2025年高考数学必刷题分类：第62讲、隐圆问题（教师版）

第62讲隐圆问题

必考题型全归纳

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长

例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）平面内，定点A，B，C，D满

足|DA||DB||DC|2，且DADBDBDCDCDA2，动点P，M满足|AP|1，PMMC，

则|BM|2的最大值为（）

3763372334349

A．B．C．D．

4444

【答案】D

【解析】由题|DA||DB||DC|，则D到A，B，C三点的距离相等，所以D是ABC的外心.

又DADBDBDCDCDA2，

变形可得DADBDBDCDB(DADC)DBCA0，

所以DBAC，同理可得DABC，DCAB，

所以D是ABC的垂心，

所以ABC的外心与垂心重合，

所以ABC是正三角形，且D是ABC的中心；

1

由DADB|DA||DB|cosADB|DA||DB|()2，解得|DA|2，

2

所以ABC的边长为23；

如图所示，以A为坐标原点建立直角坐标系，

则B(3,3)，C(3,3)，D(2,0)，|AP|1，

可设P(cos,sin)，其中[0，2]，而PMMC，

3cos3sin

即M是PC的中点，则M(,)，

22

3712sin()

cos3sin33371249，

|BM|2()2()26

22444

249

当时，|BM|2取得最大值为．

34

故选：D．

例2．（2024·全国·高一阶段练习）已知a,b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，

则|cb|的取值范围是（）

A．[21,21]B．[1,21]C．[0,2]D．[51,51]

【答案】D

【解析】单位向量a,b满足ab0，即ab，作OAa,OBb，以射线OA，OB分别作为

x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，

a(1,0),b(0,1)，设c(x,y)，则cab(x1,y1)，由|cab|1得：

(x1)2(y1)21，

x1cos

令(02π)，即c(1cos,1sin)，

y1sin

|cb|(1cos)2(2sin)262(2sincos)625sin()，其中锐角满

1

sin

5

足，

2

cos

5

因此，当sin()1时，，当sin()1时，

|cb|max62551

，

|cb|min62551

所以|cb|的取值范围是[51,51].

故选：D

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知单位向量a与向量b0,2垂直，若向量c满足

r

abc1，则c的取值范围为（）

313131

A．1,51B．,C．51,51D．,3

222

【答案】C

【解析】由题意不妨设a1,0，设cx,y，则abc1,00,2x,y1x,2y．

22

∵abc1，∴1x2y1，即表示圆心为1,2，半径为1的圆，设圆心为

22

P，∴OP125．

rr

2222

∵cxy表示圆P上的点到坐标原点的距离，51cxy51，∴c的取

值范围为51,51，

故选：C．

变式1．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）如果圆

(xa)2(ya)28上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（）

A．(3,3)B．(1,1)

C．(3,1)D．(3,1)(1,3)

【答案】D

2222

【解析】问题可转化为圆O:(xa)(ya)8和圆O1:xy2相交，

两圆圆心距d(a0)2(a0)22|a|，

由Rr|OO1|Rr得2222|a|222，

解得1|a|3，即a(3,1)(1,3).

故选：D

变式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点

的距离为2，则实数a的取值范围是（）

A．22，00，22B．22，22

C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，1）

【答案】A

【解析】∵圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，

∴圆O：x2+y2＝4与圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1相交，

∵|OC|a21，

由R﹣r＜|OC|＜R+r得：1＜a21＜3，

∴0＜a＜22，

∴﹣22＜a＜0或0＜a＜22．

故选A．

变式3．（2024·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点A，B，C，

D满足|DA||DB||DC|2，DABCDBACDCAB0，动点P，M满足|AP|1，

PMMC，则|BM|2的最大值为．

【答案】49

4

【解析】平面内，|DA||DB||DC|2，DABCDBACDCAB0，

DABC，DBAC，DCAB，

可设D(0,0)，A(2,0)，B(1,3)，C(1,3)，

动点P，M满足|AP|1，PMMC，

1cossin3

可设P(2cos,sin)，M(，)，

22

3cossin33

BM(，)，

22

3712sin()

