2025年高考数学必刷题分类：第70讲、弦长问题（学生版）

第70讲弦长问题

知识梳理

1、弦长公式的两种形式

①若A，B是直线ykxm与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二

次方程px2qxr0，则PQ1k2xx1k2．

12|p|

②若A，B是直线xmyn与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二

次方程py2qyr0，则AB1m2yy1m2．

AB|p|

必考题型全归纳

题型一：弦长问题

例1．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线l与圆O:x2y21相切，

x2y26

且交椭圆C:1于Ax1,y1,Bx2,y2两点，若y1y2，则|AB|．

437

x2π

例2．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆y21，过左焦点F作倾斜角为的直线交

96

椭圆于A、B两点，则弦AB的长为．

x2y2

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1(ab0)，C的上顶点为A，两

a2b2

1

个焦点为F，F，离心率为．过F且垂直于AF的直线与C交于，两点，V的

12212DEADE

周长是13，则DE．

x2

变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：y21，若直线l的倾斜角为60°，

3

3

且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若MN，则点P的坐标

2

为.

22

变式2．（2024·贵州·统考模拟预测）已知双曲线C:xmy1m0的左、右焦点分别为F1，

F2，点A，B分别在双曲线C的左支与右支上，且点A，B与点F2共线，若

AB:AF1:BF12:2:3，则AB.

变式3．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物

线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物

线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y24x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点

A5,4射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则

BC．

变式4．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知抛物线y28x的焦点为F，

准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若AFBCFB，则

|AF|．

变式5．（2024·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为

2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.

变式6．（2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知抛物线

1

y22px(p0)的准线方程是x.

2

(1)求抛物线的方程；

(2)设直线yk(x2)(k0)与抛物线相交于M，N两点，若MN210，求实数k的值.

题型二：长度和问题

x2y2

例4．（2024·宁夏银川·银川一中校考一模）如图所示，由半椭圆C:1y0和两

14b2

2222

个半圆C2:x1y1y0、C3:x1y1y0组成曲线C:Fx,y0，其中

点A1,A2依次为C1的左、右顶点，点B为C1的下顶点，点F1,F2依次为C1的左、右焦点．若

点F1,F2分别为曲线C2,C3的圆心．

(1)求C1的方程；

(2)若过点F1,F2作两条平行线l1,l2分别与C1,C2和C1,C3交与M,N和P,Q，求MNPQ的最

小值．

例5．（2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）定义：一般地，当0且1时，我们

x2y2x2y2

把方程ab0表示的椭圆C称为椭圆1ab0的相似椭圆．已

a2b2a2b2

2

x2

知椭圆C:y1，椭圆C（0且1）是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆C上异

4

于其左、右顶点M,N的任意一点．

，，

(1)当2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线l1l2恰好相交于点P，直线l1l2的

斜率分别为k1,k2，求k1k2的值；

(2)当e2（e为椭圆C的离心率）时，设直线PM与椭圆C交于点A,B，直线PN与椭圆C

交于点D,E，求ABDE的值．

x2y2

例6．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆C:1(ab0)的左右焦点分

1a2b2

△

别为F1，F2，点A为C1上的一个动点(非左右顶点)，连接AF1并延长交C1于点B，且ABF2

△

的周长为8，AF1F2面积的最大值为2．

(1)求椭圆C1的标准方程；

(2)若椭圆C2的长轴端点为F1,F2，且C2与C1的离心率相等，P为AB与C2异于F1的交点，

直线PF2交C1于M,N两点，证明：|AB||MN|为定值．

22

xy1

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆1ab0的离心率为，且点

a2b22

3

M1,在椭圆上.

2

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆右焦点F2作两条互相垂直的弦AB与CD，求ABCD的取值范围.

