高三一轮复习学案物理第二章相互作用第2讲力的合成与分解

第2讲力的合成与分解学习目标1.会用平行四边形定则及三角形定则求合力。2.能利用效果分解法和正交分解法计算分力。3.能应用力的合成与分解的知识，分析实际问题。1.力的合成2.力的分解3.矢量和标量1.思考判断(1)合力和分力可以同时作用在一个物体上。(×)(2)两个力的合力一定比其分力大。(×)(3)当一个分力增大时，合力一定增大。(×)(4)几个力的共同作用效果可以用一个力来替代。(√)(5)一个力只能分解为一对分力。(×)(6)两个大小恒定的力F1、F2的合力的大小随它们夹角的增大而减小。(√)(7)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)2.物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示。其中F5大小为10N，方向水平向右。若撤去力F5，保持其余四个力不变，此时的合力为F；若将F5转过120°，此时的合力为F′，则F与F′大小之比为()A.1∶1B.1∶eq\r(2) C.1∶eq\r(3) D.1∶2答案C解析根据共点力的平衡条件可知其余四个力的合力一定与F5等大反向，若撤去力F5，保持其余四个力不变，此时的合力为F＝F5，若将F5转过120°，此时的合力为F′＝eq\r(3)F5，则F与F′大小之比为1∶eq\r(3)，故C正确。3.如图所示，吊环比赛中体操运动员双臂缓慢对称撑开，两吊绳的张角逐渐增大的过程中，以下说法正确的是()A.每根吊绳的拉力变小B.每根吊绳的拉力变大C.两吊绳对运动员拉力的合力变小D.两吊绳对运动员拉力的合力变大答案B解析根据平衡条件，两吊绳对运动员拉力的合力与重力大小相等、方向相反，则两吊绳的张角逐渐增大的过程中，两吊绳对运动员拉力的合力不变，故C、D错误；根据平衡条件2FTcosθ＝mg，当两吊绳的张角逐渐增大，则绳与竖直方向的夹角θ增大，则绳拉力增大，故A错误，B正确。考点一共点力的合成1.共点力合成的常用方法(1)作图法(2)计算法2.几种特殊情况的共点力的合成类型作图合力的计算两力互相垂直F＝eq\r(Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2))tanθ＝eq\f(F1,F2)两力等大，夹角为θF＝2F1coseq\f(θ,2)F与F1夹角为eq\f(θ,2)两力等大，夹角为120°F′＝FF′与F夹角为60°3.两个共点力的合力的最大值与最小值(1)当两个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2。(2)当两个力方向相反时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|。(3)合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2。4.三个共点力的合力的最大值与最小值(1)最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。(2)最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。例1(2023·6月浙江选考，6)如图1所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为()图1A.Fa＝0.6G，Fb＝0.4GB.Fa＝0.4G，Fb＝0.6GC.Fa＝0.8G，Fb＝0.6GD.Fa＝0.6G，Fb＝0.8G答案D解析以圆柱体为研究对象，受力分析如图所示，两侧半圆柱体对圆柱体的支持力的合力与重力等大反向，结合几何关系可知Fa＝Gsin37°＝0.6G，Fb＝Gcos37°＝0.8G，D正确。1.(多选)两个力F1和F2之间的夹角为θ，其合力为F。以下说法正确的是()图2A.合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大B.若F1和F2大小不变，θ角减小，合力F一定增大C.若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力F可能减小D.