2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若一条直线经过两点(1,0)和(−2,3)，则该直线的倾斜角为A.π6 B.π3 C.2π32.空间一点P在xOy平面上的射影为M(2,4,0)，在xOz平面上的射影为N(2,0,7)，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为(

)A.(2,4,7) B.(0,0,7) C.(0,4,7) D.(0,2,7)3.已知⊙C：x2+y2A.(−12,22)，1 B.(−1,22)，4.若方程x22+m+y25−2mA.−2<m<52 B.m>1

C.−2<m<1或1<m<55.我们把由0和1组成的数列称为0−1数列，0−1数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列{Fn}(F1=F2=1,Fn+2=Fn+Fn+1)中的奇数换成0，偶数换成1A.35 B.32 C.29 D.266.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，设g(x)=e−x⋅f(x)，若函数A.a<b，b<c B.a>b，b>c C.ba>1，b=c D.b7.已知直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得OP=OA+OB成立的点P的横坐标为3A.25 B.35 C.8.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD=AB，E为线段PB的中点，若面AEC⊥面ABCD，则平面PAD和平面ABCD夹角余弦值为(

)A.33 B.13 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间向量i,j,kA.向量i+j+k的模是3

B.{i+j,i−j,k}可以构成空间的一个基底

10.各项均为正数的等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1>1A.若T6=T10，则必有T16=1 B.若T7>T8，则必有T6>11.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，则下面说法正确的是(

)A.当a=0，b=1时，函数f(x)在定义域上仅有一个零点

B.当a=0，b=0时，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增

C.若函数f(x)存在极值点，则b<a<b+1e2或a≤b

D.若f(x)≥0恒成立，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=2cos(−2x+π6)，其导函数为函数f′(x)，则f′(13.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和Sn，a2a4=1614.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1的左支交于点M.若∠F1PF2=90°四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知圆C：(x−4)2+y2=25，点P(1,4)，且直线l经过点P．

(1)若l与C相切，求l的方程；

(2)若l的倾斜角为π16.(本小题12分)

已知数列{an}、{bn}的各项均不为零，若{bn}是单调递增数列，且2an=bn⋅bn+1，an+an+1=bn+1217.(本小题12分)

过点P(1,m)(m∈R)有n条直线与函数f(x)=xex的图像相切．

(1)若m=e，求n的值并求切线的方程；

(2)当n取最大值时，求m18.(本小题12分)

在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，且AA1=AB=2，M为AD的中点，动点P满足BP=xBB1+yBD，且x，y∈[0,1]．

(1)若x+y=12时，求证：AP⊥BD1；

(2)若x=y，E19.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为23，离心率为12．

(1)求C的方程；

(2)如图，过点O的直线l(异于y轴)与C交于点P，Q，过左焦点F作直线PQ的垂线交圆x2+y2=a2于点M，N，垂足为T．

①若点A(−4,0)，设直线AM，AN的斜率分别为k1

参考答案1.D

2.C

3.B

4.C

5.B

6.D

7.A

8.A

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.−2

13.40314.515.解：(1)根据题意，圆C：(x−4)2+y2=25，

点P(1,4)，有(1−4)2+42=25，点P在圆C上，

kPC=4−01−4=−43，

故切线的斜率k=34，

此时直线l的方程为34x−y+134=0，即3x−4y+13=0，

故直线l的方程为3x−4y+13=0；

(2)根据题意，若l的倾斜角为π4，则其斜率k=tanπ4=1，

则其方程为y−4=x−1，即x−y+3=0，

圆心C到直线l的距离d=|4−0+3|1+1=722，

故直线l被圆C截得的弦长为252−(722)2=2．

16.解：(1)∵2an=bn⋅bn+1，an+an+1=bn+12，

∴bn⋅bn+12+bn+1⋅bn+22=bn+12，即bn+1(bn+2+bn)=2bn+12，

又{bn}的各项均不为零，

∴两边同时除以bn+1得bn+2+bn=2bn+1，

∴{bn}是公差d>0的等差数列，

在2an=bn⋅bn+1中，令n=1得2a1=b1⋅b2，

又a1=b2，故b1=2，

在an+an+1=bn+12中，令n=1得a1+a2=b22，

其中a1=b2，a2=b6，故b2+b6=b22，

即2+d+2+5d=(2+d)2，解得d=2或d=0(舍去)，

故bn=b1+(n−1)d=2+2(n−1)=2n；

(2)∵cn=|9−2n|，

∴当1≤n≤4时，cn=9−2n，当n≥5时，cn=2n−9，

设{9−2n}前n项和为Sn，

当1≤n≤4时，Tn=n2(7+9−2n)=8n−n2，

当n≥5时，Tn=S4−(Sn−S4)=2S4−Sn=2×16−(8n−n2)=n2−8n+32，18.解：(1)证明：在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，且AA1=AB=2，

M为AD的中点，动点P满足BP=xBB1+yBD，x，y∈[0,1]．

在底面菱形ABCD中，连接AC，

记AC∩BD=O′，取B1D1的中点为Q，连接OQ，

由菱形ABCD的性质得AC⊥BD，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，知QO′⊥平面ABCD，

∵AC，BD⊂平面ABCD，∴O′Q⊥AC，O′Q⊥BD，∴O′A，O′B，O′Q两两垂直，

以O′为坐标原点，分别以O′A，O′B，O′Q所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

∵∠DAB=60°，∴OB=12AB=1，OA=32AB=3，

可得B(0,1,0),B1(0,1,2),D(0,−1,0),A(3,0,0),D1(0,−1,2)，

则BB1=(0,0,2),BD=(0,−2,0),BD1=(0,−2,2),AB=(−3,1,0)，

∴BP=xBB1+yBD=(0,−2y,2x)，则AP=AB+BP=(−3,1−2y,2x)，

由x+y=12，则y=12−x，即AP=(−3,2x,2x)，

∵AP⋅BD1=0−4x+4x=0，∴AP⊥BD1，则AP⊥BD1．

(2)x=y，E为A1M上一动点，且EP//平面ABCD，由题意作图如下：

由图可知平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1)，

由A(3,0,0),D(0,−1,0)，则AD的中点M的坐标为(32,−12,0)，

即AM=(−32,−12,0)，由E∈A1M，则AE=λAM+(1−λ)AA1=(−32λ,−1219.解：(1)因为的短轴长为23，离心率为12，

所以2b=23ca=12a2=b2+c2，

解得a=2,b=3，

则C的方程为x24+y23=1；

(2)①证明：设直线MN的方程为x=ty−1，M(