2025年高考数学必刷题分类：第49讲、直线、平面垂直的判定与性质（学生版）

第49讲直线、平面垂直的判定与性质

知识梳理

知识点1：直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．

知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

一条直线

与一个平面内

a,b

的两条相交直

al

判断定理l

线都垂直，则bl

abP

该直线与此平

面垂直

两个平面

垂直，则在一

_b

a

面⊥面个平面内垂直b

b

_a

线⊥面⇒于交线的直线ba

与另一个平面

垂直

一条直线_a

与两平行平面

平行与垂中的一个平面//

a

直的关系垂直，则该直a

线与另一个平

面也垂直

两平行直

_a_b

线中有一条与

平行与垂a//b

平面垂直，则b

直的关系a

另一条直线与

该平面也垂直

知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

a//

垂直于同一

_a_baa//b

性质定理平面的两条直线

b

平行

文字语

图形语言符号语言

言

垂直于

_a

垂直与平同一直线的a

//

行的关系两个平面平a

行

如果一

条直线垂直

线垂直于于一个平面，

l,ala

面的性质则该直线与

平面内所有

直线都垂直

知识点4：平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两

条交线互相垂直．（如图所示，若CD,CD，且AB,BE,ABBE，

则）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过b

b

另一个平面的垂_b

线，则这两个平

面垂直

知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，

则一个平面内垂直a

_bb

b

于交线的直线与另

ba

_a

一个平面垂直

【解题方法总结】

判定定理判定定理

线线性质定理线面性质定理面面

（1）证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质(a,bab)；

⑦平行线垂直直线的传递性（ac,a//bbc）．

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定（ab,ac,c,b,bcPa）；

③面面垂直的性质（,b,ab,aa）；

平行线垂直平面的传递性（a,b//ab）；

⑤面面垂直的性质（,,ll）．

（3）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a,a）．

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系

中处于核心位置．

线∥面

判定判定

性质判定性质

线∥线面∥面

性质

判定判定

线⊥线线⊥面面⊥面

性质性质

必考题型全归纳

题型一：垂直性质的简单判定

例1．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）设m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平

面，则下列说法正确的是（）

A．若mn,n∥，则m

B．若m∥,，则m

C．若mn,n,，则m

D．若m,n,n，则m

例2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同

的平面，则下列四个命题正确的是（）

A．若l//，且m//，则lmB．若，m//，n，则m//n

C．若m//l，且m，则lD．若mn，m，n//，则

例3．（2024·陕西咸阳·统考二模）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的

平面，有以下四个命题：

①若m∥n，n，则m∥，②若m，m，则，

③若m，m，则∥，④若，m，n，则mn

其中正确的命题是（）

A．②③B．②④C．①③D．①②

变式1．（2024·河南·校联考模拟预测）已知,是两个不同的平面，m,n是两条不同的

直线，则下列命题中正确的是（）

A．若,m,mn，则nB．若∥,m,n，则m∥n

C．若mn,m,n，则D．若m,m∥n,n∥，则

变式2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形ABCD中，AB2,BAD60,

对角线AC,BD交于点O，将△ABD沿BD折到ABD位置，使平面ABD平面BCD.以下

命题:

①BDAC；

②平面AOC平面BCD；

③平面ABC平面ACD；

④三棱锥ABCD体积为1.

其中正确命题序号为（）

A．①②③B．②③C．③④D．①②④

变式3．（2024·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线，，

是不同的平面，则下列条件中能推出的是（）

A．l，m，且lm

B．l，m，n，且lm，ln

C．m，n，m//n，且lm

D．l，l//m，且m

【解题方法总结】

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．

题型二：证明线线垂直

-

例4．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，

AB1B1C．

(1)证明：ACB1B；

例5．（2024·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA

平面ABCD,PAAD2AB，点M是PD的中点.

(1)证明：AMPC；

-

例6．（2024·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱ABCA1B1C1中，

ABAC2,A1AA1BA1C2,BAC90,E是BC的中点，F是线段A1C1上一点.

(1)求证：ABEF；

变式4．（2024·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半

1

圆组成的平面图形，AD∥BC，ADAB，ADABBC1．E是半圆上的一个动点，

2

当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面PCD平面ABCD，此时的点E到达

点P的位置，如图2．

(1)求证：BDPD；

-

变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，

A1AA1BA1C22，BAC90，E是BC的中点，F是线段A1C1上一点.

(1)求证：ABEF；

(2)设P是棱AA1上的动点（不包括边界），当PBC的面积最小时，求棱锥PABC的体积.

