2025年高考数学必刷题分类：第51讲、立体几何中的截面问题（学生版）

第51讲立体几何中的截面问题

知识梳理

解决立体几何截面问题的解题策略．

1、坐标法

所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解

决立体几何问题增添了一种代数计算方法．

2、基底法

所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理

作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，P为空间任意点，则有：

结论1：若EG与EH不共线，那么EFEGEH；

结论2：PEPFPGPH(1)．

3、几何法

从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定

定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位

置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明．

必考题型全归纳

题型一：截面作图

例1．（2024·全国·高一专题练习）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的

中点，点N在棱CC1上，且CN2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCDA1B1C1D1

所得的截面，写出作法；

例2．（2024·江苏·高一专题练习）如图，棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别

是棱AA1，CC1的中点，过E作平面，使得//平面BDF.

(1)作出截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；

(2)求平面与平面BDF的距离.

例3．（2024·全国·高一专题练习）（1）如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，

N是棱A1B1，A1D1的中点，在图中画出过底面ABCD中的心O且与平面AMN平行的平面在

正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；

（2）作出平面PQR与四棱锥ABCDE的截面，截面多边形的边数为______．

变式1．（2024·全国·高一专题练习）如图①，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P为线

段BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S.

（1）若1CQ2，请在图①中作出截面S（保留尺规作图痕迹）；

（2）若CQ1（如图②），试求截面S将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的

体积V2之比.

变式2．（2024·全国·高一专题练习）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E为棱CC1的

中点.

(1)证明：AC1//平面BDE.

(2)证明：AC1BD.

(3)在图中作出平面BED1截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并说明位

置)，并说明理由.

变式3．（2024·江苏·高一专题练习）已知正方体ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，M

是棱AA1的中点，过C、D1、M三点作正方体的截面，作出这个截面图并求出截面的面积．

题型二：截面图形的形状、面积及周长问题

例4．（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中

点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命

题中正确命题的个数为（）

1

①当0<CQ<时，S为四边形；

2

1

②当CQ=时，S为等腰梯形；

2

31

③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足CR；

41113

3

④当<CQ<1时，S为六边形；

4

A．1B．2C．3D．4

例5．（2024·四川成都·高二双流中学校考期中）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为

1,M,N为线段BC,CC1上的动点，过点A1,M,N的平面截该正方体的截面记为S，则下列命

题正确的个数是（）

①当BM0且0CN1时，S为等腰梯形；

1

②当M，N分别为BC,CC的中点时，几何体ADMN的体积为；

11112

31

③当M为BC中点且CN时，S与CD的交点为R，满足CR；

41116

④当M为BC中点且0CN1时，S为五边形.

A．1B．2C．3D．4

例6．（2024·全国·高一专题练习）如图正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，

Q为线段CC1上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则

CQCC1

下列结论错误的是（）

11

A．当0,时，为四边形B．当时，为等腰梯形

22

36

C．当,1时，为六边形D．当1时，的面积为

42

变式4．（2024·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试）如图，在棱长为2的正

方体ABCDABCD中，点E、F、G分别是棱AB、BC、CD的中点，则由点E、F、

G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于．

变式5．（2024·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组

需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线AC上的点P（如图），且与平面B1CD1

2

平行，已知AA110cm，AP6cm，则截面面积等于cm.

变式6．（2024·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是a，

其中E是CD中点，F是AA1中点，则过点E,F,B1的截面面积是．

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，ABBC，

ABBC2，过AB，BB1的中点E，F作平面与平面AA1C1C垂直，则所得截面周长

为．

变式8．（2024·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为棱BC的

中点，则过B1，E，D三点的平面截正方体的截面周长为．

变式9．（2024·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体

ABCDA1B1C1D1，中，点E为CD的中点，则过点C且与B1E垂直的平面被正方体

ABCDA1B1C1D1截得的截面周长为．

题型三：截面切割几何体的体积问题

例7．（2024·广东广州·高一统考期末）在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别

为棱BC，CC1的中点，过点A，E，F作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体

积较小的多面体的体积为.

例8．（2024·辽宁锦州·校考一模）在正四棱锥SABCD中，M为SC的中点，过AM作截面

V2

将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为V1,V2，则的最大值

V1

是.

例9．（2024·浙江·高二竞赛）在正四棱锥SABCD中，M在棱SC上且满足SM2MC.过

V2

AM作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为V1，V2，则的

V1

最大值为.

