2025年高考数学必刷题分类：第67讲、圆锥曲线离心率题型全归纳（学生版）

第67讲圆锥曲线离心率题型全归纳

知识梳理

求离心率范围的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲线的范围建立不等关系．

x2y2

2、利用线段长度的大小建立不等关系．F,F为椭圆1(ab0)的左、右焦

12a2b2

22

点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线xy的

PPF1ac,acF,F1(a0,b0)

12a2b2

左、右焦点，为双曲线上的任一点，．

PPF1ca

x2y2

3、利用角度长度的大小建立不等关系．F,F为椭圆1的左、右焦点，P为

12a2b2

椭圆上的动点，若FPF，则椭圆离心率e的取值范围为sine1．

122

4、利用题目不等关系建立不等关系．

5、利用判别式建立不等关系．

6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．

7、利用基本不等式，建立不等关系．

二、函数法：

1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数

关系式；

2、通过确定函数的定义域；

3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．

三、坐标法：

由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．

必考题型全归纳

题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式

例1．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦

点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲

线C2的离心率为（）

A．3B．2C．5D．6

x2y2

例2．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分

a2b2

别为F1,F2，经过F2的直线交椭圆C于P,Q两点，O为坐标原点，且

OPOF2PQ0,PF22F2Q，则椭圆C的离心率为.

x2y2

例3．（2024·海南海口·高三统考期中）已知双曲线C:1a0,b0的左顶点为A，

a2b2

22

右焦点为Fc,0，过点A的直线l与圆xcy2ca相切，与C交于另一点B，且

π

BAF，则C的离心率为（）

6

53

A．3B．C．2D．

22

x2y2

变式1．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为F的椭圆E：1ab0上

a2b2

的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BFAC于点F，且BF3CF，则E的

离心率是（）

2731

A．B．C．D．

2522

变式2．（2024·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线C：

x2y2

1(a0,b0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两

a2b2

点，若|AB|23b，则C的离心率为

x2y2

变式3．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）双曲线C:1a,b0的左焦点为F，直

a2b2

2

线FD与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段FD的两个三等分点，且OAOBa

2

（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为.

x2y2

变式4．（2024·河南开封·统考模拟预测）已知A是双曲线C:1(a0,b0)的右顶点，

a2b2

9

点P(2,3)在C上，F为C的左焦点，若APF的面积为，则C的离心率为．

2

变式5．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内

放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相

切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.

x2y2

变式6．（2024·陕西西安·校考三模）已知双曲线C：1a0,b0的左焦点为F，

a2b2

过F的直线与圆x2y2a2相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若PQ2QF，则双

曲线C的离心率为.

x2y2

变式7．（2024·河北·高三校联考期末）双曲线C：1(a0,b0)的左焦点为F，右顶

a2b2

点为A，过A且垂直于x轴的直线交C的渐近线于点P，PO恰为PFA的角平分线，则C的

离心率为．

题型二：圆锥曲线第一定义

x2y2

例4．（2024·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知F1,F2分别为双曲线E:1(a0,b0)

a2b2

的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A,B两点（点A在第一象限），延长AF2交E于点

π

C，若BFAC,FBF，则双曲线E的离心率为．

2123

x2y2

例5．（2024·山西大同·高三统考开学考试）已知椭圆C1(ab0)的左、右焦点

1a2b2

分别为F1，F2，点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ||F1F2|，且四边形PF1QF2

4

的面积为a2，则C的离心率为．

9

y2x2

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E:1ab0的上、下焦点分别为F1、

a2b2

F2，焦距为23，与坐标轴不垂直的直线l过F1且与椭圆E交于A、B两点，点P为线段AF2

的中点，若ABF2F2PB90，则椭圆E的离心率为．

x2y2

变式8．（2024·全国·高三专题练习）F1，F2是椭圆E：1ab0的左，右焦点，

a2

b2

点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足F1MNF2MN45，3NF14NF2，则

椭圆E的离心率为.