若F1和F2大小不变，合力F与θ的关系图像如图2所示，则任意改变这两个分力的夹角，能得到的合力大小的变化范围是2N≤F≤10N答案BC解析合力F的取值范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力F不一定总比分力F1和F2中的任何一个力都大，故A错误；根据余弦定理可得合力大小为F＝eq\r(Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2)＋2F1F2cosθ)，θ角减小，则合力F一定增大，故B正确；若夹角θ为钝角，θ不变，F1大小不变，F2增大，有可能有如图所示的情况，则F合′<F合，故C正确；由图像得，当θ＝180°时，F合＝2N，即|F1－F2|＝2N，当θ＝90°时，F合′＝10N，即eq\r(Feq\o\al(2,1)＋Feq\o\al(2,2))＝10N，解得F1＝6N，F2＝8N或F1＝8N，F2＝6N，故2N≤F≤14N，故D错误。2.(2024·重庆一中月考)如图3所示为某同学设计的简易晾衣装置，一轻绳两端分别固定于天花板上A、B两点，通过光滑轻质动滑轮和另一根轻绳将衣物竖直悬挂在空中，两根轻绳所能承受的最大拉力相同，若晾晒的衣物足够重时绳OC先断，则()图3A.α<120°B.α＝120°C.α>120°D.不论α为何值，总是绳OC先断答案A解析根据对称性可知，OB绳与OA绳拉力大小相等，由平衡条件得FOC＝2FOBcoseq\f(α,2)，当衣物足够重时OC绳先断，说明FOC>FOB，则2FOBcoseq\f(α,2)>FOB，解得α<120°，故A正确。考点二力的分解的两种常用方法1.力的分解的两种常用方法(1)按照力的实际作用效果分解(2)正交分解法①建系原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴方向建立坐标系。②分解步骤：把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x轴、y轴上。图4x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…合力大小：F＝eq\r(Feq\o\al(2,x)＋Feq\o\al(2,y))(如图4所示)合力方向：若F与x轴夹角为θ，则tanθ＝eq\f(Fy,Fx)。2.力的分解方法选取原则(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按效果进行分解，若这三个力中，有两个力互相垂直，优先选用正交分解法。(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。角度按照力的作用效果分解例2如图5所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO(AO>BO)悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则()图5A.绳AO先被拉断 B.绳BO先被拉断C.绳AO、BO同时被拉断 D.条件不足，无法判断答案B解析依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解，如图所示，根据平行四边形定则可得FB>FA，又因为两绳承受的最大拉力相等，故当在球内不断注入铁砂时，绳BO受到的拉力先达到最大值，绳BO先断，故B正确。3.有一种瓜子破壳器其简化截面如图6所示，将瓜子放入两圆柱体所夹的凹槽之间，按压瓜子即可破开瓜子壳。瓜子的剖面可视作顶角为θ的扇形，将其竖直放入两完全相同的水平等高圆柱体A、B之间，并用竖直向下的恒力F按压瓜子且保持静止，若此时瓜子壳未破开，忽略瓜子重力，不考虑瓜子的形状改变，不计摩擦，若保持A、B距离不变，则()图6A.圆柱体A、B对瓜子压力的合力为零B.顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力越小C.顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力越大D.圆柱体A对瓜子的压力大小与顶角θ无关答案B解析圆柱体A、B对瓜子压力的合力不为零，与恒力F等大反向，A错误；根据力的作用效果分解如图所示，由三角函数得sineq\f(θ,2)＝eq\f(\f(F,2),FA)，解得FA＝eq\f(F,2sin\f(θ,2))，合力F恒定，顶角θ越大，FA越小，圆柱体A对瓜子的压力大小等于FA，则压力越小，B正确，C、D错误。角度力的正交分解法例3(2024·安徽合肥模拟预测)如图7，质量均为m的小球A和B分别用轻质细线a、b悬于O点，A、B用轻质细线c连接。