23cossin336cos63sin3749，

BM()2()26

22444

当且仅当sin()1时取等号，

6

49

|BM|2的最大值为．

4

故答案为：49．

4

变式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习）在平面内，定点D与A、B、

C满足|DA||DB||DC|，DADBDBDCDCDA8，动点P、M满足AP2，

PMMC，则|BM|2的最大值为．

【答案】49

【解析】由|DA||DB||DC|，可得D为ABC的外心，

又DADBDBDCDCDA，

可得DB(DADC)0，DC(DBDA)0，即DBACDCAB0，

即有DBAC，DCAB，可得D为ABC的垂心，

则D为ABC的中心，即ABC为正三角形，

由DADB8,即有|DA||DB|cos1208,

解得|DA||BD|4，ABC的边长为24cos3043，

由PMMC，可得M为PC中点，

2

11

|BM|2(BPBC)(APABBC)2

24

1222

APABBC2APAB2APBC2ABBC，

4

22

设AP,AB，则AP,BC，AB,BC,

33

2122

|BM|[448482243cos2243cos24343cos]

433

213

2543[coscos()]123743(coscossin)

322

3712cos,

6

5

当(0,)时，最大值为49,

6

故答案为：49

题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值

例4．（2024·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，

P(2，2),Q(4,0)为两个定点，动点M在直线x=1上，动点N满足NO2NQ216，则

|PMPN|的最小值为．

【答案】5

【解析】设点N(x,y)，由NO2NQ216得：x2y2(x4)2y216，

即x2y24x0，即(x2)2y24，

N在以OQ为直径的圆上，不妨设N(2cos2,2sin)，M(1,m)，

则PM(3,m2)，PN(2cos4,2sin2)，

PMPN(2cos7,2sinm4)，

|PMPN|2(2cos7)2(2sinm4)2m28m694[(m4)sin7cos]

(m4)2534(m4)249sin()，其中为辅助角，

令(m4)249t，sin()a，则t7，1a1．

|PMPN|2t244at，

令f(t)t244at(t2a)244a2，t7，1a1，

f(t)在[7，)上单调递增，

故当t7时，f(t)取得最小值5328a，

再令g(a)5328a，1a1，

显然g(a)在[1，1]上单调递增，

故a1时，g(a)取得最小值532825，

综上，当t7，a1时，|PMPN|2取得最小值25．

故|PMPN|的最小值为5,

故答案为：5．

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知A,B,C,D四点共面，BC2，AB2AC220，

CD3CA，则|BD|的最大值为．

【答案】10

【解析】设ACm，由题意可得：DC3m,AB20m2，

AC2BC2AB2m28

则：cosC，

2ACBC2m

m220m2

ABC构成三角形，则：{，解得：2m4，

m220m2

由余弦定理：

m28

BDBC2CD22BCCDcosC49m2223m523m2，

2m

当m4时，BD取得最大值为10.

22

例6．（2024·浙江金华·高二校联考期末）已知圆C:x1y21，点A1，0，B1，0.

22

设P是圆C上的动点，令dPAPB，则d的最小值为．

【答案】1445

Px,y222222

【解析】设00，PAx01y0，PBx01y0，

2222222222

PAPBx01y0x01y0x02x01y0x02x01y0

2222

2x02y022x0y02，

22

当OP取得最小值时，PAPB取得最小值，

22

由圆C:x1y21，则圆心C1,2，半径r1，

2

易知OPOCr14151，则

mindmin25121445.

故答案为：1445.

变式5．（2024·高二课时练习）正方形ABCD与点P在同一平面内，已知该正方形的边长为

222

1，且PAPBPC，则PD的取值范围为.

【答案】22,22

【解析】如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则A0,0,B1,0,C1,1,D0,1，

222

设点Px,y，则由PAPBPC，

222

得x2y2x1y2x1y1，

2

整理得x2y12，

即点P的轨迹是以点M0,1为圆心，2为半径的圆，

圆心到点的距离为DM2，所以，

MDPDmin22,PDmax22

所以PD的取值范围是22,22.

故答案为：22,22.

变式6．（2024·上海闵行·高二校考期末）如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC

uuruuruuur

所在的平面内，且|PA|2|PB|2|PC|2a（a为常数），满足条件的点P有无数个，则实数

a的取值范围是．

【答案】a1

【解析】以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系，如图所示：

311

则A(0,),B(,0),C(,0),设P(x,y),则

222

23211

|PA|x2(y)2,|PB|(x)2y2,|PC|2(x)2y2

222

|PA|2|PB|2|PC|2a

311

:x2(y)2(x)2y2(x)2y2a

222

22531

化简得3x3y3ya0,即x2(y)2(a1).