x2y2

变式9．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦

a2b2

3

点分别为F,F，过F斜率为的直线与C的右支交于点P，若线段PF恰被y轴平分，则C

12141

的离心率为（）

123

A．B．C．2D．3

23

变式10．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知F1，F2分别为双曲线Ε：

x2y2

1a0,b0的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一

a2b2

π

象限），延长AF交E于点C，若BFAC，FBF，则双曲线E的离心率为（）

22123

A．3B．2C．5D．7

x2y2

变式11．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：1（a0，b0），

a2b2

斜率为3的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲

线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（）

31

A．B．31C．231D．232

2

y2x2

变式12．（2024·河南·统考模拟预测）已知双曲线E:1(a0)的上焦点为F1，点P

a28

在双曲线的下支上，若A(4,0)，且PF1|PA|的最小值为7，则双曲线E的离心率为（）

697697

A．2或B．3或C．2D．3

2525

变式13．（2024·全国·高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线

经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线

x2y2

E:1(a0,b0)的左､右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点

a2b2

5

反射后，分别经过点C和D，且cosBAC,ABBD0，则E的离心率为（）

13

173710

A．B．C．D．5

352

x2y2

变式14．（2024·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线E:1(a0,b0)的右焦点为F，

a2b2

过点F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且CF3FB，点B关于原点O的对称

点为点A，若AFBF0，则双曲线E的离心率为（）

231010

A．3B．C．D．

332

x2y2

变式15．（2024·山西吕梁·统考二模）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右

a2b2

焦点分别为，，直线与交于，两点，，且△的面积为2，

F1F2ykxCPQPF1QF10PF2Q4a

则C的离心率是（）

A．3B．5C．2D．3

题型三：圆锥曲线第二定义

例7．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线

的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的

比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0e1时，轨迹为椭圆；当e1时，轨迹为抛物

(x4)2y21

线；当e1时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率e等于（）

254x5

145

A．B．C．D．5

554

x2y2

例8．（2024·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线1(a,b0)的左、右焦点分别

a2b2

为F1F2，P为左支上一点，P到左准线的距离为d，若d、|PF1|、|PF2|成等比数列，则其

离心率的取值范围是（）

A．[2，)B．(1，2]C．[12，)D．(1，12]

x2y2

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C:1a0,b0的右焦点为F，过F

a2b2

且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF4FB，则C的离心率为（）

5679

A．B．C．D．

8555

题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）

x2y2

例10．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：1a0,b0虚轴

a2b2

的一个顶点为D，直线x3a与C交于A，B两点，若△ABD的垂心在C的一条渐近线上，

则C的离心率为.

