2025年高考数学必刷题分类：第30讲、三角函数的图像与性质（教师版）

第30讲三角函数的图像与性质

知识梳理

知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）在正弦函数ysinx，x[0，2]的图象中，五个关键点是：

3

(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)．

22

（2）在余弦函数ycosx，x[0，2]的图象中，五个关键点是：

3

(0，1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)．

22

知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中kZ）

函数ysinxycosxytanx

图象

定义域RR{x|xR，xk}

2

值域[1，1][1，1]R

周期性22

奇偶性奇函数偶函数奇函数

递增区间[2k，2k][2k，2k](k，k)

2222

3

递减区间[2k，2k][2k，2k]无

22

k

对称中心(k，0)(k，0)(，0)

22

对称轴方程xkxk无

2

T

注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称

2

T

中心的距离是；

2

T

正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；

4

知识点三：yAsin(wx)与yAcos(wx)(A0,w0)的图像与性质

2

（1）最小正周期：T．

w

（2）定义域与值域：yAsin(wx)，yAcos(wx）的定义域为R，值域为[-A，

A]．

（3）最值

假设A0，w0．

①对于yAsin(wx)，

当wx2k(kZ)时，函数取得最大值A;

2

当wx2k(kZ)时，函数取得最小值A;

2

②对于yAcos(wx），

当wx2k(kZ)时，函数取得最大值A;

当wx2k(kZ)时，函数取得最小值A;

（4）对称轴与对称中心．

假设A0，w0．

①对于yAsin(wx)，

当，即

wx0k(kZ)sin(wx0)

2

时，的对称轴为

1ysin(wx)xx0

当wxk(kZ)，即sin(wx)0

00

时，的对称中心为

ysin(wx)(x0,0).

②对于yAcos(wx），

当，即

wx0k(kZ)cos(wx0)1

时，ycos(wx)的对称轴为xx

0

当，即

wx0k(kZ)cos(wx0)

2

时，的对称中心为

0ycos(wx)(x0,0).

正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应

函数与x轴交点的位置．

（5）单调性．

假设A0，w0．

①对于yAsin(wx)，

wx[2k,2k](kZ)增区间；

22

3

wx[2k,2k](kZ)减区间.

22

②对于yAcos(wx），

wx[2k,2k](kZ)增区间；

wx[2k,2k](kZ)减区间.

（6）平移与伸缩

由函数ysinx的图像变换为函数y2sin(2x)3的图像的步骤；

3

方法一：(xx2x)．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐

23

音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．

向左平移个单位所有点的横坐标变为原来的1

ysinx的图像3ysin(x)的图像2

3纵坐标不变

所有点的纵坐标变为原来的2倍

ysin(2x)的图像横坐标不变y2sin(2x)的图像

33

向上平移3个单位y2sin(2x)3

3

方法二：(xx2x)．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．

23

所有点的横坐标变为原来的1向左平移个单位

的图像2的图像6

ysinx纵坐标不变ysin2x

所有点的纵坐标变为原来的2倍

ysin2(x)sin(2x)的图像横坐标不变

62

y2sin(2x)的图像向上平移3各单位y2sin(2x)3

33

注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩

后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每

一个变换总是对变量x而言的，即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx”

变化多少．

【解题方法总结】

关于三角函数对称的几个重要结论；

（1）函数ysinx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为(k.0)(kZ)；

2

（2）函数ycosx的对称轴为xk(kZ)，对称中心为(k,0)(kZ)；

2

k

（3）函数ytanx函数无对称轴，对称中心为(,0)(kZ)；

2

（4）求函数yAsin(wx)b(w0)的对称轴的方法；令wxk(kZ)，得

2

k

2k

x(kZ)；对称中心的求取方法；令wxk(kZ)，得x，即对

ww

k

称中心为(，b)．

w

（5）求函数yAcos(wx)b(w0)的对称轴的方法；令wxk(kZ)得

kk

x2，即对称中心为(2,b)(kZ)

ww

必考题型全归纳

题型一：五点作图法

2π

例1．（2024·湖北·高一荆州中学校联考期中）要得到函数f(x)2sin2x的图象，可

3

以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连

线得到．

(1)由ysinx图象变换得到函数fx的图象，写出变换的步骤和函数；

π7π

(2)用“五点法”画出函数f(x)在区间,上的简图．

66

2π2π

【解析】（1）步骤1：把ysinx图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数ysin(x)

