2025年高考数学必刷题分类：第28讲、三角函数概念及诱导公式（教师版）

第28讲三角函数概念及诱导公式

知识梳理

知识点一：三角函数基本概念

1、角的概念

（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个

位置所成的图形；

②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是

Sk360，kZ．

（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的

终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属

于任何一个象限．

（4）象限角的集合表示方法：

2、弧度制

（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，

读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．

180

（2）角度制和弧度制的互化：180rad，1rad，1rad．

180

11

（3）扇形的弧长公式：lr，扇形的面积公式：Slrr2．

22

3、任意角的三角函数

（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则siny，cosx，

y

tan(x0)．

x

（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x，y)是角α终边上异于顶点的任一

yxy

点，设点P到原点O的距离为r，则sin，cos，tan(x0)

rrx

三角函数的性质如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函数定义域

限符号符号限符号限符号

sinR＋＋－－

cosR＋－－＋

tan{|k，kZ}＋－＋－

2

记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

4、三角函数线

如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）

作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．

三角函数线

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线

知识点二：同角三角函数基本关系

1、同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sin2cos21．

sin

（2）商数关系：tan(k)；

cos2

知识点三：三角函数诱导公式

公式一二三四五六

角2k(kZ)

22

正弦sinsinsinsincoscos

余弦coscoscoscossinsin

正切tantantantan

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写

作n；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断n所处的象限，并判断题设三

22

角函数在该象限的正负；（3）当n为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n为偶数时，

“偶不变”函数名保持不变即可．

【解题方法总结】

sin

1、利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan可以实

cos

现角的弦切互化．

2、“sincos，sincos，sincos”方程思想知一求二．

(sincos)2sin2cos22sincos1sin2

(sincos)2sin2cos22sincos1sin2

(sincos)2(sincos)22

必考题型全归纳

题型一：终边相同的角的集合的表示与区别

4π4π

例1．（2024·辽宁·校联考一模）已知角的终边上一点的坐标为sin,cos，则的

55

最小正值为（）

π3π4π17π

A．B．C．D．

510510

【答案】D

4ππ3π4ππ3π3π

【解析】因为，所以sinsin=cos，

5210521010

4ππ3π3π

而coscos=sin，

521010

3π3π

所以角的终边上点的坐标可写为：cos,sin，

1010

3π3π17π

所以=-+2kπ,kÎZ，因此的最小正值为2π.

101010

故选：D

9π

例2．（2024·全国·高三专题练习）下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（）

4

9π

A．2kπ45kZB．k360kZ

4

5π

C．k360315kZD．kπkZ

4

【答案】C

9π

【解析】对于A，B，2kπ45kZ，k360kZ中角度和弧度混用，不正确；

4

9ππ

对于C，因为2π与315是终边相同的角，

44

9π

故与角的终边相同的角可表示为k360315kZ，C正确；

4

5π5π9π

对于D，kπkZ，不妨取k0，则表示的角与终边不相同，D错误，

444

故选：C

例3．（2024·广东·高三统考学业考试）下列各角中与437角的终边相同的是（）

A．67B．77C．107D．137

【答案】B

【解析】与437角的终边相同的角为437360k,kZ，

当k1时，43736077，B正确；

经验证，其他三个选项均不合要求.

故选：B

变式1．（2024·北京·高三北大附中校考阶段练习）已知角的终边为射线yx(x0)，

则下列正确的是（）

52

A．B．cosC．tan1D．sin1

4224

【答案】C

【解析】因为角的终边为射线yx(x0)，

5

所以，角0,2时，，

4

5

所以，角的集合为=+2k,kZ，故A选项错误；

4

52

所以，coscos2k，故B选项错误；

42

53

tantan2ktan1，故C选项正确；

2424

53

sinsin2ksin1，故D选项错误.

4442

故选：C

【解题方法总结】

（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．

（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是

坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．

题型二：等分角的象限问题

例4．（2024·全国·高三专题练习）已知是锐角，那么2是（）．

A．第一象限角B．第二象限角

C．小于180°的正角D．第一或第二象限角

【答案】C

【解析】因为是锐角,所以0,,所以20,,满足小于180°的正角.

2

其中D选项不包括90，故错误.