x2y2

例11．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：1ab0

a2b2

的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横

13

坐标为c．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为．

316

x2y2

例12．（2024·山东济南·高三统考开学考试）已知椭圆C：1ab0的上顶点为

a2b2

B，两个焦点为F1，F2，线段BF2的垂直平分线过点F1，则椭圆的离心率为．

x2y2

变式16．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线E:1a0,b0与直线

a2b2

ykx相交于A，B两点，点P为双曲线E上的一个动点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，

1

k，若kk，且双曲线E的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线E的离心率

2124

为．

x2y2

变式17．（2024·山东·高三校联考开学考试）如图，A，B分别是椭圆C:1ab0

a2b2

的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交

于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（）

3133

A．B．C．D．

3224

题型五：利用数形结合求解

例13．（2024·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的

光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线

x2y2

E:1(a0,b0)的左､右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图2中的A,B两

a2b2

12

点反射后，分别经过点C和D，且tanCAB，|BD|2AD·BD，则双曲线E的离心率

5

为（）

63721014

A．B．C．D．

5553

x2y2

例14．（2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的

a2b2

2

两个焦点，点在上，若的离心率，则使△为直角三角形的点有

MCCe,1MF1F2M

2

（）个

A．2B．4C．6D．8

例15．（2024·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）过双曲线

x2y2

E:1(a0,b0)的左焦点F作x2y2a2的一条切线，设切点为T，该切线与双

a2b2

曲线E在第一象限交于点A，若FA3FT，则双曲线E的离心率为（）

1315

A．3B．5C．D．

22

变式18．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点Px0,y0是椭圆

x2y2

C:1(ab0)上的一点，F1,F2是C的两个焦点，若PFPF0，则椭圆C的离

a2b212

心率的取值范围是（）

2222

A．0,B．0,C．,1D．,1

2222

题型六：利用正弦定理

x2y2

例16．（2024·全国·高三专题练习）已知F1，F2分别为椭圆E:1ab0的两个

a2b2

Ð=Ð

焦点，P是椭圆E上的点，PF1PF2，且sinPF2F13sinPF1F2，则椭圆E的离心率为（）

10105

A．B．C．5D．

2424

x2y2

例17．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆1ab0的左、右焦点F1，F2作倾斜

a2b2

角分别为和的两条直线l，l．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为

6312

（）

2

A．B．31

2

3151

C．D．

22

x2y2

例18．（2024·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆1a0,b0的左、右焦点

a2b2

分别为F1c,0，F2c,0，若椭圆上存在点P（异于长轴的端点），使得

csinPF1F2asinPF2F1，则该椭圆离心率e的取值范围是______．

变式19．（2024·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设F1、F2分别为椭圆

x2y2

1ab0的左、右焦点，椭圆上存在点M，MF1F2，MF2F1，使得离

a2b2

sin

心率e，则e取值范围为．

sin

x2y2

变式20．（2024·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线C1：1（a0，

a2b2

2222

b0）和圆C2：xyab的一个交点，且2PF1F2PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1

的两个焦点，则双曲线C1的离心率为．

x2y2x2y2

变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆：1与双曲线：1共焦点，

a2b2m2n2

F1、F2分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为P，且离心率之积为1.若

sinF1PF22sinPF1F2，则该双曲线的离心率为.

题型七：利用余弦定理

例19．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知双曲线

x2y2

C:1a0,b0的左、右焦点分别为F1,F2，P是C右支上一点，线段PF1与C的

a2b2

π

左支交于点M．若FPF，且PMPF，则C的离心率为．

1232

x2y2

例20．（2024·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别

a2b2

为F1,F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C交于另一点B，若AF2B120，则椭圆C的离

心率为．

x2y2

例21．（2024·河北唐山·模拟预测）已知F1,F2是椭圆E:1(ab0)的左，右焦点，

a2b2

E上两点A,B满足3AF22F2B,AF12AF2，则E的离心率为．

x2y2

变式22．（2024·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知双曲线C:1a0,b0的离

a2b2

心率为2，左、右顶点分别为A1,A2，右焦点为F，点P在C的右支上，且满足PFFA2，

则tanA1PA2（）

1

A．B．1C．D．2

23

x2y2

变式23．（2024·河南·校联考二模）已知双曲线C:1a0,b0的左、右焦点分别

a2b2

是F1，F2，P是双曲线C上的一点，且PF15，PF23，F1PF2120，则双曲线C

的离心率是（）

777

A．7B．C．D．

234

x2y2

变式24．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点

a2b2

分别为F1，F2，点P在C上，且PF1F1F2，直线PF2与C交于另一点Q，与y轴交于点M，

若，则的离心率为（）

MF22F2QC

334721

A．B．C．D．

7737

变式25．（2024·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）已知双曲线C：

x2y2

1ab0的右焦点F的坐标为c,0，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近

a2b2

线上，O为坐标原点，若OPc，PF2a，则双曲线C的离心率为（）

A．3B．2C．5D．3

变式26．（2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知椭圆C：

x2y21

1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，若PF1a，PF1PF23b，

a2b22

则C的离心率为．

x2y2

变式27．（2024·广东深圳·高三校联考期中）设F1，F2是双曲线C：1a0,b0

a2b2

的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，4F2AMB，

BF2平分F1BM，则C的离心率为（）

1123

A．B．

33

334

C．D．

33

变式28．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知双曲线C：

x2y2

1a0,b0的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近

a2b2

线的垂线，垂足为M，且MF23OM，则C的离心率为（）

A．2B．2C．6D．22

题型八：内切圆问题

x2y2

例22．（2024·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）双曲线H:1(a,b0)其左、

a2b2

π

右焦点分别为F,F，倾斜角为的直线PF与双曲线H在第一象限交于点P，设△FPF内

123212

切圆半径为r，若PF223r，则双曲线H的离心率的取值范围为.

x2y2

例23．（2024·全国·高三对口高考）椭圆1(ab0)的四个顶点ABCD构成菱形的

a2b2

内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率e．

x2y2

例24．（2024·广东深圳·校考二模）已知椭圆1(ab0)的左､右焦点分别为

a2b2

△

F1(c,0)､F2(c,0)，P为椭圆上一点（异于左右顶点），PF1F2的内切圆半径为r，若r的最

c

大值为，则椭圆的离心率为.