33

的图象；

2π1

步骤2：把ysin(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数

32

2π

ysin(2x)的图象；

3

2π

步骤3：最后把函数ysin(2x)的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函

3

2π

数y2sin(2x)的图象．

3

1

或者步骤1：步骤1：把ysinx图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得

2

到函数ysin2x的图象；

π

步骤2：把ysin2x图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数

3

π2π

ysin2(x)sin(2x)的图象；

33

2π

步骤3：最后把函数ysin(2x)的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函

3

2π

数y2sin(2x)的图象．

3

2π

（2）因为2x[π,3π],列表：

3

2π3π5π

2xπ2π3π

322

π5π2π11π7π

x

6123126

y02020

例2．（2024·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数

ππ

fx2sinx

36

(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数fx在0,6上的图像；

(2)求yfx，xR的单调递增区间；

(3)当x0,m时，fx的取值范围为1,2，直接写出m的取值范围.

πππxππ13π

【解析】（1）因为fx2sinx，当x0,6时，,，

363666

列表如下：

511

x0146

22

ππππ3π13π

xπ2π

366226

y120201

作图如下：

πππππ

（2）因为fx2sinx，令xkπkZ，解得x3k1kZ，

36362

ππππ

令2kπx2kπkZ，解得6k2x6k1kZ，

2362

所以yfx的递增区间为6k2,6k1kZ

m

（3）x0,m，x,，

36636

又1fx2，由（1）的图象可知，1m2，m的取值范围是1,2．

例3．（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数fxsinx2sinx.

(1)请用五点作图法画出函数fx在0,2π上的图象；（先列表，再画图）

(2)设Fxfx2m，x0,2π，当m0时，试研究函数Fx的零点的情况.

3sinx,0xπ

【解析】（1）f(x)，

sinx,πx2π

按五个关键点列表：

π3π

x0π2π

22

sinx01010

f(x)sinx2sinx03010

描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：

（2）因为F(x)f(x)2m，

所以F(x)的零点个数等价于yf(x)与y2m图象交点的个数，

设t2m，m0，则t1

当0mlog23，即1t3时，F(x)有2个零点；

当mlog23，即t3时，F(x)有1个零点；

当mlog23，即t3时，F(x)有0个零点.

【解题方法总结】

（1）在正弦函数ysinx，x[0，2]的图象中，五个关键点是：

3

(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)．

22

（2）在余弦函数ycosx，x[0，2]的图象中，五个关键点是：

3

(0，1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)．

22

题型二：函数的奇偶性

例4．（2024·全国·高三专题练习）函数fxcosxasinxb，则（）

π

A．若ab0，则fx为奇函数B．若ab，则fx为偶函数

2

π

C．若ba，则fx为偶函数D．若abπ，则fx为奇函数

2

【答案】B

【解析】fx的定义域为R，

对A：若ab0，fxcosxasinxa，若fx为奇函数，则f00，而

f0cosasina0不恒成立，故fx不是奇函数；

ππ

对B：若ab，fxcosxasinxacosxacosxa，

22

fxcosxacosxacosxacosxaf(x)，故fx为偶函数，B正

确；

ππ

对C：若ba，fxcosxasinxa2cosxa，

22

fx2cosxaf(x)，故fx不是偶函数，故C错误；

对D：若abπ，fxcosxbπsinxbcosxbsinxb，

若fx为奇函数，则f00，而f0cosbsinb0不恒成立，故fx不是奇函数；

故选：B

例5．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数fx3sin2xcos2x为偶函数，

则的一个值可以是（）

πππ7π

A．B．C．D．

3636

【答案】A

π

【解析】由fx3sin2xcos2x2sin(2x)，

6

πππ

因为fx为偶函数，可得kπ,kZ，所以kπ,kZ，

623

π

令k0，可得.

3

故选：A.

π

例6．（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）函数f(x)sin(2x)的图像向左平移

3

个单位得到函数g(x)的图像，若函数g(x)是偶函数，则tan（）

33

A．3B．3C．D．

33

【答案】C

π2π

【解析】函数f(x)sin(2x)的图像向左平移个单位，得g(x)sin2x的图

33

像，

2π

又函数g(x)是偶函数，则有kπ，(kZ)，解得k，kZ；

326

π3

所以tantankπ.