变式10．（2024·上海·高二专题练习）如图，正方体ABCDA1B1C1D1，中，E､F分别是棱

AB､BC的中点，过点D1､E､F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为

V1,V2，记V1V2，则V1:V2.

变式11．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下

一个三棱锥CADD，则三棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为.

变式12．（2024·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1底面ABC，

1

ABBCCAAA，点P是棱AA上的点，AP2PA，若截面BPC分这个棱柱为两部

21111

分，则这两部分的体积比为.

变式13．（2024·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）如图，正方体ABCDA1B1C1D1

中，E､F分别是棱A1B1､C1D1的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比

V1:V2.

题型四：球与截面问题

例10．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体

ABCDA1B1C1D1中，M,N分别为棱A1D1,DD1的中点，过MN作该正方体外接球的截面，

所得截面的面积的最小值为（）

ππ3ππ

A．B．C．D．

6482

例11．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形ABCD中，AB3,AD4，

将△ABD沿对角线BD翻折至ABD的位置，使得平面ABD平面BCD，则在三棱锥

ABCD的外接球中，以AC为直径的截面到球心的距离为（）

43562239113

A．B．C．D．

1051010

32π

例12．（2024·海南·高三校联考期末）已知某球的体积为，该球的某截面圆的面积为3π，

3

则球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为（）

5

A．1B．3C．23D．

2

变式14．（2024·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，

E为棱CC1上的一点，且满足平面BDE平面A1BD，则平面A1BD截四面体ABCE的外接

球所得截面的面积为（）

132582

A．B．C．D．

61233

变式15．（2024·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥

ABCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC3，AB2，

点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）

3π2πππ

A．B．C．D．

4324

变式16．（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知半径为4的球O，被两个平

2

面截得圆O､O，记两圆的公共弦为AB，且OO2，若二面角OABO的大小为π，

1212123

则四面体ABO1O2的体积的最大值为（）

484

A．83B．2C．2D．3

999

变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知球O和正四面体ABCD，点B､C､D在球面上，

底面BCD过球心O，棱AB､AC､AD分别交球面于B1､C1､D1，若球的半径R3，则所得多面

体B1C1D1BCD的体积为（）

9292232132

A．B．C．D．

84126

变式18．（2024·天津红桥·统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，

则球的体积为（）

4342

A．πB．π

33

8382

C．πD．π

33

题型五：截面图形的个数问题

例13．（2024·全国·高三专题练习）过正四面体PABC的顶点P作平面，若与直线PA，

PB，PC所成角都相等，则这样的平面的个数为（）个

A．3B．4C．5D．6

例14．（2024·陕西榆林·陕西省榆林中学校考三模）过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作平

面，使得正方体的各棱与平面所成的角都相等，则满足条件的平面的个数为（）

A．1B．3C．4D．6

例15．（2024·全国·高三专题练习）设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去

截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面

A．有无数多个B．恰有4个C．只有1个D．不存在

变式19．（2024·浙江·模拟预测）过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截

面，且使截面与底面BCD所成的角为75，这样的截面有（）

A．6个B．12个C．16个D．18个

变式20．（2024·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中）空间给定不共面的A，B，C，D

四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有

三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的

个数是___________个

题型六：平面截圆锥问题

例16．（多选题）（2024·广东·高二统考期末）圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以

从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与

圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角

不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、

椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与和圆锥轴截面半顶角有如下关

系,0,；当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线：当0

2

时，截口曲线为双曲线.（如左图）

现有一定线段AB与平面夹角（如上右图），B为斜足，上一动点P满足BAP，

设P点在的运动轨迹是，则（）

A．当，时，是椭圆B．当，时，是双曲线

4636

C．当，时，是抛物线D．当，时，是椭圆

4434

例17．（2024·辽宁阜新·校考模拟预测）比利时数学家丹德林(GerminalDandelin)发现：在圆

锥内放两个大小不同且不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面截圆

锥的侧面得到的截线是椭圆．这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20，底面

半径为4的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切．若一个平面与两个球均相切，

则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴长为（）

A．12B．4C．25D．8

例18．（2024·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）.如图是数学家GerminalDandelin用来证

明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个

大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别

为4和1，球心距O1O26，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆

的焦点），则此椭圆的离心率等于（）

33621

A．B．C．D．

9326

变式21．（2024·上海·高二专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.