3

x2y2

变式29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）双曲线C:1(a0,b0)的左，

a2b2

△

右焦点分别为F1，F2，右支上有一点M，满足F1MF290，F1MF2的内切圆与y轴相切，

则双曲线C的离心率为．

x2y2

变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为

a2b2

F1(c,0)，F2(c,0)，点Mx0,y0x0c是C上一点，点A是直线MF2与y轴的交点，AMF1

的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|2F1F2，则椭圆C的离心率e．

x2y2

变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：1ab0的左、右焦点分别

a2b2

1△

是F，F，斜率为的直线l经过左焦点F且交C于A，B两点（点A在第一象限），设AF1F2

1221

r

△1

的内切圆半径为r1，BF1F2的内切圆半径为r2，若2，则椭圆的离心率e．

r2

x2y2

变式32．（2024·福建泉州·高三校考阶段练习）已知椭圆C:1ab0的左、右焦

a2b2

1

点分别是F，F，斜率为的直线l经过左焦点F且交C于A，B两点（点A在第一象限），

1221

r

△△1

设AF1F2的内切圆半径为r1，BF1F2的内切圆半径为r2，若3，则椭圆的离心率

r2

e．

变式33．（2024·山东聊城·统考一模）F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的

△△△

一点，I是PF1F2的内切圆圆心，若PF1F2的面积等于IF1F2的面积的3倍，则椭圆C的

离心率为.

题型九：椭圆与双曲线共焦点

例25．（2024·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为

P，设F1PF22，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）

cos2sin2sin2cos2

A．221B．221

e1e2e1e2

e2e2e2e2

C．121D．121

cos2sin2sin2cos2

例26．（2024·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们的交点P对两公共焦

点F，F张的角为FPF.椭圆与双曲线的离心率分别为e，e，则

1212312

3113

A．221B．221

4e14e24e14e2

4e24e2

C．14e21D．4e221

3213

x2y2

例27．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图，P是椭圆C:1(ab0)与双

1a2b2

x2y2

曲线C:1(m0,n0)在第一象限的交点，且C1,C2共焦点

2m2n2

F1,F2,F1PF2,C1,C2的离心率分别为e1,e2，则下列结论不正确的是（）

13

A．PF1ma,PF2maB．若60，则224

e1e2

b

C．若90，则e2e2的最小值为2D．tan

122n

x2y2

变式34．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图，P是椭圆C:1(ab0)与

1a2b2

x2y2

双曲线C:1（m0,n0)）在第一象限的交点，且C1,C2共焦点

2m2n2

F1,F2,F1PF2,C1,C2的离心率分别为e1,e2，则下列结论正确的是（）

A．PF1=a+m,PF2=a-m

13

B．若60，则224

e1e2

22

C．若90，则e1e2的最小值为2

b

D．tan

2n

x2y2

变式35．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图，P是椭圆C:1(ab0)与

1a2b2

x2y2

双曲线C:1(m0,n0)在第一象限的交点，且C1,C2共焦点

2m2n2

F1,F2,F1PF2,C1,C2的离心率分别为e1,e2，则下列结论正确的是（）

13

A．PF1=a+m,PF2=a-mB．若60，则224

e1e2

n

C．若90，则e2e2的最小值为2D．tan

122b

11

变式36．（2024·新疆·统考三模）在ABC中，cosA，AC3，AB7，椭圆C1和双曲

14

线C2以A，B为公共焦点且都经过点C，则C1与C2的离心率之和为．

题型十：利用最大顶角

x2y2

例28．（2024·全国·高二课时练习）已知椭圆C：1(ab0)，点A，B是长轴的

a2b2

两个端点，若椭圆上存在点P，使得APB120，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

63

A．,1B．,1

32

23

C．0,D．0,

24

x2y2