故选：C

例5．（2024·全国·高三专题练习）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在()

A．第一、二象限B．第二、三象限

C．第三、四象限D．第一、四象限

【答案】A

【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.

∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.

∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，即其终边不可能在第一、

二象限.

故选A.

2k

例6．（2024·浙江·高三专题练习）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在()

36

A．第一象限或第二象限或第三象限

B．第一象限或第二象限或第四象限

C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上

D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上

【答案】D

【解析】当k0时，，终边位于第一象限

6

5

当k1时，，终边位于第二象限

6

3

当k2时，，终边位于y轴的非正半轴上

2

当k3时，2，终边位于第一象限

6

综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或y轴的非正半轴上

故选D

变式2．（1990·上海·高考真题）设角属于第二象限，且coscos，则角属于（）

222

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】Q为第二象限角，90k360180k360kZ，

45k18090k180kZ；

2

当k2nnZ时，为第一象限角；当k2n1nZ时，为第三象限角；

22

为第一或第三象限角；

2

coscos，cos0，为第三象限角.

2222

故选：C.

5π

变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知角的终边与的终边重合，则的终边不可

33

能在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

π

【解析】因为角的终边与5的终边重合，

3

552

所以2k，kZ，所以k，kZ，

3393

5

令k3n(nZ)，则2n(nZ)，此时的终边位于第二象限；

393

11

令k3n1(nZ)，则2n(nZ)，此时的终边位于第三象限；

393

17

令k3n2(nZ)，则2n(nZ)，此时的终边位于第四象限．

393

所以的终边不可能在第一象限，

3

故选：A．

变式4．（2024·全国·高三专题练习）若角是第一象限角，则是（）

2

A．第一象限角B．第二象限角

C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角

【答案】C

【解析】因为是第三象限角，所以k360k36090,kZ，

所以k180k18045,kZ，

2

当k为偶数时，是第一象限角，

2

当k为奇数时，是第三象限角.

2

故选：C．

【解题方法总结】

先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限

n

分布图示．

题型三：弧长与扇形面积公式的计算

2

例7．（2024·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为π，扇

3

形的面积为3π，则该扇形的周长为__________.

【答案】62π

122

【解析】设扇形的半径为R，利用扇形面积计算公式SπR3π，

23

可得R3；

2

所以该扇形的弧长为lπ32π，

3

所以周长为l2R62π.

故答案为：62π

例8．（2024·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知扇形圆心角60,所对的

弧长l6π，则该扇形面积为__________.

【答案】54π

π11

【解析】由弧长公式可得l6π=rr=18，所以扇形面积为Slr6π18=54π，

322

故答案为：54π

例9．（2024·全国·高三专题练习）在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这

个比例为2:1，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出

一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为S1，圆面剩余

S

2

部分的面积为S2，当2时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角

S1

的弧度数为____________.

【答案】221π

【解析】设扇子圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为2π，圆的半径为r，

11

则Sr2，S2πr2，

1222

1

2πr2

S22

因为2，即2，即2π2，

S12

1r

2

2π

所以221π.

21

故答案为：221π

变式5．（2024·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积

给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形

田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为_____

平方米.

【答案】100

【解析】因为径长为20米，下周长为20米，

所以由题意中“以径乘周四而一”可知，

1

该扇形菜田的面积S=创2020=100平方米。

4

故答案为：100.

变式6．（2024·福建厦门·高三福建省厦门第六中学校考阶段练习）若一个扇形的周长是4

为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧度数是__.

【答案】2

【解析】设扇形的圆心角弧度数为，半径为r，

4

则42rr，2，

r

114r2r

Sr2r2(2)2rr2r(2r)()21

22r2

当且仅当2rr，解得r1时，扇形面积最大.

此时2.

故答案为：2.

变式7．（2024·江西鹰潭·高三鹰潭一中校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为

r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角______弧度．

【答案】2.

【解析】由题意，扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，且扇形周长为20，

可得l2r20，即l202r，

11

则扇形的面积Slr(202r)r(10r)rr210r(r5)225，

22

l10

当r=5时，扇形面积取得最大值，此时2.

r5

故答案为：2.