变式6．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形ABCD中，AB//DC，DAB90，CD2，

ACAB4，如图1.沿对角线AC将△DAC折起，使点D到达点P的位置，E为BC的中

点，如图2.

(1)证明：PEAC.

【解题方法总结】

三线合一(有等腰三角形就必用)

先看两直线位置关系共面勾股定理（题目中线段数据多）

证明

l1l2

其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）

异面考虑用线面垂直推导异面垂直找重垂线在重垂线对应平面内找垂直

题型三：证明线面垂直

(1)求证：AB平面ADD1A1；

(2)求四棱锥CBDD1B1的体积.

例7．（2024·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥POABC中，已知

πππ

OAOP1,CP2,AB4,CPO,ABC，AOC.

362

(1)证明：CO平面AOP；

例8．（2024·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥CABD中，CD平面ABD，

E为AB的中点，ABBCAC2，CG2EG.

(1)证明：AB平面CED；

例9．（2024·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形ABCDE中，四边

形ABCE为正方形，CDDE，CDDE，如图2，将ABE沿BE折起，使得A至A1处，

且A1BA1D．

(1)证明：DE平面A1BE；

变式7．（2024·重庆巴南·统考一模）如图所示，在三棱锥PABC中，已知PA平面ABC，

平面PAB平面PBC．

(1)证明：BC平面PAB；

变式8．（2024·广东广州·统考三模）如图，在几何体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面

与平面ABCD互相垂直，且ABBCBF1，ADCD3，EF2．

(1)求证：BC平面CDE；

-

变式9．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱ABCA1B1C1

中，平面ACC1A1平面ABC，ACBCCC12,D是AA1的中点，且

ACB90,DAC60.

(1)证明：AA1平面CBD；

【解题方法总结】

垂直关系中线面垂直是重点．

①垂直两条相交线；

②垂直里面作垂线；

线垂面哪里找

③直（正）棱柱的侧棱是垂线；

④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.

①垂直面里所有线（证线线垂直）；

线垂面有何用

②过垂线作垂面（证面面垂直）.

证明线面垂直常用两种方法．

方法一：线面垂直的判定．

线线垂直线面垂直，符号表示为：ab,ac,b,c,bcP，那么a．

方法二：面面垂直的性质．

面面垂直线面垂直，符号表示为：,b,a,ab，那么a．

题型四：证明面面垂直

-

例10．（2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，

侧面BB1C1C为菱形，CBB160，ABBC2，ACAB12.

(1)证明：平面ACB1平面BB1C1C；

例11．（2024·贵州贵阳·校联考三模）如图所示，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为

1

直角梯形，AB//CD，ABCD，CDCE，ADCEDC45，AD2，BE3.

2

(1)求证：平面ABE平面ABCD；

例12．（2024·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形ABCD与ADEF，

2DE2BCADABAF2，ADAF，ED//AF，AD⊥AB，BC//AD，G是线段BF

上一点.

(1)平面ABCD⊥平面ABF

变式10．（2024·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体PABCD中，AD平面PAB，

点C在平面PAB的投影在线段PB上BCPC，BP6，ABAP23，DC2，CD∥

平面PAB.

(1)证明：平面PCD平面PAD.

-

变式11．（2024·河北张家口·统考三模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为

菱形，CBB160,ABBC2,ACAB12.

(1)证明：平面ACB1平面BB1C1C；

变式12．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在长方体

ABCDA1B1C1D1中，AB2BC2,AA14,P为棱AB的中点．

(1)证明：平面PCD1平面PDD1；

(2)画出平面D1PC与平面A1ADD1的交线，并说明理由；

(3)求过D1,P,C三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．

变式13．（2024·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，P为圆锥的顶点，A，B为底

2π

面圆O上两点，AOB，E为PB中点，点F在线段AB上，且AF2FB.

3

(1)证明：平面AOP平面OEF；

变式14．（2024·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中，

ACD与△ACB均是等边三角形，直线ED平面ACD，直线EB平面ABC，DEBE.

(1)求证：平面ABC平面ADC；

【解题方法总结】

主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有

的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．

题型五：垂直关系的综合应用

-

例13．（2024·贵州铜仁·统考二模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，

ABAC1．

(1)试在平面A1BC内确定一点H，使得AH平面A1BC，并写出证明过程；

-

例14．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1（侧棱垂直于底面，

且底面三角形ABC是等边三角形）中，BCCC1，M、N、P分别是CC1，AB，BB1的

中点．

(1)求证：平面NPC//平面AB1M；

(2)在线段BB1上是否存在一点Q使AB1平面A1MQ？若存在，确定点Q的位置；若不存在，

也请说明理由．

例15．（2024·天津·耀华中学校考二模）如图，在三棱锥