463

当a1时，点P(x,y)不存在；

当a1时，点P(x,y)只有一个；

当a1时，点P(x,y)的轨迹是一个圆形，有无数个；

故答案为：a1

变式7．（2024·全国·高三专题练习）如图，ABC是边长为1的正三角形，点P在ABC所

在的平面内，且PA|2PB|2|PC|2a（a为常数），下列结论中正确的是

A．当0a1时，满足条件的点P有且只有一个

B．当a1时，满足条件的点P有三个

C．当a1时，满足条件的点P有无数个

D．当a为任意正实数时，满足条件的点总是有限个

【答案】C

【解析】以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示

31，1，

则A0,，B0，C0，

222

2

2

设，可得23，

Px,yPAxy

2

22

22

1212

PBxy，PCxy，

22

∵|PA|2|PB|2|PC|2a，

222

∴231212，

xyxyxya

222

22535a

化简得：3x3y3ya0，即x2y2y0，

43123

2

配方，得231（）

xya1…1

63

当a1时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；

，3

当a1时，方程（1）的右边为0，表示点0，恰好是正三角形的重心；

6

，31

当a1时，方程（1）的右边大于0，表示以0为圆心，半径为ra1的圆，

63

由此对照各个选项，可得只有C项符合题意.

故选：C．

题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°

例7．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知圆

C:(x1)2(y3)210和点M5,t，若圆C上存在两点A,B使得MAMB，则实数t的取

值范围是．

【答案】1t5

【解析】对于x5上任意一点M，当AM,BM均为圆的切线时AMB最大，

由题意，AMB90，即MAMB，此时M为满足题设条件的临界点，

|AC|2

如上图，若B与B重合，则MAMB，AM,BM为圆的切线，此时，

|CM|2

|AC|2102

综上，M在临界点之间移动过程中，有，即，

|CM|2(51)2(t3)22

解得(t3)24，可得1t5.

故答案为：1t5

例8．（2024·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，

t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是

【答案】[2，6]

【解析】因为点M在圆C外，当AM，BM与圆C相切时，∠AMB最大，要使在圆C上存

在两点A和B，使得MA⊥MB，只需当AM，BM与圆C相切时，

102

∠AMB≥90°，即∠AMC≥45°，则sin∠AMC＝22≥，解得2≤t≤6.

51t42

故答案为：[2，6].

例9．（2024·高二课时练习）设mR，过定点A的动直线mxy0和过定点B的动直线

xmy4m30交于点P，则PAPB的取值范围是（）

A．5,25B．25,5

C．5,52D．5,10

【答案】C

【解析】由已知可得动直线mxy0经过定点A0,0，

动直线xmy4m30经过定点B3,4，

且两条直线互相垂直，且相交于点P，

222

所以PAPB，即PAPBAB25，

22222

由基本不等式可得PAPBPAPB2PAPB，

2

即25PAPB50，可得5PAPB52，

故选：C.

变式8．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设mR，过定点A的动直线

xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点Px,y，则PAPB的最大值是（）

A．5B．10C．5D．10

【答案】C

【解析】

显然xmy0过定点A(0,0)，直线mxym30可化成ym(x1)3，则经过定点B(1,3)，

根据两条直线垂直的一般式方程的条件，1mm(1)0，

于是直线xmy0和直线mxym30垂直，又P为两条直线的交点，则PAPB，

又AB(10)2(30)210，由勾股定理和基本不等式，

222

PAPBAB102PAPB，则PAPB5，

当PAPB5时，PAPB的最大值是5.

