高考物理冲刺：知识讲解-动能、动能定理（提高）

物理总复习：动能、动能定理

编稿：李传安审稿：

*

nW平均功率3=上=匹

功率：尸=—11名的关系；

‘瞬时功率：P=Fvcosa

［重力势能：％=相对性）

势能

机械能［1弹性势能:斗=1产

里分析问题。

动能：耳=1加附相对性）

动能定理：纥=△稣=-wv2--mv（

222

功能关系重力做功与重力势能的关系：%=M=耳】-a,?

重力以外的力做功与机械能变化的关系：wa

【考点梳理】

考点一、动能

动能是物体由于运动所具有的能，其计算公式为七=592。动能是标量，其单

位与

功的单位相同。国际单位是焦耳（J，

考点二、动能定理

1、动能定理

合外力对物体所做的功等于物体动能的变化，这个结论叫做动能定理。

2、动能定理的表达式

W=Ek2-4。式中W为合外力对物体所做的功，Ek2为物体末状态的动能,

昂为物体初状态的动能。动能定理的计算式为标量式，-为相对同一参考系的

速度，中学物理中一般取地球为参考系。

要点诠释：L若物体运动过程中包含几个不同的过程,应用动能定理时，可以

分段考虑，也可以视全过程为整体来处理。

2、应用动能定理解题的基本步骤

(1)选取研究对象，明确它的运动过程。

(2)分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况：受哪些力？每个力是

否做功？做正功还是做负功？做多少功？然后求各个外力做功的代数和。

(3)明确物体在始、末状态的动能和Ekl。

(4)列出动能定理的方程W=Ek2-J及其他必要的辅助方程，进行求解。

动能定理中的W总是物体所受各力对物体做的总功，它等于各力做功的代数

和，即吗广叱+卬2+也+…若物体所受的各力为恒力时，可先求出七，再求

%=七/cosa

3、一个物体动能的变化△与与合外力做的功唯，.具有等量代换的关系。因为动能

定理实质上反映了物体动能的变化,是通过外力做功来实现的，并可以用合外力

的功来量度。

△d>0,表示物体动能增加，其增加量就等于合外力做的功；

<0,表示物体动能减少，其减少量就等于合外力做负功的绝对值；

△&=0,表示物体动能不变，合外力对物体不做功。

这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的简便方法。

考点三、实验：探究动能定理

实验步骤

1.按图组装好实验器材，由于小车在运动中会受到阻力,把木板略微倾斜，

作为补偿。

2.先用一条橡皮筋进行实验，把橡皮筋拉伸一定长度，理清纸带，接通电源,

放开小车。

3.换用纸带，改用2条、3条……同样的橡皮筋进行第2次、第3次......实验,

每次实验中橡皮筋拉伸的长度都相同。

4.由纸带算出小车获得的速度，把第1次实验获得的速度记为匕，第2次、

第3次......记为打、匕…。

句断两个量可能的关系,然后以W为纵坐标,

【典型例题】

类型一、应用动能定理时过程的选取问题

在应用动能定理时，针对这种多过程问题，既可以分段利用动能定理列方程求

解，也可以对全过程利用动能定理列方程求解，解题时可灵活选择应用。不过全

过程用动能定理列方程求解往往比较简捷，应优先考虑。

为2kg的铅球从离地面2m高处自由下落，陷入沙

h=2cm内平均阻力。（取g=l（）〃z/Y）

【思路点拨】分析外力做功，哪个力做多少功，（力多大，位移是多少），分析初

态的动能、末态的动能，根据动能定理列出方程求解。如果初态、末态取得好,

计算要简单的多，那就是对全过程应用动能定理。

【答案】20XXN

【解析】铅球的运动分为自由下落和陷入沙坑中的减速两过程，可根据动能定

理分段列式，也可对全过程用动能定理.

方法一：分阶段列式

设小球自由下落到沙面时的速度为U,贝（=1/nv2-o

设铅球在沙坑中受到的阻力为F,则,咫〃-刊2=0-$加

代入数据，解得F=20XXNe

方法二：全过程列式

全过程重力做功〃虫”+加，进入沙坑中阻力做功-凡,从全过程来看动能

变化为零，则由卬=%-0,得mg（H+h）-Fh=O-O

后，对全过程运用动能定理可简化解题步骤。

【高清课堂：动能、动能定理例4】

例2、质量为m的小球被系在轻绳的一端,在竖直平面内做半径为R

的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球

通过轨道的最低点，此时绳子所受拉力为,此后小球继续做圆周运动，经

过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）

【思路点拨】理解"最低点，此时绳子所受拉力为7mg"的意义，可以求什么,

理解"经过半个圆周恰能通过最高点”的意义，是重力提供向心力。从最低点到

最高点，有阻力，求阻力做的功，根据动能定理列方程求解。

【答案】C

【解析】小球所受空气阻力时刻在变化，运动情况和受力情况均匕眼复杂，用动

能定理求解比较容易。从"小球通过轨道的最低点绳子所受拉力为7〃火"可以

求出最低点的速度；从"经过半个圆周恰能通过最高点〃可以求出最高点的速度。

最低点为初态/最高点为末态/

从低到高，重力做负功，阻力也做负功（用正负号均可工

小球在最低点，合力提供向心力：7〃%一明工得匕2=6gR

2R

小球在最高点，重力提供向心力：，叫二〃7得得片

K

根据动能定理有：一mg•2R+叼=J相（《一y：）得=_1,

故C选项正确。

【总结升华】求解变力的功时最常用的方法是利用动能定理或功能关系从能量的

角度来解决。本题关键要理解隐含条件的物理意义，可以求什么。

另外还有一些方法如：①将变力转化为恒力；②平均方法（仅大小变化且为线性

变化的力）；③利用77T图象的面积；④利用W=Pt（功率恒定时\

举一反三

【变式】如图所示，质量为m的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块

重力的k倍，它与转轴相距R。物块随转台由静止开始转动，当转速增加到

一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中,

【答案】A

【解析】物块在开始滑动时最大静摩擦力是圆周运动的向心力，故切7g=，

A

2

所以v=kgR则由动能定理W=gL一。=gmgkR得W=g?ngkR故选Ao

类型三、动能定理的综合应用

在应用动能定理解题时，应注意受力分析和过程分析，先确定受力分析，确

定各个力是否做功及做功正负，后进行过程分析以确定物体的初、末状态及动能

的变化。同时要注意运动过程中物体机械能的损失和物体合运动与分运动的关

系。

例3、如图所示，长度为I的轻绳上端固定在。点,下端系一质量为m

的小球（小球的大小可以忽略X（1）在水平拉力F的作用下，轻绳与竖

直方向的实住为。.小球保持静止，画出此时小球的受力图，并求力F的大小。

置无初速度释放小球，求当小球通过最低点时的速度大

小及轻,不计空气阻力。

【思路点拨】求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力，先根据动

能定理（或机械能守恒定律）求出速度，要注意高度的计算，再根据牛顿第二定

律（圆周运动）求出拉力。

【答案】（1）受力图见解析,F=mgVdna

(2)T=mg(3-2cosa)方向竖直向上

幅产】(1)受力图见右

根据m2衡条件，拉力大小F=nigtana

(2)重力做正功为〃赖1-cosa),拉力不做功

根据动能定理"侬(1-cos。)二;〃八/-0

则通过最低点时，小球的速度大小u=j2g/(1-cosa)

(或者运动中只有重力做功，系统机械能守恒

mg/(l-cosa)=J〃疗

则通过最低点时/小球的速度大小一=J2g/(l-cosa))

根据牛顿第二定律7'-"织=my

解得轻绳对小球的拉力丁="zg+，〃Y="zg(3-2cosa),方向竖直向上。

【总结升华】应用动能定理解题时，要分析哪些力做功，是做正功还是负功，

初末状态的动能，列计算式时是“末减初"，否则符号就不对了。如果机械能守

恒，根据机械能守恒列方程要方便得多。

【高清课堂：动能、动能定理例3]