【解题方法总结】

应用弧度制解决问题的方法

（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．

（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

题型四：三角函数定义题

例10．（2024·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知P3,4是角终边上的一点，则sin

（）

3434

A．B．C．D．

5547

【答案】B

44

【解析】由三角函数的定义可知sin，

32425

故选：B

2

例11．（2024·全国·高三对口高考）如果点P在角π的终边上，且|OP|2，则点P的坐

3

标是（）

A．(1,3)B．(1,3)C．(3,1)D．(3,1)

【答案】B

2xP12y3

【解析】由三角函数定义知：cosπ，sinπP，

3|OP|23|OP|2

所以xP1，yP3，即P的坐标是(1,3).

故选：B

例12．（2024·北京丰台·北京丰台二中校考三模）已知点A的坐标为1,3，将OA绕坐标

π

原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）

2

A．3B．1C．3D．1

【答案】D

31

【解析】设射线OA与x轴非负半轴所成夹角为，则sin，cos，

22

π

射线OB与x轴非负半轴所成夹角为，则，

2

π1yB1

所以sinsincos，又OB2，sin，所以y21.

22OBB2

故选：D

变式8．（2024·全国·高三专题练习）设a<0，角的终边与圆x2y21的交点为P(3a，4a)，

那么sin2cos（）

2112

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【解析】画图，角的终边与圆x2y21的交点为P(3a，4a)，

设P(x，y)，则x3a，y4a，代入得(3a)2(4a)21，

1

解得a2，

25

∵a<0，

1

∴a，

5

34

∴P(，)，

55

又∵在单位圆中，cosx，siny，

34

∴cos，sin，

55

2

∴sin2cos，

5

故选：D

变式9．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q

从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向

6

11

每秒钟转弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为________.

6

【答案】(0,1)

【解析】由题意求得，P，Q两点每一秒钟相遇一次，则P，Q两点在第2019次相遇时，经

过了2019秒，求得点P转过的周数，可得点P的坐标．因为点P按逆时针方向每秒钟转

6

11

弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，

6

即2，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2019次时，共用了2019秒，所以此

20196732019

时点P所转过的弧度为336，由终边相同的角的概念可知，与

6226

的终边相同，所以此时点P位于y轴上，故点P的坐标为(0,1).

2

故答案为：(0,1).

【解题方法总结】

（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角

α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．

（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值

在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情

况．

题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值

13π

例13．（2024·全国·高三对口高考）若，则（）

7

A．sin0且cos0B．sin0且cos0

C．sin0且cos0D．sin0且cos0

【答案】C

13ππ

【解析】由2π，即为第四象限角，

77

所以sin0且cos0.

故选：C

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知点Asin23,cos23是角终边上一点，若

0360，则（）

A．113B．157C．293D．337

【答案】C

【解析】sin230,cos230，则点A在第四象限，

cos23sin67

由tantan67tan293，故293.

sin23cos67

故选：C.

例15．（2024·河南·校联考模拟预测）已知是第二象限角，则点(cos(sin),sin(cos))所

在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

【解析】因为是第二象限角，所以0sin1，1cos0，

进而硧定cos(sin)0，sin(cos)0.

所以点(cos(sin),sin(cos))在第四象限.

故选：D

变式10．（2024·河南·校联考模拟预测）已知是第二象限角，则点（cos()，sin()）

所在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】由题意知：cos0，sin0，进而得到coscos0，sinsin0，

所以点（cos()，sin()）位于第三象限.

故选：C

变式11．（2024·河南许昌·高三校考期末）在平面直角坐标系中，点Psin2023，tan2023

位于第（）象限

A．一B．二C．三D．四

【答案】B

【解析】因为sin2023sin5360223sin223sin430，

tan2023tan5360223tan223tan430，

所以点Psin2023，tan2023位于第二象限.

故选：B

变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点Pcos,tan是第二象限的点，则的终边

位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】∵点Pcos,tan是第二象限的点，

∴cos0，tan0，

由cos0可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴；

由tan0可得，的终边位于第一象限或第三象限，

综上所述，的终边位于第三象限.

故选：C.

