2025年高考数学必刷题分类：第36讲、平面向量的数量积及运算（教师版）

第36讲平面向量的数量积及运算

知识梳理

知识点一．平面向量的数量积a

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记

作ab，即ab=|a||b|cos，规定：零向量与任一向量的数量积为0．

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|a|cos叫做向量a在b方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；

当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．

②ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos的乘积．

③设a，b是两个非零向量，它们的夹角是,e与b是方向相同的单位向量，

，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，

ABa,CDbABABCDA1,B1

得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向

A1B1abA1B1ab

量．记为|a|cose．

知识点二．数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数，则：

①abba；

②(a)b=(ab)a(b)；

③(ab)c=acbc．

知识点三．数量积的性质

设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则

①eaae|a|cos．②abab0．

③当a与b同向时，ab|a||b|；当a与b反向时，ab|a||b|．

特别地，aa|a|2或|a|aa．

ab

④cos(|a||b|0)．⑤|ab|≤|a||b|．

|a||b|

知识点四．数量积的坐标运算

，，

已知非零向量a(x1y1)，b(x2y2)，为向量a、b的夹角．

结论几何表示坐标表示

模|a|aa|a|x2y2

数量积ab|a||b|cosabx1x2y1y2

abx1x2y1y2

cos

夹角cos2222

|a||b|x1y1x2y2

ab的充要

ab0x1x2y1y20

条件

a∥b的充要

a（bb0）x1y2x2y10

条件

|ab|与|a||b||ab||a||b|（当且仅当

≤2222

|x1x2y1y2|x1y1x2y2

的关系a∥b时等号成立）

知识点五、向量中的易错点

（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|ab||a||b|．

（2）当a0时，由ab0不能推出b一定是零向量，这是因为任一与a垂直的非零

向量b都有ab0．

当a0时，且abac时，也不能推出一定有bc，当b是与a垂直的非零向量，c

是另一与a垂直的非零向量时，有abac0，但bc．

（3）数量积不满足结合律，即(ab)c(bc)a，这是因为(ab)c是一个与c共线的向

量，而(bc)a是一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)c不一定等于(bc)a，

即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．

（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当ab0且ab(0)（或ab0，

且ab(0))

【解题方法总结】

（1）b在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．

（2）数量积的运算要注意a=0时，ab0，但ab0时不能得到a=0或b=0，

因为ab时，也有ab0．

ab

（3）根据平面向量数量积的性质：|a|aa，cos，abab0等，

|a||b|

所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．

（4）若a、b、c是实数，则abacbc（a0）；但对于向量，就没有这样的性

质，即若向量a、b、c满足abac（a0），则不一定有b=c，即等式两边不能同时

约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．

（5）数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c

共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与

a(bc)不一定相等．

必考题型全归纳

题型一：平面向量的数量积运算

例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量a，b满足

π

|a2，b|3，且a与b的夹角为，则ab2ab（）

6

A．6B．8C．10D．14

【答案】B

【解析】`

π

由|a2，b|3，且a与b的夹角为，

6

rrrrr2rrr2

所以ab2ab2aabb

r2rrπr2

2aabcosb

6

32

2222338.

2

故选：B.

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知a6，b3，向量a在b方向上投影向量是4e，

则ab为（）

A．12B．8C．-8D．2

【答案】A

【解析】a在b方向上投影向量为acose4e，

acos4，ababcos4312.

故选：A

1

例3．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，ABAD，

2

G是菱形ABCD内一点，若GAGBGC0，则AGAB（）

13

A．B．1C．D．2

22

【答案】A

1

【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，ABAD，

2

1

所以ABADABADcosBADcosBAD，

2

所以BAD120，则ABC为等边三角形，因为GAGBGC0，

所以GAGBGC，设点M为BC的中点，则GA2GD，所以GA∥GD，

所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，

2

13

所以AM1，

22

同理可得点AB，AC的中线过点G，

23

所以点G为ABC的重心，故AGAM，

33

在等边ABC中，M为BC的中点，则BAM30，

331

所以AGABAGABcosBAM1.

