2023年北师大版初二数学下册知识点

北师大版八年级数学下册各章知识要点总结

第一章三角形的证明

一、全等三角形鉴定定理：

1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)

2.有两边及具夹角对应相等的两个二角形全等(SAS)

3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)

4.有两角及一角的J对边对应相等［I勺两个三角形全等(AAS)

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

二、等腰三角形的性质

定理：等腰三角形有两边相等；(定义)

定理：等腰三角形的两个底角相等(简写成''等边对等角“3

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，

这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上W，J高互相重叠。(三线合■)

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一种角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

三、等腰三角形的鉴定

1.有关的定理及其推.

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”。)

推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2:有一种角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推沦3:在直角三角形中，假如一种锐角等于30°,那么它所对口勺直角边等于斜边的二分之一。

反正法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或己知件相矛盾的成果，

从而证明命题的结论一定成立。这种证明措施称为反证法

四、直角三角形

1.直角三角形的性质

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：

在直角三角形中，假如一种锐角等于30°,那么它所对口勺直角边等于斜边的二分之-；

在直角三角形中，斜边上U勺中线等于斜边H勺二分之一。

2.直角三角形鉴定

假如三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

3.互逆命题、互逆定理

在两个命题中，假如•种命题叫条件和结论分别是另•种命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆

命题，其中一种命题称为另一种命题的逆命题..

假如一种定理的逆命题通过证明是真命题，那么它也是一种定理，这两个定理称为互逆定理，其中一种

定理称为另一种定理的逆定理...

五、线段的垂直平分线角平分线

1.线段的垂直平分线。

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点H勺距离相等。（外心）

鉴定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段H勺垂直平分线上。

2.角平分线。

性质：角平分线上H勺点到这个角H勺两边的距离相等。

二角形二条向平分线相交于一点，并且这一点到二条边H勺距离相等。（内心）

鉴定：在一种角向内部，且到角向两边距离相等口勺点，在这个角的平分线上。

3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组

一、一般地，用符号“V"（或"W"）（或"2”）连接的式子叫做不等式。

1.能使不等式成立的未知数H勺值，叫做不等式的解.

2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.

3.求不等式解集的过程叫解不等式.

4.由几种一元一次不等式组所构成F1勺不等式组叫做一元一次不等式组

5.不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。

6.等式基本性质1:在等式的两边都加上（或减去）同一种数或整式，所得的成果仍是等式.

基本性质2:在等式的两边都乘以或除以同一种数（除数不为0）,所得的成果

仍是等式.

二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一种整式，不等号的J方向不变.

（注：移项要变号，但不等号不变。）

性质2:不等式H勺两边都乘以（或除以）同一种正数，不等号的方向不变.

性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一种负数，不等号向方向变化.

三、解不等式的I环节：1.去分母；2.去括号；3.移项、合并同类项；4.系数化为1。

四、解不等式组的环节:1.解出不等式的解集。2.在同一数轴表达不等式的解集。3.写出不等式组的解

集。

五、列一元一次不等式组解实际问题的一般环节：

（1）审题：（2）设未知数，找（不等量）关系式；

（3）设元,（根据不等量）关系式列不等式（组）（4）解不等式组；检查并作答。

第三章图形的平移与旋转

一、平移定义和规律

1平移的定义：在平面内，将•种图形沿某个方向移动•定的距离，这样的图形运动称为平移。

关绽:a.平移不变化图形的形状和大小（也不会变化图形的方向，但变化图形的位置）.

…b.图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离.

2平移的规律（性质）：通过平移，对应点所连FI勺线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。

注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。

3简朴的平移作图：

平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一种特性点按一定方向和一定的距离

平行移动。

二、旋转的定义和规律

1旋转的定义：在平面内，将一种图形饶一种定点沿某个方向转动一种角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心；转动欧J角称为旋转角。

关缠:a.旋转不变化图形的形状和大小（但会变化图形的方向，也变化图形的位置.）..

b.图形旋转四要素•：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角.

2旋转的规律（性质）：

通过旋转，图形上的每一种点都绕旋转中心沿相似方向转动了相似的角度，任意一对对应点与旋转中心H勺连线

所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。）注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。

3简朴的旋转作图：

旋转作图要注意：①旋转方向：②旋转角度。

整个旋转作图，就是把整个图案的将一种特性点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。

三、中心对称

1.中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点

把一种图形绕着某一点旋转180；假如它可以与另一种图形重叠，那么称这两个图形有关这点对称，也称这两

个图形成中心对称，这个点叫做对制中心，两个图形中FJ对应点叫做对称点。

2.中心对称的基本性质：

（1）.成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）.成中心对称的两个图形，对称点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分。

3.中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心

把一种平面图形绕某一点旋转180°,假如旋转后的图形可以和本来H勺图形互相重叠，那么这个图形叫做中心

对祢图形。这个点就是它的对称中心。

4.中心对称与中心对称图形U勺区别与联络

假如将成中心对称日勺两个图形当作一种图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，假如把一种中心对称图

形沿着过对称中心H勺任•条直线提成两个图形，那么这两个图形成中心对称。3.图形的平移、轴对称（折叠）、

中心对称（旋转）口勺对比

5、图案的分析与设计①首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。

②图案设计的基本手段重要有：轴对称、平移、旋转三种措施。

第四章分解因式

一、公式：

1.ma+mb+mc=m（a+b+c）2.3.