给B施加水平向右的拉力F，静止时，细线a与竖直方向的夹角为30°，细线b与竖直方向的夹角为60°，细线c刚好水平，重力加速度为g，则拉力F的大小为()图7A.eq\f(2\r(3),3)mg B.eq\r(3)mgC.eq\f(4\r(3),3)mg D.eq\f(5\r(3),3)mg答案C解析根据题意，分别对A、B受力分析，如图所示，对小球A，竖直方向有Facos30°＝mg，水平方向有Fasin30°＝FcA，对小球B，竖直方向有Fbcos60°＝mg，水平方向有FcB＋Fbsin60°＝F，又有FcA＝FcB，联立解得F＝eq\f(4\r(3),3)mg，故C正确。4.(2024·广东惠州一模)在科学研究中，人们利用风速仪测量风速的大小，其原理如图8所示。仪器中有一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。若某次受到沿水平方向来的风时，稳定后，金属丝偏离竖直方向夹角为θ。已知风力F与风速v的大小关系为F＝kv2，k为常量，金属球的质量为m，重力加速度为g，则风速大小为()图8A.eq\r(\f(mgtanθ,k)) B.eq\r(\f(mg,ktanθ))C.eq\f(mgtanθ,k) D.eq\r(\f(mgsinθ,k))答案A解析对小球受力分析如图所示，根据共点力平衡，有Tsinθ＝F风，Tcosθ＝mg；又因为F风＝kv2，联立解得v＝eq\r(\f(mgtanθ,k))，故A正确。考点三“活结”和“死结”与“动杆”和“定杆”的问题角度“活结”和“死结”模型分析模型结构模型解读模型特点“活结”模型“活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳“活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等“死结”模型“死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳“死结”两侧的绳子上张力不一定相等例4如图9所示，将三段轻绳相结于O点，其中OA绳的一端拴在墙上，OB绳的下方悬挂甲物体，OC绳跨过光滑定滑轮悬挂乙物体。OC绳与竖直方向的夹角为α＝70°。OA绳与竖直方向的夹角为β(未知)。若甲、乙两物体的质量均为m＝2kg，重力加速度g取10m/s2，sin55°≈0.82。根据所学的知识，不需计算，推理出OA绳的拉力约为()图9A.16N B.23N C.31N D.41N答案B解析甲、乙两物体的质量均为m＝2kg，则OC绳的拉力与OB绳的拉力均为20N，这两个力的合力与OA绳的拉力大小相等，方向相反。由几何关系可知OC绳的拉力与OB绳的拉力夹角为110°，而夹角为120°大小均为20N的两个力的合力大小为20N，所以OC绳的拉力与OB绳的拉力的合力略比20N大。由于OA绳的拉力大小等于OC绳与OB绳拉力的合力，所以可推理出OA绳的拉力约为23N，故B正确。5.(多选)如图10所示，在竖直平面内有固定的半径为R的半圆轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上，一细线穿过轻环，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是()图10A.细线对M点的拉力大小为eq\f(\r(3),2)mgB.轨道对轻环的支持力大小为eq\r(3)mgC.细线对轻环的作用力大小为mgD.图示位置时MA＝eq\r(3)R答案BD解析轻环两边细线的拉力大小相等，均为T＝mg，则细线对M点的拉力大小为mg，故A错误；轻环两侧细线的拉力与轻环对半圆轨道的压力的夹角相等，设为θ，由OA＝OM得∠OMA＝∠MAO＝θ，则3θ＝90°，得θ＝30°，轻环受力平衡，则轨道对轻环的支持力大小FN＝2mgcosθ＝eq\r(3)mg，故B正确；细线对轻环的作用力是轻环两侧细线拉力的合力，大小为FN′＝FN＝eq\r(3)mg，此时MA＝2Rcosθ＝eq\r(3)R，故C错误，D正确。角度“动杆”和“定杆”模型分析模型结构模型解读模型特点“动杆”模型轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆“定杆”模型轻杆被固定在接触面上，不能发生转动杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向例5(多选)(2024·山东济南外国语学校期末)图11甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。图乙中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于墙，两图中重物都静止，则下列说法中正确的是()图11A.