8.6.1 直线与直线垂直课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1直线与直线垂直

8.6空间直线、平面的垂直LOGO学习目标1.借助正方体，通过直观感知，类比相交直线所成角，归纳出异面直线所成角的概念，培养数学抽象能力；2.利用异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成角，并在三角形中求出角，培养数学运算能力；3.会用异面直线所成角证明异面直线垂直，培养逻辑推理能力.重点：异面直线所成的角难点：在具体几何情景下作出两条异面直线所成的角问题1

空间两条直线有哪些位置关系？相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；在同一平面内，没有公共点；①定义:不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点.平行直线：异面直线：abOabαβab

②画法:等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、温故知新（忆一忆）一、温故知新（忆一忆）①三角形、梯形的中位线(找中点:平行四边形对角线互相平分)②平行四边形的对边平行(先证平行四边形)③平行线分线段成比例定理④平行线的传递性证明直线平行的方法:问题2

如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢?不同.类似地，可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系.我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．图中的角θ即为直线a与直线b的夹角．一、温故知新（忆一忆）LOGOab探究新知1.

异面直线所成角定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).b′a′空间直线所成角→平面直线所成角（空间问题→平面问题）O问题3

O点选取的位置会影响直线a与b所成的角吗？不会，等角定理注①异面直线a,b所成角，只与a,b的相互位置有关，而与点O位置无关.O

②一般常把点O取在两异面直线中的a或b上.

③异面直线所成角的取值范围：0°<θ≤90°问题4

异面直线所成角θ的取值范围是什么？LOGO探究新知如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.当两条直线a,b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤θ≤90°.O•αbaa′区别：异面直线所成角的取值范围是____________.(0°,90°]2.

异面直线垂直问题5

空间两条直线垂直，它们一定相交吗？相交垂直异面垂直

例题讲解例1

如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.(3)求直线BA′与AC所成角的大小.解：(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB,BC,CD,DA,A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.课本P147--例1例题讲解例1

如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.(3)求直线BA′与AC所成角的大小.课本P147--例1解:(2)平移法LOGO1.构造2.证明3.计算4.结论例1

如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.(3)求直线BA′与AC所成角的大小.连接A′C′∵ABCD-A′B′C′D′是正方体∴AA′CC′∴四边形AA1C1C是平行四边形

∴AC∥A′C′∴异面直线BA1与AC所成的角等于60°∴∠BA1C1为直线BA1与AC所成的角连接BC′,易知△A1BC1是等边三角形∴∠BA1C1=60°解：（作）（证）（求：把角放在三角形中，解三角形）2.证明例题讲解1.构造例1

如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.变式：若M为A′C′中点，N为B′C′中点，求异面直线AM与CN所成角的余弦值.解：取AB中点E，连接EM，MN∵M，N是A′C′，B′C′中点∴四边形MNAE是平行四边形

MA′B′C′D′DCBANE∴MN∥A′B′，MN=A′B′∵E为AB中点∴AE∥A′B′,AE=A′B′∴AE∥MN,AE=MN∴AM∥EN∴∠ENC为直线AM，CN所成角解三角形3.计算4.结论连接EC,设正方体棱长为2a,易得在△CEN中,NE=a,

NC=a,EC=a∴异面直线AM，CN所成角的余弦值为

.找中点、中位线、平四

①作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），常用平移法作出异面直线所成的角(或其补角)；

②证：证明①中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；（注：证明线线平行）

③求：通过解三角形或其他方法，求出①中所构造的角的大小；④结论：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面

直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求．3.

求异面直线所成的角的一般步骤简记：一作、二证、三求、四结论归纳总结（谈一谈）4.结论2.证明1.构造(1)直线BC和A'C'所成的角的大小；(2)直线AA'和BC'所成的角的大小.课本P148--练习3跟踪训练13.计算解:(1)如图：连接AC,A'C'∵A'C'∥AC∴∠ACB即是BC和A'C'所成的角∴tan∠ACB＝1∴∠ACB＝45°∴直线BC和A'C'所成的角是45°在Rt△ABC中,AB=BC=（作）（证）（求：把角放在三角形中，解三角形）4.结论2.证明1.构造(1)直线BC和A'C'所成的角的大小；(2)直线AA'和BC'所成的角的大小.课本P148--练习3跟踪训练13.计算解:(2)如图，连接BC'∵AA'∥CC'∴∠BC'C即是AA'和BC'所成的角∴∠BC'C＝60°∴直线AA'和BC'所成的角是60°在Rt△BC'C中,CC'=2,BC=（证）（求：把角放在三角形中，解三角形）（作）例题讲解1.构造2.证明3.计算4.结论

例2如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，求证：AO1⊥BD.证明：如图，连接B1D1∵ABCD-A1B1C1D1是正方体∴BB1DD1∴四边形BB1D1D是平行四边形∴B1D1//BD

∴∠AO1D1(或其补角)为直线AO1与BD所成的角

∴AO1⊥BD连接AB1，AD1，易证AB1=AD1又O1为底面A1B1C1D1的中心∴O1是B1D1的中点∴AO1⊥B1D1∴AO1⊥BDBDCA1B1C1D1AO1•（求：把角放在三角形中，解三角形）（作）（证）课本P147--例22.证明如图，在正三棱柱ABC－A'B'C'中，D为棱AC的中点，AB=BB'=2，求证：BD⊥AC'.课本P148--练习4跟踪训练21.构造3.计算4.结论（求：把角放在三角形中，解三角形）（作）（证）找中点、中位线当堂检测（测一测）1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能√αβabαβabαβab当堂检测（测一测）2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°√M当堂检测（测一测）3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是

．4．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥AB，底面AB