2025年高考数学必刷题分类：第37讲、三角形四心及奔驰定理（教师版）

第37讲三角形四心及奔驰定理

知识梳理

技巧一．四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相

等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点．

已知的顶点，，，，，，则△的重心坐标为

△ABCA(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)ABC

xxxyyy

G(123，123)．

33

注意：（1）在△ABC中，若O为重心，则OAOBOC0．

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．

11

重心的向量表示：AGABAC．

33

奔驰定理：，则△、△、△的面积

SAOASBOBSCOC0AOBAOCBOC

之比等于

3:2:1

奔驰定理证明：如图，令，，，即满足

1OAOA12OBOB13OCOC1

OA1OB1OC10

S△AOB1S△AOC1S△BOC1

，，，故S△:S△:S△::．

SSSAOBAOCBOC321

△A1OB112△A1OC113△B1OC123

技巧三．三角形四心与推论：

（）是的重心：．

1O△ABCS△BOC:S△COA:S△A0B1:1:1OAOBOC0

（）是的内心：．

2O△ABCS△B0C:S△COA:S△AOBa:b:caOAbOBcOC0

（3）O是△ABC的外心：

．

S△B0C:S△COA:S△AOBsin2A:sin2B:sin2Csin2AOAsin2BOBsin2COC0

（4）O是△ABC的垂心：

．

S△B0C:S△COA:S△AOBtanA:tanB:tanCtanAOAtanBOBtanCOC0

技巧四．常见结论

ABAC

（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．

ABAC

ABPCBCPCCAPB0P为△ABC的内心．

（2）外心：PAPBPCP为△ABC的外心．

（3）垂心：PAPBPBPCPCPAP为△ABC的垂心．

（4）重心：PAPBPC0P为△ABC的重心．

必考题型全归纳

题型一：奔驰定理

例1．（2024·全国·高一专题练习）已知O是ABC内部的一点，A，B，C所对的边

分别为a3，b2，c4，若sinAOAsinBOBsinCOC0，则AOB与ABC的面积

之比为（）

4125

A．B．C．D．

9399

【答案】A

abc

【解析】由正弦定理K,又a3，b2，c4，所以得

sinAsinBsinC

11

3OA2OB4OC0,因为0,所以3OA2OB4OC0.

KK

设OA13OA,OB12OB,OC14OC,可得OA1OB1OC10,则O是△A1B1C1的重心，

1

SOABSOBCSOACS，利用SOAOBsinAOB,sinAOBsinAOB,所以

1111112111111

1

OAOBsinAOB

SOAOB11

OAB2,所以SS,同理可得

1OAB

SOAOBsinAOB3OA2OB66

21111

111111

SOBCS,SAOCS.所以AOB与ABC的面积之比为S:SSS4:9即为

81266812

4

.

9

故选：A.

例2．（2024·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知O是三角形ABC内部一点，且

OA2OBOC0，则AOB的面积与ABC的面积之比为（）

1111

A．B．C．D．

2345

【答案】C

【解析】如图，设OAOCOD，∵OA2OBOC0，∴OD2OB，设AC与OD交

于点M，则M平分AC,BD，∴OMOB，O是BM中点，

111

∴SSS．比值为．

AOB2AMB4ABC4

故选：C．

例3．（2024·全国·高一专题练习）若点M是ABC所在平面内的一点，点D是边AC靠近A

的三等分点，且满足5AMABAC，则ABM与△ABD的面积比为（）

1239

A．B．C．D．

55525

【答案】C

【解析】M是ABC所在平面内一点，连接AM，BM，延长AM至E使AE5AM，

∵5AMABACAE，∴ABAEACCE，

连接BE，则四边形ABED是平行四边形，向量AB和向量CE平行且模相等，

11

由于AC3AD，所以S△ABDS△ABC，又AE5AM，所以S△ABMS△ABE，

35

1

S△

5ABE3

在平行四边形中，S△ABDS△ABE，则ABM与△ABD的面积比为，

15

S△

3ABD

故选：C.