与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为eq\r(3)mgB.轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为eq\r(3)mgC.两根杆中弹力方向均沿杆方向D.若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂答案AD解析甲图中B点受力如图(1)，杆在B点的作用力方向沿杆，由平行四边形定则可知，FN1＝eq\f(mg,tan30°)＝eq\r(3)mg，FT1＝eq\f(mg,sin30°)＝2mg，则与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为eq\r(3)mg，故A正确；乙图中D点受力如图(2)，D点滑轮受到杆的作用力方向不沿杆，绳中两个拉力大小相同，可知小滑轮受到杆的弹力FN2＝FT1′＝FT2′＝mg，故B、C错误；若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，但甲、乙图中绳子拉力大小关系为FT1>FT1′，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂，故D正确。(1)(2)6.一质量为m的小球通过短轻绳悬挂在光滑铰链上，光滑铰链(不计质量)与轻杆连接，轻杆通过光滑铰链分别与固定点O和O′连接，如图12所示。已知两轻杆与水平地面和竖直墙壁的夹角都为30°，重力加速度为g，则下面轻杆和上面轻杆受到铰链的作用力大小分别为()图12A.eq\r(3)mg，mg B.mg，eq\r(3)mgC.eq\f(\r(3),2)mg，mg D.mg，eq\f(\r(3),2)mg答案B解析由题可知，两轻杆为两个“动杆”，而“动杆”上弹力方向沿轻杆。对铰链进行受力分析，铰链所受轻绳拉力大小为mg，方向竖直向下，下面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向下，设为F1，上面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向上，设为F2，如图所示。在力的矢量三角形中，由正弦定理有eq\f(F1,sin30°)＝eq\f(mg,sin30°)＝eq\f(F2,sin120°)，解得F1＝mg，F2＝eq\r(3)mg，选项B正确。A级基础对点练对点练1共点力的合成1.(2023·重庆卷，1)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图1所示)，则该牙所受两牵引力的合力大小为()图1A.2Fsineq\f(α,2) B.2Fcoseq\f(α,2)C.Fsinα D.Fcosα答案B解析根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2Fcoseq\f(α,2)，故B正确。2.如图2所示是由F1、F2、…、F6六个力分别首尾相连构成的几何图形，已知F4＝10N，方向水平向右，则这六个力的合力的大小和方向为()图2A.10N，水平向左 B.30N，水平向右C.10N，水平向右 D.20N，水平向右答案B解析由矢量的叠加可知F1、F2、F3三个力的合力等于F4，F5、F6两个力的合力等于F4，则这六个力的合力的大小为F合＝3F4＝30N，方向水平向右，故B正确，A、C、D错误。3.如图3所示，某物体同时受到共面的三个共点力作用，坐标纸小方格边长的长度对应1N大小的力。甲、乙、丙、丁四种情况中，关于三个共点力的合力大小，下列说法正确的是()图3A.甲图最小 B.乙图为8NC.丙图为5N D.丁图为1N答案D解析由题图可知，F甲＝2N，方向竖直向上；F乙＝eq\r(80)N，方向斜向右下；F丙＝eq\r(20)N，方向斜向左上；F丁＝1N，方向竖直向上。则丁图的合力最小，为1N，故D正确。对点练2力的分解的两种常用方法4.(2023·广东卷，2)如图4所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是()图4A.Ff＝G B.F＝FNC.Ff＝Gcosθ D.F＝Gsinθ答案C解析如图所示，将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡条件得，沿斜面方向Ff＝Gcosθ，垂直斜面方向F＝Gsinθ＋FN，故C正确，A、B、D错误。5.(2024·陕西渭南模拟)如图5所示是安装工人移动空调外机的情境。