322

故选：A

π

变式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量，且a,b，

a,b3

若(ab)c，|c|2，则ac（）

A．1B．12C．2或2D．1或1

【答案】D

ππ

【解析】由题意单位向量，且a,b，可知与的夹角为，

a,b3aba6

π2π

因为abc，所以a,c或，

33

πrrrrrr1

故当a,c时，acaccosac121；

32

2πrrrrrr1

当a,c时，acaccosac12()1，

32

故选：D.

变式2．（2024·广东·校联考模拟预测）将向量OP2,2绕坐标原点O顺时针旋转75

得到OP1，则OPOP1（）

62

A．B．62

2

62

C．62D．

2

【答案】B

22

【解析】因为OP2,2，所以OP222，

因为向量OP绕坐标原点O顺时针旋转75得到OP1，

所以向量OP与向量OP1的夹角为75，且OP12，

所以OPOP1OPOP1cos7522cos(3045)

3212

4()62.

2222

故选：B

变式3．（2024·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED

（）

A．5B．3C．25D．5

【答案】B

uuuruuuruuuruuur

【解析】方法一：以AB,AD为基底向量，可知ABAD2,ABAD0，

uuuruuruuur1uuuruuuruuuruuruuur1uuuruuur

则ECEBBCABAD,EDEAADABAD，

22

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

11122

所以ECEDABADABADABAD143；

224

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

uuuruuur

则E1,0,C2,2,D0,2，可得EC1,2,ED1,2，

uuuruuur

所以ECED143；

方法三：由题意可得：EDEC5,CD2，

DE2CE2DC25543

在CDE中，由余弦定理可得cosDEC，

2DECE2555

uuuruuuruuuruuur3

所以ECEDECEDcosDEC553.

5

故选：B.

π

变式4．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在ABC中，BAC，

3

1

AD2DB，P为CD上一点，且满足APmACABmR，若AC3，AB4，则

2

APCD的值为（）.

13131

A．3B．C．D．

121212

【答案】C

1

【解析】∵APmACABmR，AD2DB，

2

221

即ADAB且CDCBCA，

333

3

∴APmACADmR，

4

31

又C、P、D共线，有m1，即m，

44

11

即APACAB，而CBCAAB，

42

2122

∴CD(CAAB)CACAABABAC

3333

1121211216913

∴APCD=(ACAB)(ABAC)ABABACAC2.

4233343412

故选：C

变式5．（2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量a，b满足同向

rr

共线，且b2，ab1，则aba（）

A．3B．15C．3或15D．3或15

【答案】D

【解析】因为向量a，b满足同向共线，所以设ab(0)，

rrrr2r2r2

又因为ab1，b2，所以bb(1)b(1)2b4(1)21，

1313

所以或，即a=b或ab.

2222

13132

①当a=b时，ababbb3；

2224

353152

②当ab时，ababbb15；

2224

所以aba的值为3或15.

故选：D.

变式6．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形ABCD中，AB1,AD2,AC

与BD相交于点O，过点A作AEBD于E，则AEAO（）

1224124

A．B．C．D．

252555

【答案】D

【解析】建立如图所示直角坐标系：

则A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1)，

设E(x,y)，则AE(x,y1),BE(x,y),BD2,1

AEBDAEBD且BE//BD，

2

x

2xy105

，解得，

x2y01

y

5

212481

E(,),AE(,),EC,，

555555

在矩形ABCD中，O为BD的中点，

1

所以O1,，由A(0,1)，

2

1

所以AO1.，

2

2414

AEAO1+，

5525

故选：D.

