高中数学讲义微专题32 解三角形中的不等问题

微专题32解三角形中的不等问题

一、基础知识：

1、正弦定理：一匕=—^-=—J=2R,其中尺为AABC外接圆的半径

sinAsinBsinC

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具

备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行

例如：(1)sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2Coa2+b2-ab=c2

(2)Z?cosC+ccosB=6/=>sinBcosC+sinCeosB=sinA(恒等式)

/、besinBsinC

(3)—=---.——

asinA

2、余弦定理：a2=b2+c2-2Z?ccosA

变式：a2=(b+c)"-2bc(l+cosA)此公式在已知a,A的情况下，配合均值不等式可得到

Z?+c和be的最值

3、三角形面积公式：

(1)S=-a-h(。为三角形的底，/z为对应的高)

2

(2)S=—absmC=—bcsinA=—acsmB

222

11

(3)S=—absinC=—•2RsinA-2RsinBsinC=2R92sinAsinBsinC(其中R为外接圆

22

半径)

4、三角形内角和：A+5+C=»,从而可得到：

(1)正余弦关系式：sinA=sin[乃-(B+C)]=sin(B+C)

cosA=cos[不一(3+C)]=—cos(3+C)

(2)在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的

5、两角和差的正余弦公式：

sin(A±5)=sinAcosB±sinBcosA

cos(A±B)=cosAcosB+sinAsinB

6、辅助角公式：asinA+bcosB=y/a2+b2sin(A+^),其中tan0=2

7、三角形中的不等关系

(1)任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比

第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少

(2)在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：

aA>5osinA>sin5=cosAvcos5

其中由A>5ocosA<cosB利用的是余弦函数单调性，而A>5osinA>sin5仅在一

个三角形内有效。

8、解三角形中处理不等关系的几种方法

(1)转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而

将问题转化为求函数的值域

(2)利用均值不等式求得最值

二、例题精析：

hr

例1：△ABC各角的对应边分别为。，瓦。，满足——+——>1,则角A的范围是_______

a+ca+b

A.(0,—]B.(0,—]C.[—D.[—,/r)

3636

hr

思路：从所给条件入手，进行不等式化简：-----+----->1

a+ca+b

=^>Z>(a+Z?)+c(cz+c)>(a+c)(cz+Z?)=>Zj2+c2>a2+bc,观察到余弦定理公式特征，进

而利用余弦定理表示cosA：Z?2+c2>a~+bc=>cosA=---------->—,可解得：

2bc2

Aeri

答案：A

a

例2：在AABC中，角A&C所对的边分别为仇c,已知

A/3COSAsinC

(1)求A的大小

(2)若a=6,求b+c的取值范围

a

解：(1)由条件可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”

A/3COSAsinC

asinAsinC=1tanA=^/3

^3cosAsinC百cosAsinC

".A——

3

(2)思路:考虑在AABC中，已经已知A,a,从而可求出外接圆半径R,进而5c与dC

也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”,

但不易利用A=60°这个条件，考虑利用角来解决

解：上=」='=4也

sinBsinCsinA

."=4Qsin5,c=4V3sinC-：A=-B+C=—^C=--B

333

:.b+c=4G(sinB+sinC)=4石sinB+sin

4Hsin3+立1)sinB+—cosB=12sinfB+—71

cos3+—sin5=12

2226

77

2万

0<B<—

3

.\Z?+ce(6,12]