两工人分别在与窗户边缘等高的M、N两点通过1、2两根绳子使空调外机静止在P点，此时P点到M点的距离小于P点到N点的距离，绳子质量忽略，若用F1、F2分别表示PM、PN的拉力，则()图5A.F1的水平分力小于F2的水平分力B.F1的水平分力大于F2的水平分力C.F1的竖直分力小于F2的竖直分力D.F1的竖直分力大于F2的竖直分力答案D解析设1、2两绳子与竖直方向夹角分别为α、β，对空调外机受力分析可知，水平方向F1sinα＝F2sinβ，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项A、B错误；因α<β，则F1>F2，则两个力的竖直分量满足F1cosα>F2cosβ，选项C错误，D正确。6.如图6所示，开口向下的“”形框架两侧竖直杆光滑固定，上面水平横杆中点固定一定滑轮。两侧杆上套着的两滑块用轻绳绕过光滑定滑轮相连，并处于静止状态，此时连接滑块A的绳与水平方向夹角为θ，连接滑块B的绳与水平方向的夹角为2θ，则A、B两滑块的质量之比为()图6A.1∶2cosθ B.2cosθ∶1C.2sinθ∶1 D.1∶2sinθ答案A解析对两个滑块分别受力分析，如图所示，根据平衡条件可知，mAg＝F1sinθ，mBg＝F2sin2θ，又F1＝F2，因此eq\f(mA,mB)＝eq\f(sinθ,sin2θ)＝eq\f(1,2cosθ)，A正确。对点练3“活结”和“死结”与“定杆”和“动杆”的问题7.(2024·上海市大同中学月考)水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一重力为G＝100N的重物，∠CBA＝30°，如图7所示，则滑轮受到轻绳的作用力的大小为()图7A.50N B.50eq\r(3)N C.100N D.100eq\r(3)N答案C解析由题意可得，对B点受力分析如图所示，滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力F，因同一根绳张力处处相等，大小都等于重物的重力，即F1＝F2＝G＝100N，由于拉力F1和F2的夹角为120°，则由几何知识得F＝100N，所以滑轮受绳的作用力为100N，故C正确。8.如图8，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是()图8A.绳的右端上移到b′，绳子拉力变小B.将杆M向左移一些，绳子拉力变小C.换用稍长一些的轻质晾衣绳，绳子拉力变小D.绳的两端高度差越小，绳子拉力变小答案C解析如图所示，因为同一根绳子上的拉力相等，所以两侧绳子是对称的，与竖直方向夹角是相等的。设绳子的长度为l，则两杆之间的距离等于lcosθ，绳子一端在上下移动的时候，绳子的长度不变，两杆之间的距离不变，则θ角度不变，所以F1＝F2＝eq\f(G,2sinθ)，所以绳子上的拉力不变，绳的两端高度差的大小，对绳子的拉力没有影响，故A、D错误；当杆M向左移一些，两杆之间的距离变大，绳长不变，所以θ角度减小，sinθ减小，绳子拉力变大，故B错误；换用稍长一些的轻质晾衣绳，θ角度变大，绳子拉力变小，故C正确。B级综合提升练9.如图9所示，图甲中X轴和Y轴相互垂直，图乙中X′轴和Y′轴的夹角为127°。已知力F＝25N，sin37°＝0.6，下列关于力F的说法正确的是()图9A.图甲中力F沿X轴的分力为15NB.图甲中力F沿Y轴的分力为20NC.图乙中力F沿X′轴的分力为20ND.图乙中力F沿Y′轴的分力为18.75N答案D解析将力F沿坐标轴进行分解如图所示，图(a)中FX＝Fcos37°＝20N，FY＝Fsin37°＝15N，A、B错误；图(b)中FX′＝eq\f(F,cos37°)＝31.25N，FY′＝Ftan37°＝18.75N，C错误，D正确。10.(2024·广东茂名模拟)2023年春节，为增加节日的喜庆气氛，某街道两旁用如图10所示的装置挂上了大红灯笼。OA、OC为轻绳，OA与竖直墙壁的夹角为53°，OB为轻弹簧，弹簧的劲度系数为1000N/m，弹簧处于水平方向上，已知灯笼质量为6kg，sin53°＝0.8，重力加速度大小g取10m/s2，则下列说法正确的是()图10A.弹簧可能处于拉伸状态，也可能处于压缩状态B.弹簧和轻绳OA对O点的作用力大小为30NC.弹簧的形变量为8cmD.轻绳OA上的弹力大小为50N答案C解析以O点为研究对象，轻绳OC对O点的拉力方向竖直向下，轻绳OA对O点的拉力方向沿OA指向左上方，则弹簧对O点的弹力方向应为水平向右，所以弹簧应处于压缩状态，故A错误；弹簧和轻绳OA对O点的作用力大小与轻绳OC对O点竖直向下的拉力大小相等、方向相反，轻绳OC对O点竖直向下的拉力大小等于灯笼重力大小，即