二、把一种多项式化成几种整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

1.把几种整式的积化成一种多项式口勺形式，是乘法运算.

2、把一种多项式化成几种整式附积的形式，是因式分解..

3.ma+mb+mc=m（a+b+c）

4.因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

三、把多项式口勺各项都具有的相似因式，叫做这个多项式日勺各项的公因式.

强公因式法分解因式就是把一种多项式化成单项式与多项式相乘的形式.

找公因式时一般环节：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数：

（2）取相似的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相似的多项式，多项式的指数取较低的.

（4）所有这些因式叫来枳即为公因式.

四、分解因式的一般环节为：

（1）若有先提取“，若多项式各项有公因式，则再提取公因式.

（2）若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式.

（3）每一种多项式都要分解到不能再分解为止.

五、形如或的式子称为完全平方式.

六、分解因式的措施：1、提公因式法。2、运用公式法。

第五章分式与分式方程

1）分式日勺定义：假如A.B表达两个整式，并且B中具有字母，那么式子叫做分式。

2）分式与整式最本质的区别：分式的J字母必须具有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。

3）分式故意义的条件：分母不为零，即分母中口勺代数式的值不能为零。

分式H勺值为零H勺条件：分子为零且分母不为零

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一种不等于0的整式，分式时值不变。

用式子表达其中A.B、C为整式（）

注：（D运用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不变化分式值的大小，只变化形式。

（2）应用基本性质时，要注意CWO,以及隐含H勺BWO。

（3）注意“都"分子分母要同步乘以或除以，防止只乘或只除以分子或分母的部分项，或防止出现分子、分

母乘除R勺不是同一种整式的错误。

1）3.分式的I通分和约分：关键先是分解因式

2）分式的约分定义：运用分式艮I基本性质，约去分式日勺分子与分母的公因式，不变化分式的值。

3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式

分式口勺通分的定义：运用分式的基本性质，使分子和分母同乘合适日勺整式，不变化分式的值，把几种异分母

的分式化成分母相似的分式。

最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”H勺最高次耗时积做公分母，它叫做最简公分母。

4.分式H勺符号法则

分式的分子、分母与分式自身的符号，变化其中任何两个分式的值不变。用式子表达为

注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同步变号，而不是指变化分子或分母中的部分项的符号。

5.分式时运算:

1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的枳作为分母。

2）分式除法法则：分式除以分式，把除式H勺分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

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bdbd'bdbebe一

（丁）一

t）

3）分式乘措施则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

4）分式乘方、乘除混合运算：先算南方，再算乘除，碰到括号，先算括号内啊，不含

括号的，按从左到右的次序运算

5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减

aba±bacadbead±bc

—±-=----,-±——---土---=--------

cccbdbdbdbd

?.整数指数鼎..1.任何一种不等于零日勺数的零次鼎等于1.即；

2）任何一种不等于零的数的-n次基（n为正整数），等于这个数的n次幕的倒数，叩（

注：分数的负指数累等于这个分数H勺倒数的正整数指数累。即

3）科学计数法：把一种数表达为aXIOn（1WIa|V10,n为整数）的形式，称为科学计数法。

注：（1）绝对值不小于1时数可以表达为aXIOn的形式，n为正整数：

（2）绝对值不不小于1时数可以表达为aXIO-n日勺形式，n为正整数.

（3）表达绝对值不小于10的n位整数时，其中10的指数是

（4）表达绝对值不不小于1的正小数时,其中10的指数是第一种非0数字前面0的个数

（包括小数点前面H勺一种0）

4）正整数指数显运算性质也可以推广到整数指数第.（m,n是整数）

（1）同底数内哥的乘法：；（2）'哥的乘方：；（3）积的乘方：；

（4）同底数的痢I勺除法：（aWO）；（5）商的乘方：；（bWO）

8.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程一一分式方程，

1）增根：分式方程的增根必须满足两个条件：

（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成向整式方程的根。

2）分式方程的解法：

⑴能化简的先化简（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根.

注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有也许为0,这样就产生了增根，因此分式方

程一定要验根。

分式方程检杳措施：将整式方程口勺解带入最简公分母，假如最简公分母H勺值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解：否则，这个解不是原分式方程日勺解。

3）列分式方程解实际问题

（1）环节：审题一设未知数一列方程一解方程一检查一写出答案，检查时要注意从方程自身和实际

问题两个方面进行检查。

（2）应用题基本类型;

a.行程问题：基不公式：旅程=速度X时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

b.数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表达法.c.工程问题基本公式：工作量=工时X工效.

d.顺水逆水问..v顺水二v静水+v水..V逆水二V静水-V水.

E.相遇问题f追及问题

相遇旅程=速度和X相遇时间追及距离=速度差X追及时间

相温时间=相遇旅程+速度和追及时间=追及距离;速度差

速度和=相遇旅程+相遇时间速度差=追及距离+追及时间

g流水问题h浓度问题

顺流速度=静水速皮十水流速度溶质"勺重量+溶剂"勺重量=溶液的重量

逆流速度=静水速度一水流速度溶质的更量+溶液的重量X100%=浓度

静水速度=（顺流速度+逆流速度）彳2溶液的重量X浓度=溶质口勺重量

水流速度=（顺流速度一逆流速度）+2溶质的重量♦浓度=溶液H勺重量

m利涧与折扣问题

利润=售出价一成本

利润率=利润+成本X100