【解题方法总结】

（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到

解题思路．

（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，

因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．

（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a在

ab

向量b方向上的投影为．

|b|

（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）

同：(ab)2a22abb2；aba22abb2；a(bc)abac公式都可通用

异：整式：abab，a仅仅表示数；向量：ababcos（为a与b的夹

角）

22

manbm2a2mnabcosn2b，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．

manbmanbmanb，通常是求manb最值的时候用．

题型二：平面向量的夹角

例4．（2024·河南驻马店·统考二模）若单位向量a，b满足2ab6，则向量a，b夹

角的余弦值为____________．

1

【答案】/0.25

4

22

【解析】设向量a，b的夹角为，因为2ab6，所以4a4abb6．

1

又ab1，所以44cos16，所以cos．

4

1

故答案为：

4

例5．（2024·四川·校联考模拟预测）若e1,e2是夹角为60的两个单位向量，则a2e1e2

与b3e12e2的夹角大小为________.

2

【答案】120/

3

1

【解析】e,e是夹角为60的两个单位向量，则e1e2e1e2cos60，

122

2217

，

ab2e1e23e12e26e1e1e22e262

22

222

1，

|a|2e1e24e14e1e2e24417

2

2221ab1

，cosa,b，

|b|3e12e29e112e1e24e291247

2|a||b|2

0a,b180，a,b120.

故答案为：120

例6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量a和b满足：a1，b2，

2ab2ab0，则a与b的夹角为__________．

【答案】/60

3

【解析】记向量a和b的夹角为，将2ab2a·b平方得到：

1

4|a|2|b|24|a||b|cos4|a|2|b|2cos22cos2cos10cos或1，

2

1π

又因为2ab2a·b0cos1，即cos．

23

π

故答案为：.

3

变式7．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量a与b不共线也不垂直，且

aa

cab，则向量夹角a,c________.

ab

【答案】

2

aa2aa22

【解析】由题意可得：acaabaabaa0，

abab

π

故：ac，即向量a与c的夹角为.

2

π

故答案为：

2

变式8．（2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知a､b､c是同一个平面上的向量，

若acb，且ab0,ca2,cb1，则c,a__________.

5

【答案】arcsin

5

22

【解析】设acbm，则camcosc,a2，cbmcosc,b1，

故cosc,a2cosc,b，

ab0,a,b0,π，

ππ

则a,b，ca20，cb10，故c,ac,b，

22

ππ

设c,a，0,，则cos2cos2sin，

22

2255

又sincos1，解得sin，故c,aarcsin.

55

5

故答案为：arcsin.

5

变式9．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量a，b满足a1,1，

b1，ab1，则向量a与b的夹角大小为___________.

π

【答案】

4

【解析】由于a1,1，所以a2，

ab12

所以cosa,b0，

ab22

π

所以a,b为锐角，所以a,b.

4

π

故答案为：

4

变式10．（2024·四川·校联考模拟预测）已知向量ax1,3，b1,0，ab2，

则向量ab与b的夹角为______．

2π

【答案】

3

【解析】ab2x12x3，则ab1,3，则

abb12π

cosab,b，又ab,b0,π，则ab,b

abb23

2π

故答案为：.

3

变式11．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量a1,2，b4,2，若非

零向量c与a，b的夹角均相等，则c的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）

【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.

【解析】设cx,y，因为a1,2，b4,2，

acx2y

所以cosa,c，

ac5x2y2

bc4x2y

cosb,c，

bc25x2y2

因为c与a，b的夹角均相等，所以cosa,c=cosb,c，

x2y4x2y

所以，

5x2y225x2y2

化简得xy，所以c(x,x)，

因为c为非零向量，可取x1，此时c(1,1).

故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.

【解题方法总结】

求夹角，用数量积，由a×b=|a|×|b|cosq得

+

a×bx1x2y1y2

cosq==，进而求得向量a,b的夹角．

×2+22+2

|a||b|x1y1x2y2

题型三：平面向量的模长

例7．（2024·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量a，b，c满足a(2,1)，

b(1,2)，且ac.若bc32，则|c|（）

A．10B．25C．52D．35

【答案】A

ac2xy0x2

【解析】令c(x,y)，则，可得，

bcx2y32y22

所以|c|2810.

故选：A

例8．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知a，b是非零向量，a1，

rr

2

a2ba，向量a在向量b方向上的投影为，则ab________.