题型三：长度差问题

例7．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知抛物线C:y22px经过点2,26，直线

l1:ykxm(km0)与C交于A，B两点（异于坐标原点O）．

(1)若OAOB0，证明：直线l1过定点．

(2)已知k2，直线l2在直线l1的右侧，l1//l2，l1与l2之间的距离d5，l2交C于M，N两

点，试问是否存在m，使得|MN||AB|10？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

2

例8．（2024·云南保山·高三统考阶段练习）已知抛物线C1：y4x的焦点为椭圆C2：

x2y25

1(ab0)的右焦点F，点P为抛物线C1与椭圆C2在第一象限的交点，且PF.

a2b23

(1)求椭圆C2的方程；

(2)若直线l过点F，交抛物线C1于A，C两点，交椭圆C2于B，D两点（A，B，C，D依次

30

排序），且ACBD，求直线l的方程.

11

题型四：长度商问题

x2y2

例9．（2024·重庆·校联考模拟预测）已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率是5，点F

a2b2

是双曲线C的一个焦点，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.

(1)求双曲线C的标准方程.

1

(2)设点M在直线x上，过点M作两条直线l,l，直线l与双曲线C交于A,B两点，直线

4121

MAME

l与双曲线C交于D,E两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补，证明：.

2MDMB

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆A：（x2）2y29，圆B：（x2）2y21，圆

C与圆A、圆B外切，

(1)求圆心C的轨迹方程E;

(2)若过点B且斜率k的直线与E交与M、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴与点P，证

MN

明的值是定值.

PB

x2y2

例11．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C:1a0,b0的右焦点为

a2b2

F3,0，过点F与x轴垂直的直线l1与双曲线C交于M，N两点，且MN4.

(1)求C的方程；

(2)过点A0,1的直线l2与双曲线C的左､右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条

渐近线分别交于G，H两点，若GHDE，求实数的取值范围.

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为y3x，右焦点F(c,0)

到渐近线的距离为3.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：

|AB|

为定值.

|FD|

x2y2

变式9．（2024·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）已知椭圆C:1(ab0)的

a2b2

左､右焦点分别为F1,F2，且F1F24.过右焦点F2的直线l与C交于A,B两点，ABF1的周长

为82.

(1)求椭圆C的标准方程；

AB

(2)过原点O作一条垂直于l的直线l,l交C于P,Q两点，求的取值范围.

11PQ

x2y2

变式10．（2024·陕西·统考一模）在椭圆C：1ab0，c2，过点0,b与a,0

a2b2

3

的直线的斜率为．

3

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线x3上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，

MN

N两点，当取最大值时，求直线MN的方程．

PF

变式11．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆

x2y23

C:1(ab0)）中，c2，过点0,b与a,0的直线的斜率为.

a2b23

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线x3上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M,N

|MN|

两点，求的最大值.

|PF|

变式12．（2024·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）平面直角坐标系

xOy中，P为动点，PA与直线x3y垂直，垂足A位于第一象限，PB与直线x3y垂

3

直，垂足B位于第四象限，APB90且APBP，记动点P的轨迹为C.

4

(1)求C的方程；

(2)已知点M2,0，N2,0，设点T与点P关于原点O对称，MTN的角平分线为直线l，

PH

过点P作l的垂线，垂足为H，交C于另一点Q，求的最大值.

QH

变式13．（2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知F1，F2为椭圆

x2y2

C:1ab0的两个焦点．且F1F24，P为椭圆上一点，PF1PF226．

a2b2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点，若AB的中点为M,O为坐标原点，直线OM交直

AB

线x3于点N．求的最大值．

NF2

变式14．（2024·海南海口·高三统考期中）设O为坐标原点，点M，N在抛物线C:x24y上，

且OMON4.

(1)证明：直线MN过定点；

MN

(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求2的取值范围.

OP

变式15．（2024·四川绵阳·统考三模）过点A2,0的直线l与拋物线C:y22pxp0交于

π

点M，N（M在第一象限），且当直线l的倾斜角为时，MN32.

4

(1)求抛物线的方程；

QN

(2)若B3,0，延长MB交抛物线C于点P，延长PN交x轴于点Q，求的值.

