8.6.3第2课时 平面与平面垂直的性质课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质

第八章

8．6空间直线、平面的垂直学习目标1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明．2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题，培养直观想象核心素养．问题导思问题1.教室黑板所在平面与地面垂直．(1)黑板所在平面内的直线是否都垂直于地面？提示：不都垂直于地面．(2)黑板上任意画一条线与地面垂直吗？提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直).(3)怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可．新知构建平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面______符号语言α⊥β，α∩β＝a，______，______⇒b⊥α图形语言交线垂直b⊂βb⊥a微提醒对面面垂直的性质定理的再理解(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．例1

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，

其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；证明：因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.证明：由(1)可知BG⊥AD，因为△PAD为正三角形，所以PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.规律方法利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，应注意以下三点1．两个平面垂直．2．直线必须在其中一个平面内．3．直线必须垂直于两平面的交线．

对点练1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1为平行四边形，因为BC＝CC1，所以四边形BCC1B1为菱形，所以B1C⊥BC1，又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥平面A1BC1，因为B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.返回综合应用例2应用一空间垂直关系的综合应用

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD；证明：因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，AD，PA⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.规律方法1．线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解垂直关系综合问题的常规思路．2．垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明．

对点练2．如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，所以BC⊥AM.由四边形ACDE是正方形，得AM⊥CE，又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．解：取AB的中点F，连接CF，EF.因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，EA⊂平面ACDE，所以EA⊥平面ABC，因为CF⊂平面ABC，所以EA⊥CF.又AC＝BC，所以CF⊥AB.因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．应用二空间位置关系的探索性问题

已知△A′BC为正三角形，CD是A′B边上的高，E，F分别是A′C，BC的中点，现将△A′DC沿CD翻折至ADC的位置，使平面ADC⊥平面BCD，如图所示．(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由．解：AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AB∥平面DEF.例3(2)在线段AC上是否存在一点P，使得BP⊥DF？若存在，求出

的值；若不存在，请说明理由．解：在线段AC上存在一点P，使得BP⊥DF.理由如下：易知△BDF为正三角形，过B作BK⊥DF交DC于点K，连接KF，过K作KP∥DA交AC于点P，则点P即为所求，连接BP，如图．因为平面ADC⊥平面BDC，平面ADC∩平面BDC＝DC，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，因为KP∥AD，所以KP⊥平面BCD，所以KP⊥DF.又BK⊥DF，KP∩BK＝K，所以DF⊥平面PKB，所以DF⊥BP.又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，规律方法解决命题成立条件的探索性问题有三种方法1．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．2．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性．3．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.

对点练3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，在棱PD上是否存在点E，使得BP∥平面ACE？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由．解：存在，点E为棱PD的中点．连接AE，连接BD，交AC于点F，连接EF，如图所示．因为底面ABCD为平行四边形，所以点F为BD的中点．在△PBD中，因为点E，F分别为PD，BD的中点，所以BP∥EF，且EF＝

BP.又因为BP⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，所以BP∥平面ACE.返回课堂小结知识平面与平面垂直的性质定理．方法转化法易错误区面面垂直性质定理中在其中一个面内作交线的垂线，与另一个平面垂直．随堂演练1．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则A．ME⊥平面ABCDB．ME⊂平面ABCDC．ME∥平面ABCDD．以上都有可能√因为ME⊂平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，所以ME⊥平面ABCD.故选A.2．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是A．l∥β或l⊂β B．l∥mC．m⊥α D．l⊥m√直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故A正确；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故B，D错误；直线l⊥平面α，直线m∥平面β，且α⊥β，则m⊥α或m与α相交(不包含垂直)或m⊂α或m∥α，故C错误．故选A.3．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影点H必在A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部(不包括边界)√连接AC1(图略).因为