变式1．（2024·全国·高三专题练习）平面上有ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若

将OAB，△OBC，OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式

uuruuuruuurr

．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为奔驰定

SaOASbOBScOC0logo“

理”．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足aOAbOBcOC0，

则O为ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

【答案】B

uuruuuruuurrSS

【解析】由得OAbOBcOC，

SaOASbOBScOC0

SaSa

bc

由aOAbOBcOC0得OAOBOC，

aa

SbSc

根据平面向量基本定理可得b，c，

SaaSaa

SbSc

所以b，c，

SaaSaa

延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，

S|AE|Sb|AE|b|AC|

则b，又b，所以，

Sa|BE|Saa|BE|a|BC|

所以CE为ACB的平分线，

同理可得BF是ABC的平分线，

所以O为ABC的内心.

故选：B

变式2．（2024·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个

非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其

为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分

别为SA、SB、SC，则有SAOASBOBSCOC0，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，

∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（）

A．若OAOBOC0，则O为△ABC的重心

B．若OA2OB3OC0，则SA:SB:SC1:2:3

C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则

tanBACOAtanABCOBtanACBOC0

5π9

D．若OAOB2，AOB，2OA3OB4OC0，则SABC

62

【答案】D

【解析】对于A：如下图所示，

假设D为AB的中点，连接OD，则OAOB=2ODCO，故C,O,D共线，即O在中线CD上，

同理可得O在另外两边BC,AC的中线上，故O为ABC的重心，即A正确；

对于B：由奔驰定理O是ABC内的一点，BOC,AOC,AOB的面积分别为SA,SB,SC，

则有SAOASBOBSCOC0可知，

若OA2OB3OC0，可得SA:SB:SC1:2:3，即B正确；

对于C：由四边形内角和可知，BOCBACπ，则

OBOCOBOCcosBOCOBOCcosBAC，

同理，OBOAOBOAcosBOAOBOAcosBCA，

因为O为ABC的垂心，则OBACOB(OCOA)OBOCOBOA0，

所以OCcosBACOAcosBCA，同理得OCcosABCOBcosBCA，

OAcosABCOBcosBAC，

则OA:OB:OCcosBAC:cosABC:cosBCA，

令OAmcosBAC,OBmcosABC,OCmcosBCA，

11m2

由SAOBOCsinBOC，则SOBOCsinBACcosABCcosBCAsinBAC，

2A22

1m2

同理：SOAOCsinABCcosBACcosBCAsinABC，

B22

1m2

SOAOBsinBCAcosBACcosABCsinBCA，

C22

sinBACsinABCsinBCA

综上，S:S:S::tanBAC:tanABC:tanBCA，

ABCcosBACcosABCcosBCA

根据奔驰定理得tanBACOAtanABCOBtanACBOC0，即C正确.

5π15π

对于D：由|OA||OB|2,AOB可知，S22sin1，

6C26

又2OA3OB4OC0，所以SA:SB:SC2:3:4

13

由S1可得，S,S；

CA2B4

139

所以SSSS1，即D错误；

ABCABC244

故选：D.

变式3．（多选题）（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面

向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo

很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC，AOC，

AOB的面积分别为SA,SB,SC，则SAOASBOBSCOC0，O是ABC内的一点，∠

BAC，∠ABC，∠ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正．确．的有（）

A．若2OA3OB4OC0，则SA:SB:SC4:3:2

2

93

B．若OAOB2，AOB，且2OA3OB4OC0，则S△

3ABC4

C．若OAOBOBOCOCOA，则O为ABC的垂心

π

D．若O为ABC的内心，且5OA12OB13OC0，则ACB

2

【答案】BCD

【解析】对选项A：2OA3OB4OC0，则SA:SB:SC2:3:4，错误；

1

对选项B：S△AOB22sin1203，2OA3OB4OC0，

2

993

故SA:SB:SC2:3:4，S△S，正确；

ABC4A4

对选项C：OAOBOBOC，即OAOCOBCAOB0，故CAOB，

同理可得CBOA，ABOC，故O为ABC的垂心，正确；

对选项D：5OA12OB13OC0，故SA:SB:SC5:12:13，设内接圆半径为r，

111

SrBC，SrAC，SrAB，即BC:AC:AB5:12:13，

A2B2C2

π

即AB2AC2BC2，ACB，正确.

