2025年高考数学必刷题分类：第47讲、空间点、直线、平面之间的位置关系（学生版）

第47讲空间点、直线、平面之间的

位置关系

知识梳理

知识点一．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据

推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据

（2）此推论是判定若干平面重合的依据

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

线．

注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据

（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线

共点）

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

知识点二．直线与直线的位置关系

位置关系相交（共面）平行（共面）异面

图形

符号abPa∥baA,b,Ab

公共点个数100

特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平两条异面直线不同在如

面何一个平面内

知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面

平行三种情况．

位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）

图形

符号llPl∥

公共点个数无数个10

知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．

位置关平行相交（但不垂直）垂直

系

图形

符号∥l，l

公共点0无数个公共点且无数个公共点且都

个数都在唯一的一条直线在唯一的一条直线上

上

知识点五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互

补．

必考题型全归纳

题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”

例1．（2024·山西大同·高一校考期中）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别

为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GCDH:HC1:2，求证：

(1)E，F，G，H四点共面；

(2)EG与HF的交点在直线AC上．

例2．（2024·陕西西安·高一校考期中）（1）已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求

证：过a，b，l有且只有一个平面；

（2）如图，在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，

CFAE1

BC上的点，且.求证：直线EH，BD，FG相交于一点.

FBEB3

例3．（2024·河南信阳·高一校联考期中）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分

别是AB,AA1上的点，且A1F2FA,BE2AE.

(1)证明：E,C,D1,F四点共面；

(2)设D1FCEO，证明：A，O，D三点共线.

变式1．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为

AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG:GCDH:HC1:2.求证：

(1)E､F､G､H四点共面；

(2)EG与HF的交点在直线AC上.

变式2．（2024·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，E，F，

G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点．

(1)证明E，F，G，H四点共面；

(2)证明GE，FH，BB1相交于一点．

变式3．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分

，

别是ABAA1的中点．

，，

(1)求证：CED1FDA三线交于点P；

(2)在（1）的结论中，G是D1E上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点

共线．

【解题方法总结】

共面、共线、共点问题的证明

（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．

（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．

（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

题型二：截面问题

例4．（2024·全国·高三对口高考）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为23，动点P

在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）

的周长为y，设BPx，则当x1,5时，函数yfx的值域为（）

A．36,66B．6,26C．0,6D．0,36

例5．（2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图，正方体ABCDA1B1C1D1

的棱长为1，E，F，G分别为线段BC,CC1,BB1上的动点（不含端点），

π

①异面直线D1D与AF所成角可以为

4

②当G为中点时，存在点E，F使直线A1G与平面AEF平行

9

③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为

8

④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等

则上述结论正确的是（）

A．①③B．②④C．②③D．①④

例6．（2024·河南·模拟预测）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的

中点，过M，N，B1三点的平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面形状为（）

A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形

变式4．（2024·河南·模拟预测）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为AD，C1D1

的中点，则下列结论正确的个数为（）

22

①MN//平面AA1C1C；②MNB1C；③直线MN与AC1所成角的余弦值为

3

④过M,N,B1三点的平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为梯形

A．1B．2C．3D．4

变式5．（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）在棱长为2的正方体

ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，对于如下命题：①异面直线DD1与B1F

5

所成角的余弦值为；②点P为正方形A1B1C1D1内一点，当DP//平面B1EF时，DP的最小

5

32

值为；③过点D1，E，F的平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面周长为2132；

2

④当三棱锥B1BEF的所有顶点都在球O的表面上时，球O的体积为6．则正确的命题

个数为（）

A．1B．2C．3D．4

变式6．（2024·河南新乡·统考三模）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E

是棱CC1的中点，过A,D1,E三点的截面把正方体ABCDA1B1C1D1分成两部分，则这两部分

中大的体积与小的体积的比值为（）

171377

A．B．C．D．

7734

-

变式7．（2024·新疆·校联考二模）已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，A1C1

的中点，AA12，AB2，BC32，AC4，如图所示，若过A、E、F三点的平面

-

作该直三棱柱ABCA1B1C1的截面，则所得截面的面积为（）

A．10B．15C．25D．30

变式8．（2024·新疆阿克苏·校考一模）已知M，N，P是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，

AA1，CC1的中点，则平面MNP截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面是（）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

