2025年高考数学必刷题分类：第66讲、抛物线及其性质（教师版）

第66讲抛物线及其性质

知识梳理

知识点一、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F

叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

注：若在定义中有Fl，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F．

知识点二、抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)，

其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

图形

标准

y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)

方程

顶点O(0，0)

范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR

对称轴x轴y轴

pppp

焦点F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)

2222

离心率e1

pppp

准线方程xxyy

2222

焦半径p

pAFx1pp

AFx12AFy1AFy1

，222

A(x1y1)

【解题方法总结】

2

1、点P(x0,y0)与抛物线y2px(p0)的关系

（）在抛物线内（含焦点）2．

1Py02px0

（）在抛物线上2．

2Py02px0

2

（3）P在抛物线外y02px0．

2、焦半径

2

抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F的距离称为焦半径，若y2px(p0)，则焦半径

pp

PFx，PF．

02min2

3、p(p0)的几何意义

p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大．

4、焦点弦

2

若AB为抛物线y2px(p0)的焦点弦，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有以下结论：

p2

（1）xx．

124

2

（2）y1y2p．

（）焦点弦长公式：，，当时，焦点弦取

31ABx1x2px1x22x1x2px1x2

最小值2p，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p．

2p

焦点弦长公式2：AB（为直线AB与对称轴的夹角）．

sin2

p2

（4）AOB的面积公式：S（为直线AB与对称轴的夹角）．

AOB2sin

5、抛物线的弦

2

若AB为抛物线y2px(p0)的任意一条弦，A(x1,y1),B(x2,y2)，弦的中点为

M(x0,y0)(y00)，则

1

（1）弦长公式：AB1k2xx1yy(kk0)

12k212AB

p

（2）kAB

y0

p

（3）直线AB的方程为yy0(xx0)

y0

y

（4）线段AB的垂直平分线方程为yy0(xx)

0p0

A

6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）

4

AA

（1）y2Ax(A0)焦点为(,0)，准线为x

44

AA

（2）x2Ay(A0)焦点为(0,)，准线为y

44

y11

如y4x2，即x2，焦点为(0,)，准线方程为y

41616

7、参数方程

2

2x2pt

y2px(p0)的参数方程为（参数tR）

y2pt

8、切线方程和切点弦方程

2

抛物线y2px(p0)的切线方程为y0yp(xx0)，(x0,y0)为切点

切点弦方程为y0yp(xx0)，点(x0,y0)在抛物线外

与中点弦平行的直线为y0yp(xx0)，此直线与抛物线相离，点(x0,y0)（含焦点）是

弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．

9、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．

pp

对于抛物线y22px(p0)，由A(，p)，B(，p)，可得|AB|2p，故抛物线的

22

通径长为2p．

p

10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：y

0k

11、焦点弦的常考性质

已知，、，是过抛物线2焦点的弦，是的中点，是

A(x1y1)B(x2y2)y2px(p0)FMABl

抛物线的准线，MNl，N为垂足．

（1）以AB为直径的圆必与准线l相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；

（2）FNAB，FCFD

p2

（3）xx；yyp2

12412

（4）设BDl，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上

必考题型全归纳

题型一：抛物线的定义与方程

2

例1．（2024·福建福州·高三统考开学考试）已知点Px0,2在抛物线C：y4x上，则P

到C的准线的距离为（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】C

【解析】抛物线y24x的准线为x=1，

2

将Px0,2代入y4x得x01，

故P到准线的距离为2，

故选：C．

例2．（2024·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继

东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的

拱顶可近似地看作抛物线x216y的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物

线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（）

A．6B．233C．834D．31

【答案】B

【解析】如图所示：

设鸽子所在位置为点Px,yx0,y0，

因为它到抛物线焦点的距离为10米，

所以y410，解得y6，

则x216696，

所以鸽子到拱顶的最高点的距离为OPx2y2233，

故选：B

例3．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，

直线x2交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PRQR，则C的方程为（）

A．y24xB．y26xC．y28xD．y212x

【答案】C

p

【解析】由题可设抛物线的方程为y22pxp0，则准线方程为x，

2

当x2时，可得y2p，

p

可得P2,2p,Q2,2p，又R,0，PRQR，

2

2p2p2

1p

所以pp，即24p，

222

22

解得p4，

所以C的方程为y28x.

故选：C

4

变式1．（2024·陕西渭南·高三统考阶段练习）抛物线yx2的焦点坐标为（）

3

3312

A．,0B．0,C．,0D．0,

161633

【答案】B

43

【解析】抛物线yx2的标准形式为x2y，

34

所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，

3p33

且2p,，所以焦点坐标为0,.