2

故选：BCD

变式4．（多选题）（2024·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结

论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为

“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是ABC内一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为SA、

SB、SC，则SAOASBOBSCOC0.设O是锐角ABC内的一点，BAC、ABC、

ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确的有（）

A．若OA2OB3OC0，则SA:SB:SC1:2:3

5π9

B．OAOB2，AOB，2OA3OB4OC0，则SABC

62

π

C．若O为ABC的内心，3OA4OB5OC0，则C

2

D．若O为ABC的重心，则OAOBOC0

【答案】ACD

【解析】对于A选项，因为OA2OB3OC0，由“奔驰定理”可知SA:SB:SC1:2:3，A

对；

5π15π

对于B选项，由OAOB2，AOB，可知S22sin1，

6C26

又2OA3OB4OC0，所以SA:SB:SC2:3:4，

13

由S1可得，S，S，

CA2B4

139

所以SSSS1，B错；

ABCABC244

对于C选项，若O为ABC的内心，3OA4OB5OC0，则SA:SB:SC3:4:5，

111

又S:S:Sar:br:cra:b:c（r为ABC内切圆半径），

ABC222

π

所以，a2b2c2，故C，C对；

2

对于D选项，如下图所示，

因为O为ABC的重心，延长CO交AB于点D，则D为AB的中点，

111

所以，OC2OD，S△S△S，且S△S，S△S，

AODBOD2CAOD2BBOD2A

所以，SASBSC，由“奔驰定理”可得OAOBOC0，D对.

故选：ACD.

题型二：重心定理

例4．（2024·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重

心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称

为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知ABC的外心为O，重心为G，垂心为

H，M为BC中点，且AB5，AC4，则下列各式正确的有______．

①AGBC3②AOBC6

③OHOAOBOC④ABAC4OM2HM

【答案】①③④

21

【解析】对于①，ABC重心为G，有AGAM(ABAC)，

33

11221

故AGBC(ABAC)(ACAB)(ACAB)(1625)3，故①正确；

333

对于②，ABC外心为O，过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，

122512

易知D、E分别是AB、AC的中点，有AOABAB，AOACAC8

222

259

∴AOBCAO(ACAB)8，故②错误；

22

对于③，由欧拉线定理得2OGGH，即OH3OG，又有GAGBGC0，

故OAOBOC(OGGA)(OGGB)(OGGC)3OGGAGBGC3OG，即

OHOAOBOC，故③正确；

21

对于④，由OH3OG得MHMO3(MGMO)，故MGMOMH，

33

所以ABAC2AM6MG4OM2HM，故④正确.

故答案为：①③④.