故选：C

变式9．（2024·高二课时练习）设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线

mxym30交于点P(x,y)，则|PA|2|PB|2的值为（）

10

A．5B．10C．D．17

2

【答案】B

【解析】由题意，动直线xmy0经过定点0,0，则A0,0，

动直线mxym30变形得mx13y0，则B1,3，

xmy0m23m3m

由得P2,2，

mxym30m1m1

2222

m23m3mm23m3m

∴22

|PA||PB|222123

m1m1m1m1

2222

m23m3m3m13m2m

2

m21

m46m3m296mm29m26m1m46m3m2

2

m21

10m420m210

210，

m21

故选：B．

变式10．（2024·全国·高三校联考阶段练习）设mR，动直线l1：xmy0过定点A，动

直线l2：mxym30过定点B，且l1，l2交于点Px,y，则PAPB的最大值是（）

A．10B．25C．5D．10

【答案】B

【解析】根据方程推出l1l2，可得l1，l2的交点Px,y在以AB为直径的圆上，可得

222

|PA||PB||AB|10，再根据不等式知识可求得结果.动直线l1：xmy0过定点

A(0,0)，动直线l2：mxym30过定点B(1,3)，

因为1mm(1)0，所以l1l2，所以l1，l2的交点Px,y在以AB为直径的圆上，

所以|PA|2|PB|2|AB|2113210，

设PAPBt|AB|10，则|PA|2|PB|22|PA||PB|t2，

所以2|PA||PB|t210，因为|PA|2|PB|22|PA||PB|，当且仅当|PA||PB|时等号成立，

所以10t210，即t220，解得10t25.即10|PA||PB|25，

所以PAPB的最大值是25.

故选：B

1

变式11．（2024·全国·高三专题练习）设向量a，b，c满足|a||b|1，ab，

2

(ac)(bc)0，则|c|的最小值是（）

3131

A．B．C．3D．1

22

【答案】B

【解析】建立坐标系，以向量a，b的角平分线所在的直线为x轴，使得a，b的坐标分别

3131

为,，,，设c的坐标为x,y，

2222

因为(ac)(bc)0，

2

3131

所以，化简得321，

x,yx,y0xy

222224

31

表示以,0为圆心，为半径的圆，

22

则|c|的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，

331

因为圆到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为，

222

故选：B

变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点A(1m,0)，B(1m,0)，若圆C：

x2y28x8y310上存在一点P，使得PAPB，则实数m的最大值是（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【解析】根据题意，圆C：x2+y2-8x-8y+31=0，即（x-4）2+（y-4）2=1；

其圆心为（4，4），半径r=1，

设AB的中点为M，

又由点A（1-m，0），B（1+m，0），则M（1，0），|AB|=2|m|，

以AB为直径的圆为（x-1）2+y2=m2，

若圆C：x2+y2-8x-8y+31=0上存在一点P，使得PA⊥PB，则圆C与圆M有公共点，

又由MC(14)2(04)25，

即有|m|-1≤5且|m|+1≥5，

解可得：4≤|m|≤6，即-6≤m≤-4或4≤m≤6，

即实数m的最大值是6；

故选C．

变式13．（2024·江西宜春·高一江西省万载中学校考期末）已知a，b是平面内两个互相垂

r

直的单位向量，若向量c满足(ac)(2bc)0，则c的最大值是（）

5

A．2B．2C．5D．

2

【答案】C

【解析】如图，设OAa，OBb，OE2b，OCc，

则acCA，2bcCE，

因为(ac)(2bc)0，故CACE0，故CACE，

r

所以C在以AE为直径的圆上，故c的最大值为圆的直径AE145，

故选：C.

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c

r

满足(ac)(bc)0，则c的最大值是（）

A．1B．2

2

C．2D．

2

【答案】C

【解析】设OAOB，且OAa,OBb,OCc，D为线段AB的中点，

2

因为ab1，所以AB2,AD，

2

22212

则(ac)(bc)CACBCDDACD0，所以CD，

22

2r

所以点C在以D为圆心，半径为的圆，所以c的最大值即为该圆的直径，

2

r

所以c的最大值为2.

故选：C.

变式15．（2024·湖北武汉·高二校联考期中）已知a和b是平面内两个单位向量，且a,b，

3

r

若向量c满足acbc0，则c的最大值是（）

231

A．1B．C．2D．3

22

【答案】B

【解析】如图所示：

设OAa，OBb，OCc，

则CAac，CBbc，

因为acbc0，所以CACB0，即CACB.

所以C在以AB为直径的圆上.

设AB的中点为D，因为a和b是平面内两个单位向量，且a,b，

3

2

13

所以AB1，OD1.

22

113

所以cOD.

max22

故选：B

变式16．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知向量a，b是平面

内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足acb2c0，则c的最大值是（）

535

A．2B．C．D．

225

【答案】B

【解析】因为a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，

故可设a1,0，b0,1，cx,y，

则ac1x,y，b2c2x,12y，

因为acb2c0，所以1x2xy12y0，

22

221115

整理得到xyxy0，即xy，

22416

r22

221155

故cxy的最大值为++=，

2442

故选：B.