421616

故选：B

变式2．（2024·全国·高三校联考开学考试）过抛物线C:x22pyp0的焦点F的直线l交

C于A,B两点，若直线l过点P1,0，且AB8，则抛物线C的准线方程是（）

3

A．y=3B．y=2C．yD．y1

2

【答案】D

pp

【解析】因为直线l过点F0,,P1,0，所以直线l的方程为yx1.

22

p

yx1

由2得，x2p2xp20,Δ=p44p20.

2

x2py

22

设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1x2p,x1x2p.

222

pp2p42

因为AB1x2x11x1x24x1x21p4p

444

pp24

8，

2

整理得p34p16p2p22p8)0，解得p2，

p

所以抛物线C的准线方程是y1.

2

故选：D.

变式3．（2024·广西防城港·高三统考阶段练习）已知点A，B在抛物线y24x上，O为坐标

原点，若OAOB，且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是（）

A．x20B．x30C．x40D．x50

【答案】D

【解析】如图所示，F1,0为AOB的垂心，F为焦点，

OAOB，OF垂直平分线段AB，直线AB垂直于x轴．

设A4t2,4t，B4t2,4t，其中t0，

F为垂心，OBAF，kOBkAF1，

4t4t5

即1，解得t2，

4t24t214

直线AB的方程为x4t25，即x50．

故选：D．

变式4．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知抛物线

E:y22px(p0)的焦点为F，准线为l，过E上的一点A作l的垂线，垂足为B，点Cp,0，

AF与BC相交于点D．若AF3FC，且ACD的面积为32，则E的方程为（）

A．y24xB．y243x

C．y28xD．y283x

【答案】C

2pp

【解析】设点A(x0,y0)，抛物线E:y2px的焦点F(,0)，准线x，

22

pp

由AF3FC得：x3(p)，解得xp，不妨令点A在第一象限，则A(p,2p)，

0220

ACFC，如图，

|AD||AB||AF|12p

因为AB//FC，则3，即有点D到x轴距离h|AC|，

|DF||FC||FC|44

111p132p2

SSS|AC||FC||FC|h(2p2p)32，解得

ACDACFDCF2222416

p4，

所以E的方程为y28x.

故选：C

【解题方法总结】

求抛物线的标准方程的步骤为：

（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：

（2）根据题目条件列出P的方程

（3）解方程求出P，即得标准方程

题型二：抛物线的轨迹方程

例4．（2024·高三课时练习）已知点F（1，0），直线l:x1，若动点P到点F和到直线l

的距离相等，则点P的轨迹方程是.

【答案】y24x

【解析】根据抛物线定义可知，点P在以F1,0为焦点，直线l:x1为准线的抛物线上，

p

所以1，p2，抛物线方程为y24x.

2

故答案为：y24x.

例5．（2024·全国·高三专题练习）在平面坐标系中，动点P和点M(3,0)、N(3,0)满足

|MN||MP|MNNP0，则动点P(x,y)的轨迹方程为．

【答案】y212x

【解析】由题意MN(6,0),MP(x3,y),NP(x3,y)，

由|MN||MP|MNNP0得6(x3)2y26(x3)0，

化简得y212x．

故答案为：y212x．

例6．（2024·全国·高三专题练习）与点F0,3和直线y30的距离相等的点的轨迹方程

是．

【答案】x212y

【解析】由抛物线的定义可得平面内与点F0,3和直线y30的距离相等的点的轨迹为

抛物线，且F0,3为焦点，直线y3为准线，

设抛物线的方程为x22py(p0)，

p

可知=3，解得p=6，

2

所以该抛物线方程是x212y，

故答案为：x212y

2

变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知动点Mx,y的坐标满足x2y2x2，则

动点M的轨迹方程为．

【答案】y28x

2

【解析】设F2,0，直线l:x2，则动点M到点F的距离为x2y2，动点M到直线

2

l:x2，的距离为x2，又因为x2y2x2，

所以动点M的轨迹是以F2,0为焦点，x2为准线的抛物线，其轨迹方程为y28x．

故答案为：y28x

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知动点M(x,y)到定点F(1,0)与定直线x0的距离的

差为1．则动点M的轨迹方程为．

【答案】y24x(x0)，y0(x0)（注：y22|x|2x也算对）

【解析】由题意，若x0时，问题等价于|MF||x1|，

则(x1)2y2(x1)2，化简得y24x(x0)，

若x0，y0也满足题意.

所以动点M的轨迹方程为y24x(x0)，y0(x0).