例4、质量为m的滑块与倾角为8的斜面间的动摩擦因数为u,p<tg0.斜

面底端有一个和斜面垂直放置的弹性挡板，滑块滑到底端与它碰撞时没有机械能

损失，如图所示，若滑块从斜面上高度为h处以速度vo开始沿斜面下滑，设斜

面足够长，求：

(1)滑块最终停在何处？

(2)滑块在斜面上滑行的总路程是多少？

【思路点圻根据题意,滑块最终停在档板处，求滑行的总路程，摩嚓力

,根据动能定理列方程求解。

【答案】（1）滑块停在距挡板;（2）誓驾

2〃gcos。

【解析】（1）当物体静止时，做受力分析图，

垂直斜面：N=mgcos6

f=[〃77gcos0<mglan0cos3=mgsin0

平彳亍斜面：ZF=mg$me-f>0

即物体不能静止于斜面上，，滑块最终停在档板处。

（2）设滑块在斜面上滑行的总路程为s,由动能定理,

WG+WR二A且

即：mgh-"mgcos。-s=0--

解得：s=(2g〃+说)/24gcos。

举一反三

【变式】如图所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部足够长，下部分别与

个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120"半径R为2.0m,一个物体

在傍4.0m/s沿斜面运动。若物体与两斜面的

动唐0：不包括圆弧部分）一共能走多长路程？

（g、，

【答案】280m

【解析】斜面的倾角为e=60，由于物体在斜面上所受到的滑动摩擦力小于重力

沿斜面的分力（cos60〈〃%sin60）,所以物体不能停留在斜面上,物体在

斜面上滑动时,由于摩擦力做功，使物体的机械能逐渐减小，物体滑到斜面上的

高度逐渐降低，直到物体再也滑不到斜面上为止，最终物体将在B、C间往复运

动（B、C间光滑，不损失机械能），设物体在斜面上运动的总路程为s,则摩擦

力所做的总功为-攸〃geos60。・$,末状态选为B（或C）,此时物体速度为零，对

全过程由动能定理得

mg[〃-R(1-cos60)]一"mgcos60"•s=0-，,代

物体在斜面上通过的串路程为

32g(1一”+4_2X]0X(3.01.0)+4.()2

m-280/??

―0.02x10

例5、如图所示，斜面和水平面由一小段光滑圆弧连接，斜面的倾角为37。，

一质量为0.5kg的物块从距斜面底端B点5m处的A点由静止释放.已知物块

o2

与水平面和斜面的动摩擦因数均为0.3。(sin37=0.6,cos37°=0.8/g=10m/s)

(1)物块在水平面上滑行的时间为多少？

(2)若物块开始静止在水平面上距B点10m的C点处，用大小为4.5N的水

平恒力向右拉该物块，到B点撤去此力，物块第一次到A点时的速度为多大？

面上距B点10m的C点处，用大小为4.5N的水

.«^^<^E块能到达A点，水平恒力作用的最短距离为多大？

【思路点拨】(1)运动分析：从A到B应用动能定理求出B点的速度，再限据

运动学求出在水平面滑行的时间；(2)用水平恒力向右拉，求第一次到A点时

的速度，初态动能为零，求末速度，对全过程应月动能定理；(3)拉力的距离变

了，拉力的功变了，摩擦力的功没有变，初态、末态动能为零，对全过程应用动

能定理求解。

【答案】(1)t=2s(2)v'=6mIs(3)x=8m

【解析】(1)物块先沿斜面匀加速下滑，设AB长度为L,动摩擦因数为〃

根据动能定理mgLsin。mgLcos6=；mv2-0

到B点的速度为v=j2gL(sin。-4cos8)=6m/s

(或者根据牛顿第二定律求解：物块先沿斜面匀加速下滑，设AB长度为L,

动摩擦因数为〃根据牛顿第二定律mgsin<92gcos0=ma

下滑的加速度。=gsin0-〃gcos。=3.6m/52

到达B点时速度箕=0布=6m/s)

在水平面上物块做匀减速运动a'=〃g=3m/s2

在水平面上运动的时间t=—t=2s

(2)设CB距离为/,全过程用动能定理:

(F-Ring)1-nigLsin37-pmgLcos37=—mv2-0

解得：u，=6〃z/s

(3)设力作用的最短距离为x，根据动能定理可得：

Fx-/ningl-tngLsin370—从mgLcos37=0解得：x=8/7?