QP

2

变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C：x2pyp0上的点2,y0到其焦

点F的距离为2．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知点D在直线l：y=3上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线

AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小

AB

时，求的值．

MN

变式17．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线E:y22pxp0的焦点为F，

13

点F关于直线yx的对称点恰好在y轴上．

24

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)直线l:ykx2k6与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交

AB

于点C，若D6,0，求的最大值．

CD

变式18．（2024·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆与抛物线

2

y2pxp0有一个相同的焦点F21,0，椭圆的长轴长为2p．

(1)求椭圆与抛物线的方程；

(2)P为抛物线上一点，F1为椭圆的左焦点，直线PF1交椭圆于A，B两点，直线PF2与抛物

AB

线交于P，Q两点，求的最大值．

PQ

题型五：长度积问题

例12．（2024·山东·高三校联考阶段练习）已知抛物线C:x22py(p0)，F为C的焦点，

过点F的直线l与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T，当l与y轴垂直

时，|HI|4．

(1)求C的方程；

(2)证明：|FI||FH||FT|2．

例13．（2024·浙江·校考模拟预测）已知抛物线：y22pxp0，过其焦点F的直线与抛

x2

物线交于A、B两点，与椭圆y21a1交于C、D两点，其中OAOB3．

a2

(1)求抛物线方程；

(2)是否存在直线AB，使得CD是FA与FB的等比中项，若存在，请求出AB的方程及a；

若不存在，请说明理由．

22

xy1

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1(ab0)的离心率为，且直线

1a2b22

xy

l:1被椭圆C1截得的弦长为7．

1ab

(1)求椭圆C1的方程；

(2)以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线l2:y4上的动点M作圆C2的两条切线，设切点

为A,B，若直线AB与椭圆C1交于不同的两点C，D，求|CD||AB|的取值范围．

x2y2

变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1(a0)的左、右焦点分别为F1，

a28

10

F，P为C上一点，且当PFx轴时，PF.

2123

(1)求C的方程；

(2)设C在点P处的切线交x轴于点Q，证明：PF1QF2PF2QF1.

22

xy1

变式20．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C：1ab0的离心率为，过点P1,0

a2b22

2b2

作x轴的垂线，与C交于A,B两点，且AB．

a

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l1与椭圆C交于D，E两点，直线l2与椭圆C交于M，N两点，且l1l2，l1，l2

交于点P，求DEMN的取值范围．

x2y2

变式21．（2024·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆C:1(ab0)经过点

a2b2

222

，，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．

PF1F2OPF1PF24

33

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点，以MN为直径的圆过点A，

求AMAN的最大值．

x2y2

变式22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆C:1ab0的焦距为2，

a2b2

3

且经过点P1,．

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆右焦点F且斜率为kk0的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否

存在异于点F的定点T，使AFBTBFAT恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存

在，说明理由．

题型六：长度的范围与最值问题

2

例15．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C1:y4x的焦点F也是椭圆

x2y246

C:1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦长为．

2a2b23

(1)求椭圆C2的方程；

(2)过椭圆C2的右焦点F作斜率为k(k0)的直线l与椭圆C2相交于A，B两点，线段AB的

|DP|

中点为P，过点P作垂直于AB的直线交x轴于点D，试求的取值范围．

|AB|

x2y2

例16．（2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知椭圆C:1(ab0)的两个焦

1a2b2

点F1，F2，动点P在椭圆上，且使得F1PF290的点P恰有两个，动点P到焦点F1的距离

的最大值为22．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x22上的动点T作圆C2的两条切线，

设切点分别为A，B，若直线AB与椭圆C1交于不同的两点C，D，求弦|CD|长的取值范

围．

x2y2

例17．（2024·陕西咸阳·校考三模）已知双曲线C:1a0,b0的离心率为2，

a2b2

过双曲线C的右焦点F且垂直于x轴的直线l与双曲线交于A,B两点，且|AB|2.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)若直线m：ykx1与双曲线C的左、右两支分别交于P,Q两点，与双曲线的渐近线分

|PQ|

别交于M,N两点，求的取值范围.

|MN|

x2y2

变式23．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设椭圆E:1ab0

a2b2

2

x2

的左右焦点F1，F2分别是双曲线y1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线

4

210

的距离为.

