白城实验高级中学2025年第一次模拟考试数学试卷数学答案

第=PAGE1*2-11页共=SECTIONPAGES1*22页◎第=PAGE1*22页共=SECTIONPAGES1*22页白城实验高级中学2025年第一次模拟考试数学试卷.一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，B＝，图中阴影部分为集合M，则M中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】∵lnx＜1，∴0＜x＜e，∴B＝(0，e)，∴A∩B＝{1，2}，∴M＝{－1，0，3}，∴M中元素的个数为3，故选C.2.某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（）A.14 B.13 C.12【答案】A【解析】在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是P=A故选：A.3.已知函数fxA.∃x∈R，使得B.方程fx=m有两个不同实根，则实数mC.∃x∈0,1，使得D.若fa≥f2−a，则实数【答案】D【解析】对∀x∈R，都有所以∀x∈R,f(x)+f(−x)=0，当x>0时，f(x)=x+1易知f(x)在0,1上单调递增，此时f(x)∈0当x>1时，f(x)=∴f(x)在1,+∞∴x>0时，f(x)∈0∴x<0时，f(x)∈−而f(0)=0，所以m=x∈0,1时，2此时f(x)−f(2−x)==x+1而函数p(x)=x+1−3−x在0所以对∀x∈0综上，a≤0时，2−a≥2，此时a∈0,1时，2−a∈a≥1时，2−a∈0故选：D.4.若复数m+i2+iA.13 B.−1 C.−12【答案】D【解析】m+i2+i则2−m=0，即m=2.故选：D.5.若a>1，则4a+1A.4 B.6 C.8 D.无最小值【答案】C【解析】若a>1，则4a+1当且仅当4a−1=1所以4a+1故选：C.6.已知函数fx，gx的定义域为R，且fx−g1+x=2．若y=fx+3A.37B.35C.33D.31【答案】C【解析】由y=gx+2−12是奇函数可知，函数所以gx+g4−x将其代入fx−g1+x=2，得又y=fx+3所以函数fx的图象关于直线x=3对称，则f由f3−x+gx=3，得由gx+g4−x=1，得则gx+4+g8+x=1，所以由fx−g1+x=2，f3由gx+g4−x=1，得g1由gx得g1+g5=1，g2即g1所以36+g1故选：C．7.已知函数fx=cosA.π18，0 B.π9，0 C.2【答案】C【解析】函数fx得到图象的解析式为y=cos3x+π得到函数的解析式为y=cos令3x−π6=k当时，x=2π所以点2π9，0故选:C.8.某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B【解析】设第n年的维修保养费为an万元，数列an的前n项和为Sn据题意，数列an则p=S当且仅当2n=98n，即n=7时，所以这台冰激凌机的使用年限是7年.故选:B.二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，将函数f(x)A.A=1B.g(x)的解析式为y=2C.7π2,0D.g(x)的单调递减区间是3kπ−【答案】ABD【解析】依题意，由图象可知A=1，34T=π因为ω>0，所以2πω=π，则因为fx的图象过点π3,1则2π3+φ=π又φ<π2，则φ=−将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到y=sin纵坐标变为原来的2倍，得到y=2sin向左平移3π4个单位长度，得到函数因为g7令−3π2+2k所以g(x)的单调递减区间是3kπ−11故选：ABD.10.某市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（）A.2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万B.2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势C.2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为703.54万D.2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万【答案】AD【解析】由图可知，2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为(万)，A正确；这6年的常住人口前3年呈递增趋势，后三年也递增，但后三年的常住人口低于前3年，B错误；2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，，所以第60百分位数为730.50万，中位数为（万），C错误，D均正确.故选：AD.11.已知直线l:y=−3x+mm≠0与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于M,N两点，PA.2 B.3 C.22 D.【答案】BC【解析】由题意知−ba≠−3，即−c2由y=−3x+mx2aΔ=则x1+x得P−3ma即b2>3a2,故选：BC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）12.已知f(x−1)为偶函数，且f(x)在−1,+∞上单调递增，若f(a−1)≤f(1)，则实数a的取值范围是【答案】[−【解析】因为f(x−1)为偶函数，所以f(x−1)=f(−x−1)，函数f(x)的图象关于x=又f(x)在[−1,+∞)上单调递增，所以|a−1+1|≤1+1，解得−2≤a≤2．故答案为：[−2,213.已知点M(2,0)，N(3,0)，点P是抛物线C：y2＝3x上一点，则PM→【答案】5【解析】设P(x,y)，则PM→＝(2-x,-y)，PN→＝(3-x,-从而PM→·PN→＝(3-x)(2-x)+y2＝x2-5x因为点P在抛物线C上，所以y2＝3x，所以PM→·PN→＝(3-x)(2-x)+y2＝x2-5x+6+3x＝x＝(x-1)2+5≥5，当且仅当x＝1时取等号．故答案为：5.14.