例3：在锐角△ABC中，角所对的边分别为。,女。，且2Z?cosC=2a—c

(1)求角5

(2)求sinAsinC的取值范围

02b2_2

解：(1)方法一：使用余弦定理2bcosC=2a—cn2b---------------=2a-c

lab

Z?2__〃2__QCZ?2—〃2+/_dC

由余弦定理得：b1=〃2+/_2〃CCOSBcosB=—=>B=—

23

方法二：观察等式a,齐次，考虑使用正弦定理

2Z?cosC=2a—c=2sinBcosC=2sinA—sinC

=^>2sinBcosC=2sin(B+C)—sinC=>sinC=2sinCcosB

cosBc=l—cB—兀—

23

2乃2乃

(2)A+C=——nC=------A

33

^-sinAcosA+—sin2A

22

=^sin2A+^^=lsin[24-^4

442I4

<A<

n.n

•.•△ABC为锐角三角形A0,1°f—<A<—

62

sin2Ae-,1sinAsinCe—

I6{2_124

小炼有话说：要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而。用A代换，所以。满

足锐角的条件也由A来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有

范围，则这个范围由主元承担。

例4：在△ABC中，角所对的边分别为。，瓦c,已知sinA+sinC=psin5（〃£R）,

且改=42

4

（1）当〃=；,。=1时，求Q,C的值

（2）若角5为锐角，求p的取值范围

解：（1）sinA+sinC=—sinBtz+c=—Z?=—ac=—

4444

5

a-\-c--ra=lr1

「•<n<1或<4

1c——

ac--4c=1

I41

1

（2）思路：以“角5为锐角”为突破口，联想到余弦定理，而4+。=〃。,〃。=^。9也刚好得

到p与cos3的关系式，再由0vcos5v1可解得p的范围

解：考虑余弦定理〃二/+/_2accosB=(a+c)2-2^c(l+cosB)

13i

/.b1=p2bl——/?2(1+cosB)p2=—+—cosB

2

为锐角，/.0<cosB<1/.pG[^2j・/a+c=pbnp>0

例5：若AABC的内角满足sinA+J5sinB=2sinC,贝！JcosC的最小值是

〃2+〃22

思路：所求cosC的最值可想到余弦定理用边进行表示，cosC=--------------，考虑

2ab

sinA+JEsinB=2sinC角化边得到：a+42b=2c,进而消去。计算表达式的最值即可

2>2_2

解：cosC=--------由sinA+血sin3=2sinC可得：a+^2b=2c

2ab

a+y/2b

c二-----------------

2

2

a+y[2b、

a2+b2-321,2V2,

—a+—b------ab々1仄

.•.C+J2422=3aJb72

lab2ablabSb4a4

3ab_46

>2丽.而一彳

答案:手

b

例6：在锐角儿43。中乙4二2/8,48、NC的对边长分别是b、j则——的取值范围是

b+c

()

Z111123、

A.B•啜)C.D-"

43

思路：本题所给条件为角的关系，不易从边入手，所以将所求进行边化角：

bsinB1,只需求出史上的范围即可。条件所给的是关系，从

b+csinB+sinC]+sinCsin5

sin3

sinCsinAcosB+sinBcosA

而-----二利用ZA=2ZB,减少角的个数：

sin5sinB

sinA=sin26=2sinBcosB,cosA=cos2B=2cos2B-l代入可得

=4COS2B-1,根据锐角三角形求出8的范围即可。

sin3

解：士sin3]

1sinC

b+csinB+sinC1+------

sin3

sinCsin(A+sinAcosB+sinBcosA

sin5sin5sinB

由ZA=2ZBnsinA=sin2B=2sinBcosB,cosA=cos2B=2cos2B-l

sinC2sinBcos2B+sinBcosIB_2n2nl

------=------------------------------------=2cos2B+cos2B=4cos2B-1

sin5sinB

71

0<B<-

2

71TTTT

因为A4BC为锐角三角形0<A=2B<-解得：—<B〈一

264

71

Q<C=7i-3B<-

2

G（拒0sinC,2n,

cosBG—,—------=4cosB—1G（1,2）

（22JsinB'）

1D

b+c]।sinC（3'2）

sin5

答案：B

小炼有话说：本题的关键点有两个，一个是解题系统的确定，由于题目中没有涉及到边的关

系，只是给了角的条件，所以优先选择角的系统，从而进行角化边的处理，并进行了一个分

式的常见变形，将变量集中在分母上。另一个就是主元的确定：本题的主元是8,所以在求

表达式范围时将AC均用8来进行表示，以便于求得值域。

2

例7：已知AABC的角A&C所对的边分别是。力工，且/+廿=c2+gab,若AABC的

外接圆半径为£2,则AABC面积的最大值为

2

2〃2+匕2_]

