6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理授课课高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理聚/焦/大/单/元·共/研/新/理/念2023—2024年度情景创设，构建新知万物皆数毕达哥拉斯：古希腊数学家“数”是数学的主要研究对象之一，“数”起源于“计数”。无论是原始社会，还是经过农耕文明、工业文明，到今天的信息文明时代，计数一直是非常重要的人类活动。列举法是最基本的计数方法，我们能否用列举法解决所有的计数问题呢？思考：以下问题能否用列举法解决？（1）由数字1，2，3组成的三位数，假设各位数字不能重复，一共有几个？一共有6个。分别是123、132、213、231、312、321。情景创设，构建新知思考：以下问题能否用列举法解决？（2）

通常，我国民用汽车牌的编号由两部分组成:第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分由阿拉伯数字和英文字母组成的5位序号，如图。其中，序号的编码规则为:①由10个阿拉伯数字和O,I之外24个英文字母组成;②最多只能有2个英文字母.那么，这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?川A·JR005难以用列举法完成此计数问题。情景创设，构建新知计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举法一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大，列举的效率不高，能否设计巧妙的“数法”以提高效率呢？刘徽：魏晋时期数学家特殊一般事类相推，各有攸归。情景创设，构建新知讨论1在研学开始之前，你认为有哪些方面的事情需要提前考虑？“品岭南文化，研自然之美。”岭南文化源远流长，四川省双流中学高二年级计划前往岭南地区研学，寻迹岭南文化。请你帮忙解决以下问题。引例1前往岭南可以乘坐火车或者飞机两种交通工具，其中火车有12趟，飞机有8班，那么从四川到岭南共有多少种不同的方法？引例2在地点的选择上，计划前往前往一处地标建筑和一处传统建筑，地标建筑有广州电视塔、广州图书馆、广州大剧院可以选择，传统建筑有碉楼、镬(huò)耳屋、骑楼可以选择，则一共有几种选择地点的不同方法？

引例3研学可以是三天两晚也可以是四天三晚，第一天晚上有维也纳酒店、如家酒店可以选择，第二天晚上有全季酒店、亚朵酒店、希尔顿酒店可以选择，第三天晚上有橙子酒店、7天连锁酒店可以选择，则一共有几种选择酒店的不同方法？

情景创设，构建新知引例1前往岭南可以乘坐火车或者飞机两种交通工具，其中火车有12趟，飞机有8班，那么从四川到岭南共有多少种不同的方法？

情景创设，构建新知问题1用餐时，为了方便指引各班到不同餐桌就坐，需要提前给桌子编号。假设用26个英文字母或0~9这10个阿拉伯数字给桌子编号，总共能编出多少种不同的号码？

问题探究，归纳原理问题共同特征背景如何解决结果怎样每类方案能否独立完成完成一件事2类解决方案能独立完成N=m+n第1类有m种方法，第2类有n种方法分类相加计数确定分类的标准，对方案进行分类求出每一类的方法数将每一类的方法数相加得出结果分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有

m种不同的方法，在第2类方案中有

n种不同的方法.那么完成这件事共有

N=m+n种不同的方法。类类独立

不重不漏探究1引例1与问题1具有什么样的共同特征？结论推广，拓展思维

小试牛刀，巩固新知【练习1】选择餐厅时，可以选择广式茶楼或者潮汕牛肉火锅或者茶餐厅，广式茶楼有5家可以选择，潮汕牛肉火锅有4家可以选择，茶餐厅有2家可以选择，那么一共有多少种不同的选择？可以分成广式茶楼或者潮汕牛肉火锅或者茶餐厅共三类；广式茶楼有5种选择方法，潮汕牛肉火锅有4种选择方法，茶餐厅有2种选择的方法。

选择一家餐厅情景创设，构建新知引例2在地点的选择上，计划前往地标建筑一处、传统建筑一处，地标有广州电视塔、广州图书馆、广州大剧院可以选择，传统建筑有碉楼、镬耳屋、骑楼可以选择，则一共有几种选择地点的不同方法？广州电视塔广州图书馆广州大剧院情景创设，构建新知引例2在地点的选择上，计划前往地标建筑一处、传统建筑一处，地标有广州电视塔、广州图书馆、广州大剧院可以选择，传统建筑有碉楼、镬耳屋、骑楼可以选择，则一共有几种选择地点的不同方法？