许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin

（17941847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分

别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切于E,F，在截口曲线上任取一点A，过A

作圆锥的母线，分别与两个球相切于C,B，由球和圆的几何性质，可以知道，AEAC，

AFAB，于是AEAFABACBC.由B,C的产生方法可知，它们之间的距离BC是

定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E,F为焦点的椭圆.

如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是

椭圆，已知A1A2是椭圆的长轴，PA1垂直于桌面且与球相切，PA15，则椭圆的焦距为（）

A．4B．6C．8D．12

变式22．（2024·全国·高三对口高考）如图，定点A和B都在平面内，定点P,PB，

C是内异于A和B的动点，且PCAC．那么，动点C在平面内的轨迹是（）

A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点

C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点

变式23．（2024·全国·学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线l1、l2异面且垂直，平

面∥l1且l2，若点P到l1、l2距离相等，则点P在平面内的轨迹为（）

A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线

变式24．（2024·宁夏银川·校联考二模）已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B,C是圆上

的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动，点H运动的轨迹（）

A．是圆B．是椭圆C．是抛物线D．不是平面图形

变式25．（2024·四川广安·高二广安二中校考期中）美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘

画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几

何体结构素描是学习索描的重要一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面

去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称

为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短

母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为60°的直角梯形，设圆柱半径

r1，则该椭圆的焦距为（）

23331

A．B．C．D．

3323

变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体AC1，P为平面B1BD1内一动点，设二面

角A1BD1P的大小为，直线A1P与平面A1BD1所成角的大小为.若cossin，则点

P的轨迹是（）

A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线

变式27．（2024·四川广安·高二统考期末）已知四棱锥PABCD，AD平面PAB，BC平

面PAB，底面ABCD是梯形，ABAD2，BC4，APDCPB，满足上述条件的四

棱锥的顶点P的轨迹是（）

A．椭圆B．椭圆的一部分C．圆D．不完整的圆

变式28．（2024·全国·校联考模拟预测）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与

圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们

通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．已知某圆锥的轴截面是正三角形，平面

与该圆锥的底而所成的锐二面角为，则平面截该圆锥所得椭圆的离心率

6

为．

题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题

例19．（2024·西藏林芝·统考二模）在三棱锥ABCD中，ABACBDCDBC4，

平面经过AC的中点E，并且与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三

棱锥ABCD的外接球的表面积为（）

8037080

A．πB．πC．20πD．π

333

例20．（2024·贵州·高二校联考阶段练习）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角

为3π，则过圆锥顶点的截面面积最大值为（）

A．1B．3C．2D．23

例21．（2024·全国·高一专题练习）若球O是正三棱锥ABCD的外接球，BC3,AB23，

点E在线段BA上，BA3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面

积为（）

8π4π

A．B．2πC．D．π

33

变式29．（2024·高一课时练习）在三棱锥ABCD中，

ABBCCDDA22,ADCABC90，平面ABC平面ACD，三棱锥ABCD

的所有顶点都在球O的球面上，E,F分别在线段OB,CD上运动（端点除外），BE2CF.

当三棱锥EACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（）

3

A．πB．3πC．πD．2π

2

变式30．（2024·江西·高一宁冈中学校考期末）棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶

点都在球O的表面上，E，F分别为棱AB，A1D1的中点，则经过E，F球的截面面积的最小

值为（）

3π57

A．πB．C．πD．

8288

变式31．（2024·全国·高三对口高考）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为23，动点P

在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的

周长为y，设BPx，则当x1,5时，函数yfx的值域为（）

A．36,66B．6,26C．0,6D．0,36

变式32．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱CC1

上的一个动点，若平面BED1与棱AA1交于点F，给出下列命题：

①四棱锥B1BED1F的体积恒为定值；

②四边形BED1F是平行四边形；

③当截面四边形BED1F的周长取得最小值时，满足条件的点E至少有两个；

④直线D1E与直线DC交于点P，直线D1F与直线DA交于点Q，则P、B、Q三点共线.

其中真命题是（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

变式33．（2024·高一课时练习）正方体ABCDA1B1C1D1中作一截面与AC1垂直，且和正方

体所有面相交，如图所示．记截面多边形面积为S，周长为C，则（）

A．S为定值，C不为定值B．S不为定值，C为定值

C．S和C均为定值D．S和C均不为定值

变式34．（2024·四川内江·高二统考期末）如图所示，在长方体ABCD