思路：由。2+人2=02+—必可联想到余弦定理求COS。，所以cosC=---------------=—,从

3lab3

2J21

而sinC=------,所求面积可表示为SA”=—absinC,则只需解出的最大值即可。由外

32

、3^/2.,02

接圆半径R=------及sinC可得：c=2HsinC=4,所以。之+/="+―必，而

23

01212\/2/-

a2+b2>lab,所以有+2abm。412,所以S/sc<—•12-=4V2

答案：4垃

小炼有话说：本题的入手点来自于条件中对余弦定理的暗示，从而解出C,在计算面积时有

三组边角可供选择：S--absmC=—Z?csinA=—acsinB,通常是"依角而选"，从而把目

222

标转向求。人的最值。要注意到余弦定理本身含有平方和与乘积项，再配上均值不等式往往可

以找到最值。

例8：设AABC的内角A&C所对的边为a,A,c,若a,。,c成等比数列，则吧巨的取值范围

sinA

是_______________

,-r\

思路：由〃，仇。成等比数列可得：b1=ac,也可视为sin?B=sinAsinC,所求表达式任一

sinA

AsinB

也可视为一。如果从角入手，则sin25=sinAsinC=>sin26=$11174^11（24+_8）无法与-----

asinA

联系。所以考虑从边入手。由加=QC可得：c-一，在AABC中，若a<Z?<c，则cv〃+b,

a

所以以<a+b,即［2］一2—i<o=i〈2<1!且，同理，若cWbWa,则

ayaJaa2

,,b-V5-1b八4.Lsin5b—16+1)

a<Z?+c=>a<bT,解付：------<-V10综上-----=一€-------,------

a2asinAaI22I

型案.［&T6+1、

a-I252J

hc

例9：已知AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,Z?,c,且BC边上的高为a,则一+—的取

cb

值范围为.

behe\hc

思路：一方面由所求一+―出发，可用均值不等式得到一+—22、——=2,验证b=。时

cbcb\cb

hC〃+C2

存在这样的三角形，得到最小值；再从另一个角度入手一+—=-------可联想到余弦定理

cbbe

a2=b2+c2-2bccosA而由题目中的底和高可得

q=—a2=—bcsmA^a2=besinA所以有:

22

bca2+2/?ccosAbesinA+2bccosA.,八，一工।…-…

—+—=------------------=--------------------------=sinA+2cosA,只需求付smA+2cosA的

cbbebe

范围即可,考虑sinA+2cosA==^sin（A+9）,tan8=2,

所以sinA+2cosA<J?,综上:MP]

答案：［2,逐］

小炼有话说：

(1)在解三角形中，能够从所给式子中发现定理的影子，可帮助你迅速确定解题方向，本题

没有选择边化角，而是抓住余弦定理的影子为突破口，然后再去寻找条件能否把多余的元消

去(比如本题中的/),从而整理出一个可操作的表达式

(2)最后运用辅角公式时，辅助角并不是特殊角。这种情况下可用夕代替俯角，并用夕的一

个三角函数值刻画其大小。本题可通过作图大致观察到A的范围，从而确定A+e的范围能

经过土，所以逐能够取到

例10：(2014,重庆)已知AABC的内角A,B,C满足

sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-JB)+1,面积S满足1WSW2,记a,4c分别是

所对的边，则下列不等式一定成立的是()

