区间；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解；（2）由得到，根据，得到，则由求解.【小问1详解】，，令，，则，，故该函数的单调递增区间，；小问2详解】对任意，都有可得，所以，又，所以，要满足对任意，都有，则有，解得：，所以实数的取值范围为.19.已知函数（，且）过点．（1）求函数的解析式；（2）若函数为的反函数，且在上单调递减，求的取值范围；（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对于任意，都存在，使得等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把点代入解析式即可求得结果；（2）利用反函数概念求出的解析式，根据复合函数单调性可求得参数的取值范围；（3）根据条件求出和的解析式，将问题转化为在上恒成立，再利用换元法并分离参数结合基本不等式即可求得结果.【小问1详解】函数过点，可得，解得，故函数的解析式为，【小问2详解】因为函数为的反函数，所以，易知在上为单调递减函数，又在上单调递减，所以函数在上单调递增，因此，解得；所以的取值范围为；