或者根据题意有|MF||x|1，则(x1)2y2|x|1，化简整理得：y22|x|2x.

所以动点M的轨迹方程为y22|x|2x.

故答案为：y24x(x0)，y0(x0)（注：y22|x|2x也算对）

变式7．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）点A(1,0)，点B是x轴上的动点，线

段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则P点的轨迹方程为．

【答案】y24x(x0)

xmyxmy

【解析】设P(x,y)，B(m,0)，则中点E坐标为E(,)，由0得mx，即E(0,)，

2222

又AEPB，

y

若x0，则y，即y24x，

kk21

AEPB012x

若x0，则m0，P,B重合，直线PB不存在．

所以轨迹方程是y24x(x0)．

故答案为：y24x(x0)．

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直

线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是．

【答案】y2＝﹣8x

【解析】设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y），由题意可得PC＝1+r，即

(x2)2y2＝1+1﹣x，化简可得y2＝﹣8x.

故答案为：y2＝﹣8x．

2

变式9．（2024·河南·校联考模拟预测）一个动圆与定圆F:x3y24相外切，且与直线

l:x1相切，则动圆圆心的轨迹方程为．

【答案】y212x

【解析】由题意可知，圆F的圆心为F3,0，半径为2，

2

由于动圆与定圆F:x3y24相外切，且与直线l:x1相切，

动圆圆心到点F的距离比它到直线l的距离大2，

所以，动圆圆心到点F的距离等于它到直线x3的距离，

所以，动圆圆心的轨迹是以点F3,0为圆心，以直线x3为准线的抛物线，

p

设动圆圆心的轨迹方程为y22px，则=3，可得p=6，

2

所以，动圆圆心的轨迹方程为y212x.

故答案为：y212x.

变式10．（2024·上海·高三专题练习）已知点A(1,0)，直线l：x=1，两个动圆均过点A且

与l相切，其圆心分别为C1、C2，若动点M满足2C2MC2C1C2A，则M的轨迹方程

为.

【答案】y22x1

2

【解析】由抛物线的定义得动圆的圆心轨迹方程y4x，设C1a,b，C2m,n，Mx,y，

2

根据2C2MC2C1C2A可得a2x1，b2y，利用b4a可求得结果.由抛物线的定义得

动圆的圆心轨迹是以A(1,0)为焦点，直线l：x=1为准线的抛物线，其方程为y24x，

设C1a,b，C2m,n，Mx,y，因为动点M满足2C2MC2C1C2A，

所以2xm,ynam,bn1m,n，即2xa1，2yb，

2

所以a2x1，b2y，因为b24a，所以2y42x1，

所以y22x1，即M的轨迹方程为y22x1.

故答案为：y22x1

变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知点A(4,4)、B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，

且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方

程为

【答案】x24y(x4)

y4y4

【解析】设M(x,y)，由题意可得：2，化简可得曲线C的轨迹方程．设M(x,y)，

x4x4

y4y4

由题意可得：2，

x4x4

化为x24y．

曲线C的轨迹方程为x24y且(x4)．

故答案为：x24y(x4)．

【解题方法总结】

常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动

点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称

的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志

的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在

求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题

例7．（2024·江苏无锡·校联考三模）已如P3,3，M是抛物线y24x上的动点（异于顶点），

2

过M作圆C:x2y24的切线，切点为A，则MAMP的最小值为.

【答案】3

222

【解析】依题意，设M(x0,y0),x00，有y04x0，圆C:(x2)y4的圆心C(2,0)，半

径r2，

于是22222，

|MA||MC|r(x02)y04x0x0

因此MAMPx0MP，表示抛物线C上的点M到y轴距离与到定点P的距离的和，

而点P在抛物线C内，当且仅当M是过点P垂直于y轴的直线与抛物线C的交点时，

x0MP取得最小值3，所以MAMP的最小值为3.

故答案为：3.

2

例8．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知点Px0,y0是抛物线y4x上的动点，则

2x0x0y01的最小值为.

【答案】22/22

2

【解析】由题可知，过抛物线y4x上的动点Px0,y0作直线l:xy10的垂线交直线

于M，过点Px0,y0作y轴的垂线交y轴于Q，交准线于G点，F为抛物线焦点，

由y24x，得p2，所以F1,0，如图所示

|x0y01|

则PM,动点Px0,y0到y轴的距离为PQ|x|x(x0).