A.Z?c(Z?+c)>8B.ab(a+b)>16A/2

C.6<abc<12D.I2<abc<24

思路：本题需判断的式子比较多，先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件

sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+可得4sinAsin3sinC=；,即

1

sinAsinBsinC=—,联想到面积公式S=2r92sinAsinBsinC及1<SV2可得：

8

l<-r2<2=>2<r<2V2,从而abc可用r进行表示求出范围，另一方面可由

4

b+c>bc[b+c)>abc,利用不等式的传递性即可求出Z?c(Z?+c)的范围

解：sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+1

=>sin2A+sin(^-2B)-sin(2C-=；

nsin2A+sin2B+sin2C=—

2

=>sin2A+sin2B-sin(2A+23)=；

=>sin2A+sin2B-sin2AcosIB-sin2Bcos2A=—

2

=>sin2A(1-cos23)+sin25(1-cos2A)=g

n2sin2Asin2B+2sin2Bsin2A=—

2

=>4sinAcosAsin2B+4sin3cosBsin2A=—

2

=>sinAsinsinAcosB+sinBcosA)=g

=>sinAsinBsin(A+B)=—即sinAsinBsinC=—

J88

由正弦定理可得：a-IRsmA^b-IRsmB,c-27?sinC

111

=—absinC=—•27?sinA-2RsinSsinC=2R92sinAsinBsinC=—R29

224

所以由1<S<2可得：IW’R242n2<R«2后

4

/.abc=8&sinAsinBsinC=7?3G[8160],所以C,D均不正确

,/Z?+c>a/.bc[b+c)>abc>8A正确

同理a+Z>>c/.ab[a+Z?)>abc>8,8不正确

三、近年好题精选

1、(2016,上海十校联考)设锐角AABC的三内角A,5c所对边的边长分别为a,b,c,且

a=l,5=2A,则b的取值范围为()

A.(A/2,V3)B.(1,73)C.(72,2)D.(0,2)

2、(2016江苏高三第一次联考)在AABC中，A5=3,AC=4,N是AB的中点，边AC(含

端点)上存在点V,使得RWLQV,贝hosA的取值范围是

3、(2015,新课标D在平行四边形ABCD中，A=B=C=15°,BC=2,则A3的取值

范围是_______

4、(2016,哈尔滨六中上学期期末考试)在△ABC中，内角ASC的对边分别为。力工，且

c=2/=缶，则AABC的面积最大值为

5、(2014)新课标全国卷I)已知a,A,c分别为AABC三个内角的对边，。=2且

S+2)(sinA—sinB)=(c-Zj)sinC,则AABC面积的最大值为

6、(2016,洛阳12月月考)在AABC的内角A,5c所对的边分别为瓦c,则下列命题正确

的是________

①若sinAsin3=2sin2C,则0<C(生

4

TT

②若a+b>2c,则0<C<—

3

③若/+"=04,则AABC为锐角三角形

④若(a+Z?)c<2",则。>万

7、(2014,陕西)△ABC的内角ASC的对边分别为。，瓦c

(1)若。，仇。成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin(A+C)

(2)若〃，仇c成等比数列，求cos5的最小值

8、设AABC的内角所对的边分别为a,A,c,且。cosC+』c=b.

2

(1)求角A的大小；

(2)若a=l,求A45C的周长/的取值范围.

9、已知AABC和△A81G满足：sinA=cos7^,sinB=cosB19sinC=cosC1?

(1)求证：△ABC是钝角三角形，并求最大角的度数

(2)求sin?A+si^B+sin2。的最小值

10>(2016,安徽六校联考)已知函数/(x)=2cos[2x+gj-cos2x+l.

(1)求/(%)的对称中心

h

(2)若锐角“15。中角A3,C所对的边分别为风瓦c,且/(A)=0,求一的取值范围

习题答案：

1、答案：A

解析：B-2A=sin5=sin2A

sinJB=2sinAcosA:.b—2acosA—2cosA

n

0<B=2A<-

2

TTTTTT

由锐角△ABC可知：<0<A<-，解得-<A<-,所以

264

0<C=»—(A+B)=乃一3A<]

fV2走]

cosAe5,从而b=2cosAe(0,6)

2、答案：—』]

[8J

解析：

方法一：若AC存在点M,使得的WLCN,则N3NC为锐角或直角

在ABNC中

BN2+CN2-BC2>0

'CN2=AN2+AC2-2AN-ACcosA

,,<

BC2=AB2+AC2-2ABACcosA

222

BN+(W+AC2—2AN•ACCOSA)-(AB+AC-2AB-ACcosA)>0

3

代入3N=AN=—,A3=3,AC=4,可得：

2

9

—+—+16-12cosA-(9+16-24cosA)>0

4

93

=>12cosA>—/.cosA>—

28

COSAG

I』

方法二（向量法）

■1,oj,设C(4cosA,4sinA),

以A为原点，直线AB为x轴建系，则5（3,0）,N

AM=t[O<t<4)