【总结升华】根据动能定理可以解决用牛顿定律解决的问题，很多时候用动能定

理更方便。对可以全过程用动能定理的，最好不分段用动能定理，对机械能守恒

的一般不用动能定理。

举一反三

【变式】如图，质量为m=60kg,重心离地面高度为H=0.8m的运动员进行

"挑战极限运动'’训练，需穿越宽为防二2.5m的水沟并跃上高为h=2.0m的

平台.运动员手握长为L=3.25m轻质弹性杆一端，从A点静止开始匀加速助

跑，至B点时将杆的一端抵在0点障碍物上，杆发生形变，同时运动员蹬地后

被弹起，到达最高点时杆处于竖直状态，且重心恰好在杆的顶端，此刻运动员放

开杆水平飞出并趴在平台的保护垫上，忽略空气阻力,取g=10〃?//。

(1)若运动员助跑距离入=16m，到达B点时速度以=8m/s,求运动员助跑的加

【答案】(1)a=2.0m/s2(2)v=5.0m/s(3)W=300J

【解析】(1)运动员从A到B的过程中，做匀加速运动，由运动学公式

寸=A?①代入数据得a=2.0m/s2

(2)设运动员在最高点水平飞出时的速度为P,做平抛运动，由平抛运动公式

S)=vt(2)L-h=^gr@

联立方程②、③代入数据得v=5.0m/s

(3)设运动员在B点至少做功为W,从B点到最高点的过程中，由动能定理得

卬-mg(L-H)=-mv2④代入数据得W=300J

例6、如图所示，遥控电动赛车(可视为质点)从A点由静止出发，经过时

间t后关闭

电动机，赛车继续前进至B点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过

轨道最高点P

后又进入水平轨道CD上。已知赛车在水平轨道AB部分和CD部分运动时受到

阻力恒为车

重的0.5倍，即八与/〃吆=0.5,赛车的质量m=0.4kg,通电后赛车的电动机

以额定功率

P=2W工作，轨道AB的长度L=2m,圆形轨道的半径R=0.5m,空气阻力可忽

略，取重力

加速度g=10〃7/$2。某次比赛，要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又在

CD轨道上

运动的路程最短。在此条件下，求：

(1)小车在CD轨道上运动的最短路程

(2)赛车电动机工作的时间

【，思耨盘】，逑g：不能脱离程”分析出临界条件，在最高点重力

提供向心力，求出P点的速度,c到F圆形光滑轨道,运用动能电里(或机械

能守恒定律)求出C点的速度；C到D运用动能定理，求出最短距离；从A点

到B点的运动过程中，由动能定理求得时间。

【答案】(1)x=2.5m(2)t=4.5s

【解析】（1）要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又在CD轨道上运动的路

程最短,则小车经过圆轨道P点时速度最小,此时赛车对轨道的压力为零,

重力提供向心力：，ng=〃Zv”gR

C点的速度，从C到P,根据动能定理-叫=='成

解得匕=5m/s

（或者由机械能守恒定律可得：4=g〃延

由上述两式联立，代入数据可得：%=5m/s）

设小车在CD轨道上运动的最短路程为X,由动能定理可得：

一6帕:=0-就代入数据可得：x=2.5m

（2）由于竖直圆轨道光滑，由机械能守恒定律可知：%=%=5〃?/s

从A点到B点的运动过程中，由动能定理可得：

Pt-kmgL=gmv\代入数据可得：t=4.5s

举一反三

【变式】在一次抗洪抢险活动中，解放军某部动用直升飞机抢救一重要落水物体，

静止在空中的直升机上电动机通过悬绳将物体从离飞机90米处的洪水中吊到机

舱里。已知物体的质量为80Kg,吊绳的拉力不能超过1200N,电动机的最大输

出功率为12KW,为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是，先让吊绳以

最大的拉力工作一段时间，而后电动机又以最大功率工作，当物体到达机舱时恰

好达到最大速度。

求（1）落水物体刚达到机舱时的速度

（2）这一过程所用的时间

【答案】（1）vm=\5m/s（2）z=7.75s-

【解析】本题看似与机车启动问题无关，仔细分析题目中的条件〃先让吊绳以最

大的拉力工作一段时间,而后电动机又以最大功率工作〃可发现，这是典型的机

车启动问题，先以恒定拉力（牵引力）工作，后以恒定功率工作。

pP19x103

（1）当物体到达机舱时恰好达到最大速度,vm=^=—==*m/s=\5fn/s

fmg800

(2)先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，即以恒定拉力工作，加速度恒定,

做匀加速运动，适用牛顿第二定律，拉力r=1200N，阻力/=/咫=800N,

根据牛顿第二定律T-mg=ma加速度a=5m/s2

根据P=八何求出达到额定功率时的速度P=y=喘;m!S=\0/77/s

v=atx匀加速的时间4=上=2s

a2

匀加速的位移X=5*=]x5x22m=1()6(或凡=5或)

第二阶段以恒定功率运动，做加速度减小的加速运动，适用动能定理

以恒定功率运动的位移x2=h-xi=90-10=80/n

拉力(牵引力)做功(是变力做功)理解为平均功W=Pt2,重力做负功咚V2，

初动能为；〃“末动能为!总根据动能定理

Pb7ngx,匕j代入数据解得z,=5.755

总共的时间f=4+4=7.75$

(1)实验的部分步骤如下：

①在小车中放入祛码，把纸带穿过打点计时器，连在小车后端，用细线连接

小车和钩码；

②将小车停在打点计时器附近小车拖动纸带，打

点计时器在纸带上打下一系列点；

③改变钩码或小车中祛码的数量，更换纸带，重复②的操作。

(2)下图是钩码质量为0.03kg,祛码质量为0.02kg时得到的一条纸带,

在纸带上选择起始点。及