63

故选：C．

变式1．（2024·北京·高三专题练习）已知的f(x)sinx3cosx图象向左平移个单位长

度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y轴对称，则||的最小值为（）

πππ5π

A．B．C．D．

126312

【答案】B

π

【解析】由题意可得f(x)sinx3cosx2sin(x)，

3

π

故g(x)2sin(x)，由于g(x)的图象关于y轴对称，

3

πππ

则g(x)为偶函数，故kπ,kZ,即kπ,kZ，

326

π

故||的最小值为，

6

故选：B

变式2．（2024·浙江·高三期末）将函数f(x)cos(2x)的图象向右平移个单位得到一个

12

奇函数的图象，则的取值可以是（）

2

A．B．C．D．

6323

【答案】D

πππ

【解析】函数yfxcos2xcos2x为奇函数，

12126

ππ2π2

则kπkπ,kZ，取k0，则．

6233

故选：D

π

变式3．（2024·广东·高三统考学业考试）函数f(x)sin4x是（）

2

A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数

ππ

C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数

22

【答案】D

π

【解析】解析：函数f(x)sin4xcos4x，

2

2ππ

故该函数为偶函数，且它的最小正周期为.

42

故选：D.

x4tanx2

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)的最大值为M，最小值为

x42

m，则Mm的值为（）

A．0B．2C．4D．6

【答案】B

x4tanx2tanxtanx

【解析】解:f(x)1，令g(x)，xk(kZ)，于是

x42x42x422

tan(x)tanx

g(x)g(x)，所以g(x)是奇函数，从而g(x)的最大值G与最小值g

(x)42x42

的和为0，而Mm1g1G2.

故选：B

变式5．（2024·山东·高三专题练习）设函数fxax3btanxc3x2x21，如果f210，

则f2的值是（）

A．-10B．8C．-8D．-7

【答案】B

【解析】令gxax3btanxc3x，由奇函数定义可知gxgx，化简计算可求

得结果.令gxax3btanxc3x,则gxgx，

所以fxgx2x21，由f210可知，f2g2241=10，即g2=1，

f2=g29g29=198，

故选：B.

【解题方法总结】

由ysinx是奇函数和ycosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：

（1）若yAsin(x)为奇函数，则k(kZ)；

（2）若yAsin(x)为偶函数，则k(kZ)；

2

（3）若yAcos(x)为奇函数，则k(kZ)；

2

（4）若yAcos(x)为偶函数，则k(kZ)；

k

若yAtan(x)为奇函数，则(kZ)，该函数不可能为偶函数．

2

题型三：函数的周期性

例7．（2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）已知x1，x2，是函数

fxtanx0,0的两个零点，且x1x2的最小值为，若将函数fx

3

的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（）

12

37

A．B．C．D．

4488

【答案】A

ππ

【解析】由题意知函数fx的最小正周期T，则，得3，fxtan3x.

3ω3

将函数fx的图象向左平移个单位长度，得到ytan3xtan3x

12124

的图象，

kk

要使该图象关于原点对称，则，kZ，所以，kZ，

4242

3

又0，所以当k1时，取得最大值，最大值为．

4

故选：A

例8．（2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数f(x)cos2x的图象向右平移

π

0个单位长度后得到函数g(x)的图象，若对满足fxgx2的x1,x2，总有

212

π

x1x2的最小值等于，则（）

6

πππ5π

A．B．C．D．

126312

【答案】C

【解析】函数f(x)cos2x的周期为π，

π

将函数的图象向右平移0个单位长度后得到函数g(x)的图象，

2

可得g(x)cos(2x2)，

π

由fxgx2可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且xx，

1212min6

ππ

不妨设x0，则x，即g(x)在x时取得最小值，

12626

πππ

由于cos221，此时kπ,kZ，不合题意；cos221，此

636

2

时πkπ,kZ，

3

π

当k1时，满足题意.

3

故选：C.

例9．（2024·河北·高三校联考阶段练习）函数f(x)|sinx||cosx|的最小正周期为（）

3πππ

A．πB．C．D．

224

【答案】C

1cos4x

【解析】f(x)|sinx||cosx|(|sinx||cosx|)21sin2x1，

2

2ππ

所以f(x)的最小正周期T．

42

故选：C．

变式6．（2024·高三课时练习）函数f(x)tanx（0）的图像的相邻两支截直线y2所

ππ

得线段长为，则f的值是______.