题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值

1

例10．（2024·全国·高一专题练习）设向量a,b,c满足a=b1，ab，ac,bc60，

2

则|c|的最大值等于.

【答案】2

ab12

【解析】由题设，cosa,b，而a,b[0,]，则a,b，

|a||b|23

令aOA,bOB,cOC，则acCA,bcCB，又ac,bc60，如下图示：

2

所以AOB，ACB，则AOBACB，故A,O,B,C共圆，

33

3

222R2

而|AB|2(ba)2b2aba3，即|AB|3，故外接圆直径，

sin

3

对于|c|，当OC为直径时最大，即|c|max2.

故答案为：2.

例11．（2024·全国·高三专题练习）在边长为8正方形ABCD中，点M为BC的中点，N是

AD上一点，且DN3NA，若对于常数m，在正方形ABCD的边上恰有6个不同的点P，

uuuuruuur

使得PMPNm，则实数m的取值范围为.

【答案】(1,8)

【解析】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则M(8,4)，N(0,2)，

（1）当点P在AB上时，设P(x,0)，0x8，

∴PN(x,2)，PM(8x,4)，

∴PMPNx28x8，

∵0x8，

∴8PMPN8．

∴当m8时有一解，当8m8时有两解；

（2）当点P在AD上时，设P(0,y)，0y8，

∴PN(0,2y)，PM(8,4y)，

∴PMPNy26y8，

∵0y8，

∴1PMPN24，

∴当m1或8m24时有一解，当1m8时有两解；

（3）若P在DC上，设P(x,8)，0x8，

∴PN(x,6)，PM(8x,4)，

∴PMPNx28x24，

∵0x8，

∴8PMPN24．

∴当m8时有一解，当8m24时有两解；

（4）当点P在BC上时，设P(8,y)，0y8，

∴PN(8,2y)，PM(0,4y)，

∴PMPNy26y8，

∵0y8，

∴1PMPN24，

∴当m1或8m24时有一解，当1m8时有两解，

uuuuruuur

综上，在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得PMPNm成立，那么

m的取值范围是(1,8)，

故答案为：(1,8)．

例12．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，连接对角线BD，已知CD9，

4

BD16，BDC=90，sinA，则对角线AC的最大值为（）

5

A．27B．16C．10D．25

【答案】A

【解析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则

4

D(0,0),B(16,0),C(0,9),因为sinA，|BD|16，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧

5

（因为为平面四边形ABCD，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定理

1|BD|116

10E(8,6)

可得圆半径为2sinA24，

5

因此对角线AC的最大值为|CE|1082(69)21027,

故选：A

变式17．（2024·全国·高考真题）设向量a,b,c满足ab2，ab2，ac,bc60，

v

则c的最大值等于

A．4B．2C．2D．1

【答案】A

【解析】

ab1

因为ab2，ab2，所以cosa,b,

a,b120.

ab2

如图所以，设OAa,OBb,OCc，则CAac,

CBbc,

AOB120.

所以ACB60，所以AOBACB180，所以A,O,B,C四点共圆.

222

不妨设为圆M，因为ABba,所以ABa2abb12.

AB

所以AB23,由正弦定理可得AOB的外接圆即圆M的直径为2R4.

sinAOB

所以当OC为圆M的直径时，c取得最大值4.

故选A.

变式18．（2024·全国·高三专题练习）在平面内,设A、B为两个不同的定点,动点P满

足:PAPBk2(k为实常数)，则动点P的轨迹为（）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．不能确定

【答案】A

【解析】设AB2a，以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系

如图所示：

则A(a,0),B(a,0)设P(x,y)

PAPB(ax,y)(ax,y)x2y2a2k2

即x2y2a2k2，表示圆

故选：A

变式19．（2024·全国·高三专题练习）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB2，CD4，

BCAD5,E和F分别为AD与BC的中点，对于常数，在梯形ABCD的四条边上恰

好有8个不同的点P，使得PEPF成立，则实数的取值范围是

59511

A．(,)B．(,)

42044

11191

C．(,)D．(,)

44204

【答案】D

【解析】以DC所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

33

则梯形的高为512,∴A(−1,2),B(1,2),C(2,0),D(−2,0),∴E,1