4

【答案】2

2121

【解析】∵a2ba，∴a2baa2ba0，∴baa，

22

2ab2

∵向量a在向量b方向上的投影为，∴，

4b4

4

∴bab2，

2

222

21

∴aba2abb1224，

2

∴ab2.

故答案为：2

例9．（2024·海南·高三校联考期末）已知向量a，b满足a1,1，b4，aab2，

则3ab__________．

【答案】10

【解析】因为a1,1，b4，aab2，则a2，

2

所以aabaab2，所以aab2ab2，解得：ab4，

2

22

3ab3ab9ab6ab

92162410.

故答案为：10.

变式12．（2024·四川南充·阆中中学校考二模）已知a,b为单位向量，且满足a5b6，

则2ab______.

【答案】5

22

【解析】a,b为单位向量，且满足a5b6，所以a25ab5b6，

即125ab56，解得ab0，

22

所以2ab4a4abb5.

故答案为：5.

变式13．（2024·河南驻马店·统考三模）已知平面向量a,b满足a10,b2,且

2abab14，则ab=_________________．

【答案】32

22

【解析】由2abab2aabb20ab414,得ab2,

2

22

所以ababa2abb104432.

故答案为：32

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a,b满足ab3，ab2ab，则

b______．

【答案】3

rr

2222

【解析】由ab3，得a2abb3，即2abab3①．

r2rrr2r2rrr2

又由ab2ab，得a2abb4a4abb，

222

2

即3a6ab0，代入①，得3a3ab30，

2

整理，得b3，所以b3．

故答案为：3

变式15．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，OA1,1，OB3,4，

点P在线段AB上，且AP1，则点P的坐标为______．

18

【答案】(,)

55

【解析】由题知，O0,0，设Ax1,y1,Bx2,y2，

OA1,1，OB3,4，x10,y101,1，x20,y203,4，

x1x3

1，2，

y11y24

337

A1,1,B3,4，k，则直线AB方程为yx，

AB444

37

设P点坐标为x0,x0，3x01，

44

332

APx1,x，233，

00APx01x01

4444

1818

求解可得，x，y，即P点坐标为(,).

050555

18

故答案为：(,)

55

变式16．（2024·广西·高三校联考阶段练习）已知a2,1，b4,t，若ab2，则

2ab______．

【答案】82

【解析】因为a2,1，b4,t且ab2，

所以ab241t2，解得t10，所以b4,10，

所以2ab22,14,108,8，

22

所以2ab8882.

故答案为：82

【解题方法总结】

2

求模长，用平方，|a|=a．

题型四：平面向量的投影、投影向量

例10．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量a3,6，b3,4，

则a在b方向上的数量投影为______.

【答案】3

【解析】因为向量a3,6，b3,4，

ab336415

所以a在b方向上的数量投影为acosa,b3.

b9165

故答案为：3.

例11．（2024·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知a(2,1),b(4,m),

若向量b在向量a方向上的数量投影为5，则实数m_______．

【答案】3

ab8m

【解析】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为5，

bab5

解得：m3.

故答案为：3

例12．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a6，e为单位向量，当向量a、e的夹角

等于45时，则向量a在向量e上的投影向量是________．

【答案】32e

【解析】因为向量a、e的夹角等于45，

所以向量a在向量e上的投影向量是a鬃cos45e=32e，

故答案为：32e.

变式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量a(1,2)，向量b(1,1)，

则向量a在向量b方向上的投影为_________.

【答案】2

2

ab12

acosa,b

【解析】2.

b2

故答案为：2

2

变式18．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量a，b满足ab3，a2，b0,1，

则向量a在向量b方向上的投影为______.

【答案】2

【解析】因为b0,1，所以b1，又ab3，a2，

22222

所以aba2abba2abb9，所以ab2，

ab

所以向量在向量方向上的投影为2.

abb

故答案为：2

变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知非零向量a,b满足(a2b)(a2b)，且向量

1

b在向量a方向的投影向量是a，则向量a与b的夹角是________.

4