变式9．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1

中，点Р是侧面ADD1A1上的点，且点Р到棱AA1与到棱AD的距离均为1，用过点Р且与BD1

垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是（）

913

A．B．5C．D．8

22

【解题方法总结】

（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线

都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．

（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出

交线．

题型三：异面直线的判定

例7．（2024·全国·高三对口高考）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a,b的

位置关系是（）

A．一定是异面直线B．一定是相交直线

C．可能是平行直线D．可能是异面直线，也可能是相交直线

例8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，点P在直线AD1

上，Q为线段BD的中点，则下列命题中假命题为（）

A．存在点P，使得PQA1C1

B．存在点P，使得PQ//A1B

C．直线PQ始终与直线CC1异面

D．直线PQ始终与直线BC1异面

例9．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在底面半径为1的圆

柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F

是AB的中点，则（）

A．AE=CF，AC与EF是共面直线

B．AECF，AC与EF是共面直线

C．AE=CF，AC与EF是异面直线

D．AECF，AC与EF是异面直线

变式10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1

MP

中，，N，分别是棱A1D1，D1C1，AB的中点，Q是线段MN上的动点，则下列直线

中，始终与直线PQ异面的是（）

A．AB1B．BC1C．CA1D．DD1

-

变式11．（2024·上海·高三校联考阶段练习）如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱

长均为1，点P、M、N分别为棱AA1、AB、A1B1的中点，点Q为线段MN上的动点．当点

Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（）

A．直线C1Q与直线CP可能相交B．直线C1Q与直线CP始终异面

C．直线C1Q与直线CP可能垂直D．直线C1Q与直线BP不可能垂直

变式12．（2024·吉林长春·高三长春市第六中学校考期末）如图，在底面为正方形的棱台

中，、、、分别为棱，，，的中点，对空间任

ABCDA1B1C1D1EFGHCC1BB1CFAF

MM

意两点、N，若线段MN与线段AE、BD1都不相交，则称点与点N可视，下列选

项中与点D可视的为（）

A．B1B．FC．HD．G

【解题方法总结】

判定空间两条直线是异面直线的方法如下：

（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面

直线．

（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．

题型四：异面直线所成的角

例10．（2024·全国·高三专题练习）如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是棱

AD,CC1的中点,则异面直线A1E与BF所成角的大小为．

例11．（2024·高三课时练习）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD

所成角的大小为．

例12．（2024·新疆喀什·高三统考期中）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体

中，下列说法中，正确的序号是.

（1）直线AF与直线DE相交；

（2）直线CH与直线DE平行；

（3）直线BG与直线DE是异面直线；

（4）直线CH与直线BG成60角.

变式13．（2024·全国·高三专题练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去

一小块，八个顶点共截去八小块，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多

面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是

变式14．（2024·全国·高三对口高考）线段AB的两端分别在直二面角CD的两个面

、内，且与这两个面都成30角，则直线AB与CD所成的角等于．

变式15．（2024·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形ABCD沿对角线AC翻折，得到空

1

间四边形D1ABC，若BCCDDAAB1，则直线AD1与BC所成角的大小可能

2

为.（写出一个值即可）

【解题方法总结】

（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判

断，常借助正方体为模型．

（2）求异面直线所成的角的三个步骤

一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．

二证：证明作出的角是异面直线所成的角．

三求：解三角形，求出所作的角．

题型五：平面的基本性质

例13．（多选题）（2024·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知，是两个

不同的平面，则下列命题正确的是（）

A．若l，A且A，则Al

B．若A，B，C是平面内不共线三点，A，B，则C

C．若A且B，则直线AB

D．若直线a，直线b，则a与b为异面直线

例14．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）有下列命题：

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

其中正确命题是（）

A．①B．②C．③D．④

例15．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）我们知道，平面几何中有些正确的结论在

空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）

A．平行于同一条直线的两条直线必平行

B．垂直于同一条直线的两条直线必平行

C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补

D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补

变式16．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）下列命题

中错误的是（）

A．空间三点可以确定一个平面

B．三角形一定是平面图形

C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合

D．四条边都相等的四边形是平面图形

变式17．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，点E，F，G，H分别是正方体

ABCDA1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则（）

A．GH2EFB．GH2EF

C．直线EF，GH是异面直线D．直线EF，GH是相交直线

变式18．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为