5

(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且

OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围，若不存在，说明理由.

x2y2

变式24．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知椭圆C:1(ab0)

a2b2

2

的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为，过左焦点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点（A,B

2

△

不在x轴上），ABF2的周长为82.

(1)求椭圆C的标准方程；

|OP|2

(2)若点P在椭圆C上，且OPABO为坐标原点），求的取值范围.

AB

x2y22

变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E:1ab0的离心率为，焦

a2b22

距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A、B两点，与直线x2相交于点M．

(1)若M2,1，求证：MABFMBAF；

(2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C、D两点，与直线x2相交于点N．求

1111

的最大值．

MAMBNCND

x2y2

变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆:1的两个焦点为F1，F2，

184

且F1，F2的双曲线2的顶点，双曲线2的一条渐近线方程为yx，设P为该双曲线2上

异于顶点的任意一点，直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，且直线PF1和PF2与椭圆1的

交点分别为A，B和C，D．

(1)求双曲线2的标准方程；

(2)证明：直线PF1，PF2的斜率之积k1·k2为定值；

AB

(3)求的取值范围．

CD

变式27．（2024·江苏南京·校考二模）在平面直角坐标系中，已知点P到点F(2,0)的距离与

2

到直线x22的距离之比为．

2

(1)求点P的轨迹C的方程；

1

(2)过点(0,1)且斜率为kk2的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB

2

|AB|

的垂直平分线与x轴交于点N，求的取值范围．

|MN|

x2

变式28．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆C：y21的左、右顶点是双曲线

12

22

xy3：

C：（1a0，b0）的顶点，C1的焦点到C2的渐近线的距离为.直线lykxt

2a2b23

与C2相交于A，B两点，OAOB3.

(1)求证：8k2t21

(2)若直线l与C1相交于P，Q两点，求PQ的取值范围.

变式29．（2024·广东深圳·高三校联考期中）已知点Mx,y在运动过程中，总满足关系式：

22

x3y2x3y24.

(1)点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程；

(2)设圆O:x2y21，直线l:ykxm与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A,B，当

1

OAOB且,1时，求弦长AB的取值范围.

2

x2y2

变式30．（2024·四川遂宁·统考三模）已知椭圆C:1ab0的左、右顶点为A1,A2，

a2b2

2282

点G是椭圆C的上顶点，直线A2G与圆xy相切，且椭圆C的离心率为

32

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点Q在椭圆C上，过左焦点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点（A,B不在x轴上）且

22AB

OQAB0,(O为坐标原点)，求2的取值范围．

OQ

x2y2

变式31．（2024·江西宜春·校联考模拟预测）已知椭圆C:1ab0过点0,3，

a2b2

1

且离心率为.

2

(1)求椭圆C的方程；

PMPN

(2)过点P1,1且互相垂直的直线l,l分别交椭圆C于M,N两点及S,T两点.求

12PSPT

的取值范围.

变式32．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，动

2

点M(x,y)到定点F(2,0)的距离与动点M(x,y)到定直线l0:x22的距离的比值为，记

2

动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的标准方程.

(2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且OAOB（O为坐标原点），求弦长|AB|的取

值范围.

x2y23

变式．（湖北校联考模拟预测）已知椭圆过点A1,

332024··E:221(ab0).

ab2

1

(1)若椭圆E的离心率e0,，求b的取值范围；

2

3

(2)已知椭圆E的离心率e，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与

2

圆x2y2b2相切，求线段MN的最大值.

x2y2

变式34．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知椭圆E:1ab0

a2b2

的左、右焦点分别为F11,0、F21,0，点P在椭圆E上，PF2F1F2，且PF13PF2．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线l:xmy1mR与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2y22相交于C，D两点，