26

【答案】3

π

【解析】因为函数f(x)tanx（0）的图像的相邻两支截直线y2所得线段长为，

2

π

所以该函数的最小正周期为，

2

ππ

因为0，所以2，即f(x)tan2x，

2

πππ

因此ftan2tan3，

663

故答案为：3

变式7．（2024·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为

的奇函数是（）

A．ysinxB．ysinxcosx

4

22

C．ycosxcosxD．ysin2x

2

【答案】B

【解析】对于A：ysinx最小正周期为2，故A错误；

4

12

对于B：ysinxcosxsin2x，最小正周期T，且为奇函数，故B正确；

22

对于C：ycos2xsin2xcos2x，最小正周期为的偶函数，故C错误；

对于D：yfxsin2x，则fxsin2xsin2xfx，

故ysin2x为偶函数，故D错误.

故选：B

变式8．（2024·全国·高三专题练习）函数f(x)2cosx对于xR，都有

f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值为（）.

A．B．C．D．2

42

【答案】C

【解析】∵f(x1)f(x)f(x2)恒成立，

∴f(x1)是函数f(x)的最小值，f(x2)是函数f(x)的最大值，

xxT2

即1、2是函数的两条对称轴，则|x1x2|的最小值为.

22

故选：C.

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)cosx(sinx3cosx)(0)，如

果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f(x0)f(x)f(x02016)成立，则的最小

值为

1111

A．B．C．D．

4032201640322016

【答案】C

3

【解析】因为f(x)cosx(sinx3cosx)(0)sin2x，设fx的最

32

T11

小正周期为T，则2016,，所以的最小值为，故选C.

240324032

考点：三角函数的周期和最值．

π

变式10．（2024·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）设函数f(x)cosx在[π,π]

6

的图象大致如图所示，则f(x)的最小正周期为（）

4π10π

A．B．

39

410

C．D．

39

【答案】A

44

【解析】由图象可知，f0，kkZ，

9962

39k

解得kZ.

4

设函数的最小正周期为T，易知T22T，

24

212

324

当且仅当k1时符合题意，此时,T

23

故选：A.

变式11．（2024·全国·高三对口高考）函数f(x)|sinxcosx|的最小正周期是__________.

【答案】π

π

【解析】因为f(x)sinxcosx2sinx，

4

π2π

因为y2sinx的最小正周期为T2π，

41

π

所以函数f(x)2sinx最小正周期为π.

4

故答案为：π.

变式12．（2024·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数

π

f(x)(cosxsinx)cosx的最小正周期是______．

2

【答案】π

【解析】

π11cos2x2π1

f(x)(cosxsinx)cosx(cosxsinx)sinxsin2xsin2x

222242

2π

所以最小正周期为=π，

2

故答案为：π

变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)sinπx1.则

135720212023

ffffff__________.

222222

【答案】1012

135720212023

【解析】由条件，可得ff2，f2，…ff2，共506

222222

组，

135720212023

所以ffffff1012.

222222

故答案为：1012.

π

变式14．（2024·四川遂宁·统考三模）已知函数fxsinxcosx0，

6

fx0，，且的最小值为，则

1fx23x1x2π=_____

1

【答案】/0.5

2

【解析】因为

π3133

fxsinxcosxsinxcosxcosxsinxcosx

62222

π

3sin(x)，另外fx10，fx3，且xx的最小值为π，

3212

2k14π

所以，函数f(x)的最小正周期T满足Tπ(kN)，则T(kN)，

42k1

2π2k11

所以，=(kN)，故当k0时，取最小值.

T22

故答案为：1

2

变式15．（2024·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知函数fxsin2x23cos2x，则函

数fx的最小正周期是__________．

【答案】

22

【解析】fxsin2x23cosxsin2x3cos2x32sin2x3，故T，

32

故答案为：．

变式16．（2024·上海·上海中学校考模拟预测）已知函数f(x)sinxsin(x)(0)的

3

最小正周期是，则______.

2

【答案】4

π13π

【解析】fxsinxsinxsinxsinxcosxsinx，

3223

2ππ

所以最小正周期是T，所以ω=4.

2

故答案为：4

变式17．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）设函数

ππ

fx