M(^cosA,^sinA)/.BM=(/^cosA-3,ZsinA),GV=g一4cosA-4sinA

)(

:.BMCN=/.BM=(^cosA-3f^--4cosAj+^sinA-4sinA)=0

55

cosA=—[8-由fe[0,4]和cosAe(-l,l)可得cosAe

3l%+8

3、答案：（—JJ,

解析：延长3ACD交于点E，则在NWE中，ZDAE=105°,ZADE=45°,ZE=30°

设A。一'则由正弦定理《=；!磊=；!瑞可得A八=

V6+V2

「FmH-x2

设CD=加，则由正弦定理：——=——可得：--------Z------=---------，整理后可得:

sin3sinEsin75°sin30°

皿+瓜+6瓜+垃,所以AB=BE-AE=CE-AE=y/6+y/2-y/2x,由

2

加+"；行工="+0可知不£（。,2）,所以ABe卜R-拒，巫+垃）

4、答案：2A/2

解析：由余弦定理可得：c2-a2+b2-2H7cosC,代入。=2,b=42a可得：

2

7—3a-4

4=a?+2"-2，^。2cosC,即cosC=—「.，所以有：

2—"+24"—1642

SABC=-absinC=—a-Jl-cos2c=—cr--V-«+24«-16

“ABC2228a44

=9J-(。2T2)+128

所以当a=12时，S’ABC有最大值为2后

5、答案：拒

解析：由正弦定理可得:

(Z?+2)(sinA-sinB)=(c-Z?)sinC^>(Z?+2)(a-Z>)=(c-Z?)c

ab-lr+2a-2b=c~—be

o—b2+4=c2—beb2+c~~be=4

))n171

・「4=a=b+c-2bccosA「.cosA=—nA=—

23

•q=-bcsinA=—bc

24

/+。2-be=4且/+/n2bc

.,.2Z?c-Z?cV4即历<4,\S<A/3

△ABDC'

6、答案：①②③

Z7A

2

解析：①由正弦定理可知：ab=2c,由余弦定理可得。2=一="+。2—24/^05。，整

2

,2ab

2a+b-----

71

理可得:cosC=------------所以0<C<—

lab4

a2+b2-c23/—2ab+3b之平+3」

②cosC二

2ab2abSab81ba)4

3ab13cab_]_—1,从而

从而cosC>-—+———>--2c|0,—

8{ba48~ba42

③a,+//=c4n(a?+Z?2)—卜?)=2a2b?>0,所以

2222222222222

(a+by-(c)=(a+b-c^a+Z?+c)>0,即a+b-c>0则

2

a2b2_c

cosC=-------------->0,所以△ABC最大角为锐角。即是锐角三角形

2ab

jrjr

④取a=b=2,c=l满足（a+Z?）c<2ab,则。<]<万，不符题意

7、解析：（1）・・・〃,伍。成等差数列

:,2b=a+c，由正弦定理可得:

2sinB=sinA+sinC5=%-（A+C）

sinA+sinC=2sin［万一（A+C）］=2sin（A+C）

（2）成等比数列/.b2-ac

由余弦定理可得:

a2+c2-b1tz2+c2—ac1

cosB=

laclac2

等号成立当且仅当a=c

」.COS5的最小值为L

2

8、解析：（1）acosC-\■—c=Z?^>sinAcosC+—sinC=sinB

22

/.sinAcosC+^sinC=sin（A+C）

=>sinAcosC+—sinC=sinAcosC+sinCcosA

2

=>cosA=-

2

,71

A——

3

b。_1_2

（2）------

sinBsinCsinA百g

~2

22

/.Z?=-7=sinB,c=—f=sinC

V3V3

/./=a+b+c=l+

•/sinB+sinC=sinB+sin（A+=sinB+sin3+f

=sinB+-sinB+—cosB=—sinB+^-cosB

2222

=6sin|B+-7t

6

In