2000

|x0y01|

所以x0PQPMPGPM1PFPM1，

2

当且仅当F、P、M三点共线时，PQPM有最小值，即

PQPMPFPM1MF1(此时MF为点F到直线l的距离)，

11

所以F1,0到直线l:xy10的距离为MF2，

2

|x0y01|

所以x0MF121，

2

|x0y01|

所以2x0x0y012x022.

2

所以2x0x0y01的最小值为22.

故答案为：22

例9．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）函数fx4x43x24x54x415x22x17

的最大值为．

【答案】32

222

【解析】将给定的函数表达式变形为f(x)(x2)22x21x12x24，

问题转化为求点Px,2x2到点A(2,1)与B(1,4)距离之差的最大值，

而点P的轨迹为抛物线y2x2，如图所示，

由A、B的位置知直线AB必交抛物线y2x2于第二象限的一点C，

由三角形两边之差小于第三边可知P位于C时，f(x)才能取得最大值.

f(x)max|AB|9932.

故答案为：32.

变式12．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知斜率为3的直线l过抛物线

y22px(p0)的焦点F，且与该抛物线交于A,B两点，若AB8,P为该抛物线上一点，Q

2

32

为圆C:x(y1)1上一点，则PFPQ的最小值为.

2

【答案】101/110

p

【解析】由题可知直线AB的方程为y3x，设Ax1,y1,Bx2,y2，则

2

p

y3x

由2,消去y，整理得12x220px3p20，，

2

y2px

5p

所以xx，

123

5p8p

所以ABxxpp8，解得p3，

1233

33

所以F,0，而圆C的圆心C,1,

22

因为PFPQQFCFCQCF1，

当且仅当点C,Q,P,F在同一条直线上取等号，且点Q位于点C,P之间，如图所示：

2

332

又CF110，

22

所以PFPQ的最小值为101.

故答案为：101.

变式13．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）已知抛物线C:y216x，其焦点为F，PQ是过点

F的一条弦，定点A的坐标是2,4，当|PA||PF|取最小值时，则弦PQ的长是.

【答案】25

【解析】抛物线C:y216x的焦点F4,0，准线为x=4，

如图，过点P作准线x=4的垂线PP，垂足为P，

则PFPP，

所以PAPFPAPPPA，当且仅当A,P,P三点共线时取等号，

所以当PAPF取最小值时，A2,4P点的横坐标为4，

当y4时，x1，即P1,4，

404

所以k，

PQ143

4

所以直线PQ的方程为y4x1，

3

4

y4x1

联立3，消y得x217x160，解得x1或x16，

2

y16x

当x1时，y4，即Q16,16，

22

所以PQ11641625.

故答案为：25.

变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知点M为抛物线y22x上的动点，点N为圆

x2(y4)25上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为..

【答案】65251

2

11

【解析】由题可知，抛物线y22x的准线方程为x=，焦点坐标为F(,0)，

22

1

由抛物线的定义可知点M到y轴的距离即为MF，

2

圆x2(y4)25的圆心坐标为E0,4，半径为R5，

1

故点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和MFMN，

2

根据圆的性质可知点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为

165165251

EFR5.

2222

65251

故答案为：.

2

变式15．（2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）过点1，0的直线l交抛

物线y24x于A、B两点，点C的坐标为3，1.设线段AB的中点为M，则2MCAB的最

小值为.

【答案】8

【解析】由题意抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=1，过点B,A作准线的垂线，

垂足分别为B1，A1，取A1B1的中点为M1，连接M1M，如下图所示：

点C到准线的距离为d4，易知四边形A1ABB1为直角梯形，则由抛物线的定义可得

ABAFFBB1BAA12MM1.

即2MCAB2MCMM12d8（当M,M1,C三点共线时，取等号）

即2MCAB的最小值为8.

故答案为：8

2

变式16．（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知Px0,y0是抛物线y4x上一点，则

5x02x0y013的最小值为.

【答案】155/515

2

【解析】由题可知，过抛物线y4x上的动点Px0,y0作直线l:2xy130的垂线交

直线于M，过点Px0,y0作y轴的垂线交y轴于Q，交准线于G点，F为抛物线焦点.

由y24x，得p2，所以F1,0，如图所示

|2x0y013|

则PM,动点Px0,y0到y轴的距离为PQ|x|x(x0).

5000

|2x0y013|

所以x0PMPQPMPG1PMPF1,

5

当且仅当F、P、M三点共线时，PMPQ有最小值，即PMPQPMPF1MF1,(

MF为点F到直线l的距离).

所以F1,0到直线l:2xy130的距离为

2101315

MF35.

55

|2x0y013|

所以x0MF1351，

5

|2x0y013|

所以5x02x0y0135x05351155.