例5．（2024·全国·高一专题练习）点O是平面上一定点，A、B、C是平面上ABC的三个

顶点，B、C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的

序号全部写上）．

①动点P满足OPOAPBPC，则ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；

ABAC

②动点P满足OPOA()(0)，则ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；

|AB||AC|

ABAC

③动点P满足OPOA()(0)，则ABC的重心一定在满足条件的P

|AB|sinB|AC|sinC

点集合中；

ABAC

④动点P满足OPOA()(0)，则ABC的垂心一定在满足条件的P

|AB|cosB|AC|cosC

点集合中；

OBOCABAC

⑤动点P满足OP()(0)，则ABC的外心一定在满足条件

2|AB|cosB|AC|cosC

的P点集合中．

【答案】①②③④⑤

【解析】对于①，因为动点P满足OPOAPBPC，

APPBPC，

则点P是ABC的重心，故①正确；

ABAC

对于②，因为动点P满足OPOA()(0)，

|AB||AC|

ABAC

AP()(0)，

|AB||AC|

ABAC

又在BAC的平分线上，

|AB||AC|

AP与BAC的平分线所在向量共线，

所以ABC的内心在满足条件的P点集合中，②正确；

ABAC

对于③，动点P满足OPOA()(0)，

|AB|sinB|AC|sinC

ABAC

AP()，(0)，

|AB|sinB|AC|sinC

过点A作ADBC，垂足为D，则|AB|sinB|AC|sinCAD，

AP(ABAC)，向量与BC边的中线共线，

ADABAC

因此ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；

ABAC

对于④，动点P满足OPOA()(0)，

|AB|cosB|AC|cosC

ABAC

AP()(0)，

|AB|cosB|AC|cosC

uuuruuur

uuuruuurABACuuuruuuruuur

APBC(uuuruuur)BC(|BC||BC|)0，

|AB|cosB|AC|cosC

APBC，

所以ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；

OBOCABAC

对于⑤，动点P满足OP()(0)，

2|AB|cosB|AC|cosC

OBOC

设OE，

2

ABAC

则EP()，

|AB|cosB|AC|cosC

uuuruuur

ABACuuur

由④知(uuuruuur)BC0，

|AB|cosB|AC|cosC

EPBC0，

EPBC，

P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；

所以ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．

故正确的命题是①②③④⑤．

故答案为：①②③④⑤．

例6．（2024·河南·高一河南省实验中学校考期中）若O为ABC的重心（重心为三条中线交

点），且OAOBOC0，则___．

【答案】1

【解析】在ABC中，取BC中点D，连接AD，

由重心的性质可得O为AD的三等分点，且OA2OD，

又D为BC的中点，所以OBOC2OD，

所以OAOBOC2ODOD0，所以1.

故答案为：1

变式5．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，AC3，则

AOBC______．

（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，AC3，则AOBC______．

（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，AC3，A，D为BC中点，则AOOD____．

3

1649

【答案】8

318

【解析】（1）由题意得：如图

过O作ODBC，垂足为D，则D是BC的中点

uuuruuuruuur1

QBCACAB，AOADDO，AD(ABAC)

2

uuur

又AC3，AB5

1122

AOBCADDOBCADBC(ABAC)ACAB(ACAB)8

22

（2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分

21

AOAD(ABAC)，BCACAB

33

112216

AOBC(ABAC)ACAB(ACAB)

333

（3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分

121

ODAO，AOAD(ABAC)

233

221

(ABAC)2ABAC2ABACcosA2593049

2

122212149

AOODAOADABAC49

29181818

1649

故答案为：（1）8（2）（3）

318

变式6．（2024·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在ABC中，AB2，

ABC60，ACAB1，若O是ABC的重心，则BOAC______.

【答案】7

【解析】如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

设Ca,0，

∵AB2，ABC60，∴A1,3，AC=(a-1,-3),AB=(-1,-3)

∵ACAB1a31，解得a5，∴C5,0

骣

琪3

∵O是ABC的重心，延长BO交AC于点D，则D为AC中点，所以D琪3,,

桫2

2233=-

∴BOBD3,2,，AC(4,3),

3323

3

∴BOAC2437.

3

故答案为：7

变式7．（2024·江西南昌·高三校联考期中）锐角ABC中，a，b，c为角A，B，C所对

的边，点G为ABC的重心，若AGBG，则cosC的取值范围为______．

46

【答案】,，

53

211211

【解析】由题意AG(ACAB)(ACAB)，BG(BABC)(BABC)，

323323

又AGBG，则

11

AGBG(ACAB)(BABC)(ACBAACBCABBAABBC)0，

99

2

所以CACBACABBABCAB，即abcosCbccosAaccosBc2，

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

由cosA，cosB，cosC，

2bc2ac2ab

2ab

所以a2b25c2,cosC()，

5ba

a2b25c2

3a22b2

由为锐角三角形及上式，则222，即，可得6b6，

ABCacb22

2223b2a2a3

bca

b6646

所以cosC在(,1)上递减，在(1,)上递增，则cosC.

a3253

46

故答案为：[,)

53

变式8．（2024·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点

3

Q，PCAC，QCnBC，则n的值为________.