【解题方法总结】

正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．

余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．

正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．

题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的

例16．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知是三角形的一个内角，

5

且满足sincos，则tan（）

5

1

A．2B．1C．3D．

2

【答案】A

514

【解析】将sincos两边同时平方可得12sincos，即2sincos；

555

9

所以(sincos)212sincos

5

35525

若sin+cos，解得sin,cos，这与是三角形的一个内角矛盾，

555

35255

所以sin+cos，解得sin=,cos=，此时求得tan2.

555

故选：A.

6

例17．（2024·山西阳泉·统考二模）已知sincos，0π，则sincos

3

（）

232333

A．B．C．D．

3333

【答案】B

622222

【解析】因为sincos，所以sincos，即sin2sincoscos，

333

1

所以2sincos.

3

因为0π，所以cos0sin，所以sincos0.

214

因为sincossin22sincoscos21，

33

23

所以sincos.

3

故选：B.

1

例18．（2024·全国·高三专题练习）已知sincos，且0,π，sincos（）

5

77749

A．B．C．D．

55525

【答案】C

121

【解析】因为sincos，两边平方得sincos12sincos，

525

24

故2sincos0，所以sin与cos导号，

25

又因为0π，所以sin0，cos0，

2247

所以sincossincos12sincos1.

255

故选：C.

π

变式13．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）已知sinsin2，则tan（）

2

A．2B．1C．1D．2

【答案】B

π

【解析】因为sinsinsincos2，

2

2

sin

sincos2

由题意可得，解得2，

22

sincos12

cos

2

sin

因此，tan1.

cos

故选：B.

变式14．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知sin､cos是关于x的方

程3x22xa0的两根，则a__________.

5

【答案】

6

Δ412a0

21

【解析】由题意：sincos，所以a，

33

a

sincos

3

22a45

所以sincos12sincos1，即6a50，解得a.

396

5

故答案为：.

6

2

变式15．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知sincos，则

3

sin2________．

7

【答案】

9

2

【解析】sincos两边平方得：

3

22

sincos12sincos1sin2，

9

7

解得：sin2.

9

7

故答案为：

9

7

变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知sincos0π，则tan______．

13

12

【答案】

5

7249

【解析】已知sincos①，则sincos12sincos，

13169

60

sincos0，

169

0π，sin0，则cos0，sincos0，

228917

sincossincos12sincos②，

16913

125

联立①②，得sin，cos

1313

12

tan，

5

12

故答案为：.

5

π1

变式17．（2024·全国·高三专题练习）若0,,tan，则sincos________．

22

5

【答案】

5

π

【解析】因为0,，则sin0,cos0，

2

sin1

又因为tan，则，

cos2cos2sin

55

且cos2sin24sin2sin25sin21，解得sin或sin（舍去），

55

5

所以sincossin2sinsin.

5

5

故答案为：.

5

1

变式18．（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知tan2，则的值是__________．

sin2cos2

【答案】5

【解析】因为tan2，

11

所以

sin2cos22sincoscos2sin2

cos2sin2

2sincoscos2sin2

1tan2

2tan1tan2

122

5，

22122

故答案为：5.

变式19．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知tanx3，则

3sin2x2sinxcosx__________.

【答案】923

4

【解析】因为tanx3，

2

3sin2x2sinxcosx3tan2x2tanx3323923

所以2、

3sinx2sinxcosx2222.

sinxcosx1tanx134

故答案为：923

4

sinxcosx

变式20．（2024·全国·高三对口高考）若2，求sinxcosx的值为__________.

sinxcosx

3

【答案】/0.3

10

sinxcosx

【解析】由2可得sinxcosx2(sinxcosx),sinx3cosx，

sinxcosx

sinxcosx

因为cosx0不适合2，故cosx0，

sinxcosx

所以tanx3，

sinxcosxtanx33

故sinxcosx，

sin2xcos2xtan2x19110

3

故答案为：

10

【解题方法总结】

（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义

求未知三角函数值．

（2）若无象限条件，一般“弦化切”．

题型七：诱导求值与变形

π3ππ

例19．（2024·山西阳泉·统考三模）已知sin，且,，则

6344

π

sin_______．

3

61

【答案】/6

33

ππππ5ππ

【解析】因为,，所以,，故cos0，

44612126

2

所以π36

cos1.

633

ππππ6

sinsincos。

32663

故答案为：6

3

π3

例20．