已知复数z满足(3+4i)z=5i，则其共轭复数z【答案】−【解析】依题意，z=5i3+4所以z¯的虚部为−故答案为：−3四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系xOy中，已知点M，点P到点M的距离比点P到x轴的距离大，记P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)过点P(x0，y0)(其中x0≠0)的两条直线分别交C于E，F两点，直线PE，PF分别交y轴于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|.记k1为直线EF的斜率，k2为C在点P处的切线斜率，判断k1＋k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】解(1)由题可知，点P到点M的距离与P到直线y＋＝0的距离相等，轨迹一：点P的轨迹是以M为焦点，直线y＋＝0为准线的抛物线，此时p＝，所以C的方程为x2＝y.轨迹二：点P的轨迹在y轴上，x＝0(y≤0)，综上所述，C的方程为x2＝y或x＝0(y≤0)．(2)当直线PE、PF不是切线时，因为|PA|＝|PB|，所以△PAB为等腰三角形，即直线PE与PF的斜率存在且互为相反数，即kPE＋kPF＝0.设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线PE的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立直线PE与抛物线方程，消去y并整理得2x2－kx＋kx0－y0＝0，于是x1＋x0＝，故x1＝－x0，因为直线PE与PF的斜率互为相反数，令－k代替k，得x2＝－－x0，所以k1＝＝＝2(x1＋x2)＝－4x0，又y′＝4x，所以k2＝4x0，即k1＋k2＝0，当PE与PF有一条为切线，则P为切点，不妨设PF为切线，所以点F与点B重合，因|PA|＝|PB|，所以∠PAB＝∠PBA，若k1＋k2＝0，则∠PBA＝∠EBA，所以∠PAB＝∠EBA，即PE∥BE，矛盾．综上所述，k1＋k2不为定值．16.如图1，在四边形ABCD中，E为DC的中点，AC∩BD=O,AC⊥BD,CO=DO.将△ABD沿BD折起，使点A到点P，形成如图2所示的三棱锥P−BCD.在三棱锥P−BCD中，PO⊥CO，记平面PEO、平面PDC、平面PBC分别为α,β,γ.(1)证明:α⊥β；(2)若AB=2,DC=22,AO=BO，求【答案】(1)证明在三棱锥P−BCD中，∵CO=DO,E为DC的中点，∴CD⊥EO.由已知得PO⊥BD,PO⊥CO,BD∩CO=O,BD⊂平面BCD,CO⊂平面BCD.∴PO⊥平面BCD.又∵CD⊂平面BCD,∴PO⊥CD.∵EO∩PO=O,EO⊂平面PEO,PO⊂平面PEO,∴CD⊥平面PEO.又∵CD⊂平面PDC，∴平面PEO⊥平面PDC，即α⊥β.(2)解由(1)知OC、OD、OP两两垂直.分别以OD→,OC→,根据已知得，P(0,0∴PB→由(1)知CD⊥平面PEO，故CD→是平面PEO设n→=x,y,z则PB→⋅n→=−x−z=0∴n→=(2,−1,−2)∴cos设α与γ的夹角的大小为θ，则0≤θ≤π且cosθ=|∴θ=π∴α与γ的夹角的大小等于π417.如图，在正四棱台中，.（1）证明：；（2）若为的中点，求直线与平面的夹角的正弦值.【答案】（1）证明设，，连接，则平面且平面，又，所以，，则，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，即，所以.（2）解由（1）可知，所以，，设平面的法向量为，则，取，设直线与平面的角为，则，所以直线与平面的夹角的正弦值为.18.如图①，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝CD＝2，AB＝4，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列问题．(1)证明：AC⊥DE；(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面DAE与平面AEC夹角的余弦值．①四棱锥A－BCDE的体积为2；②直线AC与EB所成角的余弦值为.【答案】(1)证明在图①中，连接CE(图略)，因为DC∥AB，CD＝AB，E为AB的中点，所以DC∥AE，且DC＝AE，所以四边形ADCE为平行四边形，所以AD＝CE＝CD＝AE＝2，同理可证DE＝2，在图②中，取DE的中点O，连接OA，OC(图略)，则OA＝OC＝，因为AD＝AE＝CE＝CD，所以DE⊥OA，DE⊥OC，因为OA∩OC＝O，OA，OC⊂平面AOC，所以DE⊥平面AOC，因为AC⊂平面AOC，所以DE⊥AC.(2)解若选择①：由(1)知DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，所以平面AOC⊥平面BCDE，且交线为OC，所以过点A作AH⊥OC交OC于点H(图略)，则AH⊥平面BCDE，因为S四边形BCDE＝2，所以四棱锥A－BCDE的体积VA－BCDE＝2＝×2·AH，所以AH＝OA＝，所以AO与AH重合，所以AO⊥平面BCDE，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(－,0,0)，E(0,1,0)，A(0,0,)，易知平面DAE的一个法向量为＝(,0,0)，设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，因为＝(,1,0)，＝(,0,)，所以取n＝(1,－,－1)，设平面DAE与平面AEC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以平面DAE与平面AEC夹角的余弦值为.若选择②：因为DC∥EB，所以∠ACD即为异面直线AC与EB所成的角，在△ADC中，cos∠ACD＝＝，所以AC＝，所以OA2＋OC2＝AC2，即OA⊥OC，因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，所以平面AOC⊥平面BCDE，且交线为OC，又OA⊂平面AOC，所以AO⊥平面BCDE，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(－,0,0)，E(0,1,0)，A(0,0,)，易知平面DAE的一个法向量为＝(,0,0)，设平面AEC的法向量为n＝(