碉楼镬耳屋骑楼情景创设，构建新知引例2在地点的选择上，计划前往地标建筑一处、传统建筑一处，地标有广州电视塔、广州图书馆、广州大剧院可以选择，传统建筑有碉楼、镬耳屋、骑楼可以选择，则一共有几种选择地点的不同方法？

情景创设，构建新知问题2早茶文化是岭南文化的重要组成部分之一。选择广式茶楼用餐时，想要选择一份茶点和一种茶叶。茶点有水晶虾饺、红米肠、糯米鸡、豉汁凤爪可以选择，茶叶有普洱茶、铁观音、大红袍可以选择。则一共有几种点菜的不同方法？

问题探究，归纳原理分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有

m种不同的方法，做第2步有

n种不同的方法.那么完成这件事共有

N=m×n种不同的方法。探究2引例2与问题2具有什么样的共同特征？问题本质特征什么事情如何解决结果怎样每个步骤能否独立完成完成一件事2个完成步骤不能独立完成N=m×n第1步有m种方法，第2步有n种方法分步相乘计数对需要完成的事情进行分步求出每一步的方法数将每一步的方法数相乘得出结果步步相依

步骤完整结论推广，拓展思维

比较辨析，内化理解探究3通过以上两个探究的计数，你能否归纳出分类加法原理和分步乘法原理的异同点？请同桌进行讨论并进行归纳。分类加法计数原理分步乘法计数原理什么事情如何解决特点结果怎样完成一件事两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，分步依次完成N=m×n完成一件事两类方案，第1类有m种方法，第2类有n种方法分类独立完成N=m+n共同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理与“分类”有关，

分步乘法计数原理与“分步”有关。分类计数原理用任何一类中的任何一种方法都可以完成这件事，是独立完成；分布计数原理只有依次完成每一个步骤才能完成这件事情，是合作完成。分类计算原理用加法

·分步计算原理用乘法

小试牛刀，巩固新知【练习3】研学来到广州图书馆，书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法?从书架上任取1本书有3类办法第1类取一本计算机书,有4种方法;第2类取一本文艺书,有3种方法;第3类取一本体育书,有2种方法.

(1)从书架上各取1本书有3个步骤第1步从第1层取1本有4种方法;第2步从第2层取1本有3种方法;第3步从第3层取1本有2种方法.

(2)分类加法计数原理分步乘法计数原理

综合应用，深化理解【练习4】研学来到广州图书馆，书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.从书架上取计算书,文艺书,体育书，选2本不同学科的书,有多少种不同的取法?从书架上选2本不同学科的书分成3类，分别为：计算机+文艺；计算机+体育；文艺+体育每类分成两个步骤取书；第1类第1步取计算机书，第2步取文艺书；第2类第1步取计算机书，第2步取体育书；第3类第1步取文艺书，第2步取体育书.

先分类再分步分析

选2本不同学科的书，可以分成多少类呢？每一类如何完成？综合应用，深化理解引例3研学可以是三天两晚也可以是四天三晚，第一天晚上有维也纳酒店、如家酒店可以选择，第二天晚上有全季酒店、亚朵酒店、希尔顿酒店可以选择，第三天晚上有橙子酒店、7天连锁酒店可以选择，则一共有几种选择酒店的不同方法？先分类再分步

达标检测，巩固新知通常，我国民用汽车牌第二部分由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图.其中，序号的编码规则为:(1)由10个阿拉伯数字和O,I之外24个英文字母组成;(2)最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码。那么，这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?川A·JR005解答:①没有字母时，5位序号都是从0-9这10个数字中选1个，且必须5位序号都选好才算完成，所以根据分步乘法计数原理可知有：105=100000张②有一个字母时，可以分为字母在序号的第1位、第2位、第3位、第4位、第5位这5类；当第1位是字母时，根据分步乘法计数原理可知有：24×104=240000张同理其余4类也有240000种，所以这类号牌合计有240000×5=1200000张③有两个字母时，可以根据字母在第1和第2位、第1和第3位、第1和第4位、第1和第5位、第2和第3位、第2和第4位、第2和第5位、第3和第4位、第3和第5位、第4和第5位分为10类，每类有：24×24×103=576000张，合计：5760000张综上:100000+1200000+5760000=7060000课堂小结，梳理所学问题3回顾本节课所学知识和学习过程，梳理本节课的研究思