5

所以5x02x0y013的最小值为155.

故答案为：155.

变式17．（2024·江西南昌·高三统考阶段练习）已知抛物线y24x的焦点为F，过F的直线

交抛物线于A，B两点，则AF4BF的最小值是．

【答案】9

【解析】依题意，

因为抛物线y24x的焦点为F，所以F1,0，p2

①当k斜率存在时：因为直线交抛物线于A，B两点，所以k0，

设过F的直线的直线方程为：ykx1，Ax1,y1,Bx2,y2，

pp

由抛物线定义得：AFx,BFx，

1222

ykx1

由消y整理得：222，

2kx2k4xk0

y4x

1

所以x1x21，即x2，

x1

5p44

所以AF4BFx14x2x152x159；

2x1x1

p

②当k不存在时，直线为x1，此时AFBF12，

2

所以AF4BF24210；

综上可知，AF4BF的最小值为：9.

故答案为：9.

变式18．（2024·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线y28x上的

PO

动点，Q是圆(x2)2y21上的动点，则的最大值是.

PQ

474

【答案】/7

77

【解析】抛物线y28x的焦点为F2,0，准线为l:x2，

2

圆x2y21的圆心为F2,0，半径r1，

过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义可知PBPF，

设Px,y，则222，，

00POx0y0x08x0PQPF1PB1x021x01

POx28xx28x

所以0000，

2

PQx01(x01)

令tx01，则x0t1，

x28x(t1)28(t1)111316

所以0022，

227()6()17()

(x01)tttt77

137131647

所以当即t时，7()2取到最大值，

t73t777

x28x

所以00的最大值为47，

2

(x01)7

POx28x47PO

因此，00，所以的最大值是47

2.

PQ(x01)7PQ7

47

故答案为：.

7

2

变式19．（2024·江西·校联考模拟预测）已知Px1,y1,Qx2,y2是拋物线x4y上两点，且

23

yy2|PQ|，F为焦点，则PFQ最大值为.

123

2

【答案】π

3

【解析】拋物线x24y的焦点F0,1，

2

由题得，yy2y1y1PFQF3PQ，

12123

3

即PQPFQF，

2

2232

222PFQFPFQF

故PFQFPQ

cosPFQ4

2PFQF2PFQF

22

PFQF6PFQF2PFQF6PFQF1

=，

8PFQF8PFQF2

1

即cosPFQ，因为PFQ0,π，且余弦函数在0,π内单调递减，

2

2π

故PFQ，当且仅当PFQF时成立.

3

2π

故答案为：.

3

变式20．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线y24x上的动

22

点，P到y轴的距离为d1，到圆C:x3y34上动点Q的距离为d2，则d1d2的

最小值为．

【答案】2

【解析】圆C:(x3)2(y3)24的圆心为C(3,3)，半径r2，

抛物线y24x的焦点F(1,0)，准线方程为x=1，

过点P作准线x=1的垂线，垂足为P，

2

因为P是抛物线y4x上的动点，P到y轴的距离为d1，

22

到圆C:(x3)(y3)4上动点Q的距离为d2，

所以d1PP1PF1，d2PQPC2，当且仅当P,Q,C三点共线时等号成立，且

点Q在线段PC上，

所以d1d2PF1PC2，

又PFPCFC，当且仅当点P为线段FC与抛物线的交点时等号成立，又

FC(31)2(30)25，

所以d1d22，

当且仅当点P为线段FC与抛物线的交点，点Q为线段FC与圆C的交点时等号成立，

所以d1d2的最小值为2，

故答案为：2

22

m2m217

变式21．（2024·河南·校联考模拟预测）m的最小值为．

6622

【答案】533

2

m23

【解析】易知动点P,m的轨迹为抛物线C:y26x，C的焦点为F,0，设P到C

62

17

的准线的距离为d，A,，

22

2222

m23m21773153

则mdPAPFPAAF，

626222222

22

m2m217533

故m的最小值为．

66222

533

故答案为：.

2

变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知点M3,2是坐标平面内一定点，若抛物线

y22x的焦点为F，点Q是抛物线上的一动点，则MQQF的最小值是.

5

【答案】/2.5

2

【解析】

1

抛物线的准线方程为x，

2

过点Q作QQ垂直准线于点Q，

MQQFMQQQ

显然，当MQ平行于x轴时，

MQQF取得最小值，此时Q2,2，

15

此时MQQF232

22

5

故答案为:.

2

变式23．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知P为抛物线y24x

2

上的一个动点，Q为圆x2y41上的一个动点，那么点P到点Q的距离与点