4

3

【答案】

5

【解析】如图，因为O是重心，所以OAOBOC0，即OAOBOC，

33

因为PCAC，所以OCOPOCOA，

44

313131

所以OPOAOCOBOCOCOBOC，

444442

又QCnBC，则OCOQnOCOB，所以OQnOB1nOC

因为P，O，Q三点共线，所以OP//OQ，

313

所以(1n)n，解得n.

425

3

故答案为：

5

变式9．（2024·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在ABC中，过重心G的直线

交边AB于点P，交边AC于点Q，设△APQ的面积为S1，ABC的面积为S2，且

S1

APAB,AQAC，则的取值范围为_________．

S2

41

【答案】,

92

【解析】根据题意，连接AG，作图如下：

1

sinAAPAQ

S

12，

S1

2sinAABAC

2

1

在三角形ABC中，因为G为其重心，故可得AGABAC

3

111

结合已知条件可得：AGAPAQ，

3

1111

因为P,G,Q三点共线，故可得1，即3，

33

由题设可知0,1，0,1，

1

又0,1，得,1，

312

2

S111

故，令31t，可得t,2，t1，

S23123

S111111

则t2,t,2，又yt在,1单调递减，1,2单调递增，

S29t2t2

S41S1S1

当t1时，1，当t时，1，当t2时，1，

S292S22S22

S141

故,.

S292

41

故答案为：,.

92

题型三：内心定理

例7．（2024·湖北·模拟预测）在ABC中，ABAC16，SABC6，BC3，且ABAC，

若O为ABC的内心，则AOBC_________．

【答案】3

【解析】因为ABAC16，所以ABACcosA16，

1

因为S6，所以ABACsinA6，

ABC2

sinA3

所以，又sin2Acos2A1，cosA0,sinA0，

cosA4

34

所以sinA,cosA，所以ABAC20，

55

由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosA，又BC3，

所以AB2AC241，又ABAC，所以AB5,AC4，

所以ABC为以AB为斜边的直角三角形，

设ABC的内切圆与边AC相切于点D，内切圆的半径为r，

ACBCAB

由直角三角形的内切圆的性质可得r1，故OD1，

2

因为ADBC，所以ADBC0，

因为ODAC,BCAC，所以OD//BC，所以DOBC3

所以AOBCADDOBCADBCDOBC3.

故答案为：3.

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知RtABC中，AB3，AC4，BC5，I是ABC的

内心，P是IBC内部（不含边界）的动点.若APABAC（，R），则的取

值范围是______.

7

【答案】(,1)

12

【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则

A0,0,B3,0,C0,4，

因为I是三角形ABC的内心，设三角形ABC内切圆半径为r，

11

则|AC||AB||BC|r|AB||AC|，解得r1.

22

所以I1,1，AB3,0,AC0,4.

依题意点Px,y在三角形IBC的内部（不含边界）.

因为APABAC(,R)，

所以x,y3,00,43,4，

1

x

x33

所以，

y41

y

4

11

令zxy，

34

4

则yx4z，

3

4117

由图可知，当yx4z过I1,1时，z11.

33412

411

当yx4z，过C0,4，即为直线BC时，z041.

334

7

所以的取值范围时(,1).

12

7

故答案为：(,1)

12

例9．（2024·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设I为ABC的内心，

ABAC5，BC6，AImABnBC，则mn为________．

15

【答案】

16

【解析】因为ABAC5，所以取BC中点为O，连接AO，

则AOBC，且ABC的内心I在AO上，IO即为ABC的内切圆半径r，

又BC6，所以AOAB2BO24，

11

因为SBCAOABBCACr，即64556IO，

ABC22

35

所以IO，AI，

22

以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(0,4)，B(3,0)，C(3,0)，

5

则AB(3,4)，BC(6,0)，AI0,，

2

5

因为AImABnBC，即0,m(3,4)n(6,0)，

2

5

4m555515

所以2解得m,n，所以mn，

81681616

3m6n0

5

故答案为：.

16

变式10．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点O是ABC的内

31

心，若AOABAC，则cosBAC____