2

求ABCD的取值范围．

x2y2

变式35．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：1（ab0）的短轴长为4，

a2b2

522

离心率为．点P为圆M：xy16上任意一点，O为坐标原点．

3

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)记线段OP与椭圆C交点为Q，求PQ的取值范围．

题型七：长度的定值问题

2

x2

例18．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）如图，已知椭圆C:y1，C1的

13

左右焦点F1,F2是双曲线C2的左右顶点，C2的离心率为2．点E在C2上（异于F1,F2两点），

过点E和F1,F2分别作直线交椭圆C1于F,G和M,N点．

(1)求证：kFGkMN为定值；

11

(2)求证：为定值．

FGMN

x2

例19．（2024·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）椭圆:y21．

4

(1)点C是椭圆上任意一点，求点C与点D0,2两点之间距离d的最大值和最小值；

(2)A和B分别为椭圆的右顶点和上顶点．P为椭圆上第三象限点．直线PA与y轴交于

22

PMPN

点，直线与x轴交于点．求．

MPBN

MANB

例20．（2024·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知椭圆C的右焦点与抛物

1

线E：y28x的焦点F重合，且椭圆C的离心率为．

2

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数，

2

使得为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由．

MNPQ

变式36．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线E：y22pxp0的焦点关于其准线

x2y2

的对称点为P3,0，椭圆C：1ab0的左，右焦点分别是F1，F2，且与E

a2b2

有一个共同的焦点，线段PF1的中点是C的左顶点．过点F1的直线l交C于A，B两点，且

线段AB的垂直平分线交x轴于点M．

(1)求C的方程；

F1M1

(2)证明：．

AB4

x2y2

变式37．（2024·天津红桥·统考一模）设椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为

a2b2

1

F、F，离心率e，长轴为4，且过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于M、N两点．

1222

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若OMON2，其中O为坐标原点，求直线l的斜率；

|AB|2

(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN//AB，判断是否为定值？若是定值，请求

|MN|

出，若不是定值，请说明理由．

25

变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx

5

x2y26

与椭圆C:1(ab0)交于P,Q两点（P在x轴上方），且PQa，设点P在x轴

a2b25

25

上的射影为点N，VPQN的面积为，抛物线E:y22px(p0)的焦点与椭圆C的焦点

5

重合，斜率为k的直线l过抛物线E的焦点与椭圆C交于A,B两，点，与抛物线E交于C,D

两点.

(1)求椭圆C及抛物线E的标准方程；

5

(2)是否存在常数，使为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

|AB||CD|

x2y2

变式39．（2024·河南·校联考模拟预测）已知双曲线C:1a0的左、右焦点分别

a2a2

为F1，F2.过F2的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条

渐近线的距离之和为22.

(1)求C的方程；

MF1NF1

(2)证明：为定值.

MF2NF2

2

变式40．（2024·安徽淮北·统考二模）已知抛物线C1:y2px(p0)的焦点和椭圆

x2y2

C2:1(ab0)的右焦点F重合，过点F任意作直线l分别交抛物线C1于M,N，

a2b2

交椭圆C2于P,Q.当l垂直于x轴时MN4，PQ3.

(1)求C1和C2的方程；

1m

(2)是否存在常数m，使为定值？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

MNPQ

x2y2

变式41．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1(ab0)的左右焦点分别为

a2b2

F1,F2,F1F22，连接椭圆C的四个顶点所成的四边形的周长为47.

(1)求椭圆C的方程和离心率；

(2)已知过点F1的直线l1与椭圆交于P,Q两点，过点F2且与直线l1垂直的直线l2与椭圆交于

PQMN

M,N两点，求的值.

PQMN

变式42．（2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）已知椭圆C：

22

xy1

1ab0的长轴长为4，且离心率为.

a2b22

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点F1,0且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x

AB

轴于点D.求证：为定值.

DF

x2y2

变式43．（2024·天津河北·高三统考期末）已知椭圆C:1点B0,2，且离心率

a2b2

6

e，F为椭圆C的左焦点.

3

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点T3,m，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，TFl，连接OT与PQ交于点

H.

①若m2，求PQ；

PH

②求的值.

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