职教高考指数函数讲练含答案

4.1.2指数函数[知识整合]基础知识1．指数函数的定义函数y＝ax(a>0且a≠1)叫作指数函数．2．指数函数的图像和性质底数a>10＜a＜1图像性质(1)定义域为R；(2)值域为(0，＋∞)；(3)函数的图像都过定点(0，1)；(4)都是非奇非偶函数(5)在R上是增函数(5)在R上是减函数(6)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(6)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1基础训练1．下列函数中指数函数的个数是()①y＝3·2x；②y＝2x－1；③y＝4x；④y＝x2.A．0B．1C．2D．32．下列函数在其定义域内单调递增的是()A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝(eq\f(1,2))xD．y＝x23．函数y＝5x与y＝5－x的图像之间的关系是()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称4．函数y＝5－x在R上是____________函数．5．函数y＝eq\r(1－3x)的定义域为____________．[重难点突破]考点1指数函数的概念例1判断下列函数中，是指数函数的为()A．f(x)＝4xB．f(x)＝4x＋3C．f(x)＝－4xD．f(x)＝(－4)x【解析】只有A中满足y＝ax(a>0且a≠1)．故选A.例2已知指数函数f(x)＝ax的图像过点(2，eq\f(16,9))，则a的值为()A．±eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．±eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)【解析】把点(2，eq\f(16,9))代入函数得eq\f(16,9)＝a2，解得a＝±eq\f(4,3)，因为a＞0，所以a＝eq\f(4,3).故选D.【变式训练】若指数函数f(x)＝ax，且f(2)＝16，则a＝____________．考点2指数函数的图像与性质例3函数y＝2eq\s\up6(\f(x,2))的图像大致是()ABCD【解析】∵y＝2eq\s\up6(\f(x,2))＝(eq\r(2))x，eq\r(2)＞1，∴由指数函数图像可知C正确，故选C.【变式训练】某函数的大致的图像如图所示，则该函数可能是()A．y＝3－xB．y＝3xC．y＝－3xD．y＝－3－x例4求函数f(x)＝log2(8－2x2－2x)的定义域．【解】由题意得：8－2x2－2x>0，2x2＋2x<23，∴x2＋x<4，即x2＋x－4<0，∴eq\f(－1－\r(17),2)<x<eq\f(－1＋\r(17),2)，∴函数定义域为(eq\f(－1－\r(17),2)，eq\f(－1＋\r(17),2))．【变式训练】1.函数y＝eq\f(\r(4－2x),2－x)的定义域是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，2)D．(－∞，2]2．函数y＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))x－16)的定义域____________．例5画出函数f(x)＝2|x|的图像并写出单调区间．【解】f(x)＝2|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x，（x≥0）,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))x，（x<0）)))可以看出图像是关于y轴对称的，单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．【变式训练】比较0.35.1，1，0.3－5.1三个数的大小．例6(1)试判断函数y＝(a2－a＋2)x的单调性；(2)若(a2－1)eq\s\up6(\f(3,4))＜(a2－1)eq\s\up6(\f(2,3))，求a的取值范围．【解】(1)∵a2－a＋2＝a2－a＋eq\f(1,4)＋eq\f(7,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))))2＋eq\f(7,4)>1，∴函数y＝(a2－a＋2)x为单调递增函数．(2)由已知(a2－1)eq\s\up6(\f(3,4))＜(a2－1)eq\s\up6(\f(2,3))且eq\f(3,4)>eq\f(2,3)得y＝(a2－1)x为单调递减函数，∴0＜a2－1＜1，∴1＜a2＜2，解得－eq\r(2)＜a＜－1或1＜a＜eq\r(2)，因此a的取值范围是(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))．反思提炼：(1)这是一个指数函数，要判断其单调性，需先考虑底的范围，若底大于1，则为增函数，若底在0与1之间，则为减函数．(2)这是一个同底的指数幂比较大小的问题，由于eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，因此当aeq\s\up6(\f(3,4))<aeq\s\up6(\f(2,3))时，一定有a∈(0，1)．考点3解指数方程和指数不等式例7解方程4x－2x＋3＝2x－3－1.【解】设2x＝t>0，将方程化为t2－8t＝eq\f(1,8)t－1，即(t－8)(t－eq\f(1,8))＝0，解得t＝8或t＝eq\f(1,8).即2x＝8或2x＝eq\f(1,8)，∴x＝3或x＝－3.【变式训练】解方程52x－6×5x＋5＝0.例8已知32x－1<1，则x的取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，eq\f(1,2))D．(eq\f(1,2)，＋∞)【解析】由32x－1<1＝30得2x－1<0，x<eq\f(1,2)，故选C.【变式训练】设函数f(x)＝3x，不等式f(x－6)>3的解集是()A．(7，＋∞)B．(－∞，7)C．(9，＋∞)D．(2，＋∞)[课堂训练]1．函数y＝2－x是()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数2．若函数y＝(a2－6a＋6)ax是指数函数，则()A．a＝1B．a＞1C．a＝1或a＝5D．a＝53．函数y＝ax－2＋3的图像恒过定点()A．(2，3)B．(2，4)C．(0，3)D．(0，4)4．已知函数y＝ex的图像与单调递减函数y＝f(x)(x∈R)的图像相交于点(a，b)，给出下列四个结论：①a＝lnb；②b＝lna；③f(a)＝b；④当x>a时，f(x)<ex.其中正确的结论共有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．若f(x)＝(a2－3)x在R上是增函数，则a的取值范围是()A．(－2，2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(0，3)D．(－3，－1)6．若f(2x)＝2x，则f(8)＝____________．7．设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，若f(2)＝9，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝____________．8．已知f(x)是偶函数，且x≥0时，f(x)＝3x，则f(－2)＝____________．9．若函数y＝ax(a>0且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，求a的值．指数函数答案知识整合基础训练1．B【解析】形如y＝ax(a>0，a≠1)的函数为指数函数，y＝3·2x系数不为1，不是指数函数；y＝2x－1指数不是x，不是指数函数；y＝x2是幂函数不是指数函数，故选B.2．B【解析】∵y＝－2x、y＝(eq\f(1,2))x均为单调递减函数；y＝x2先减后增；y＝2x为单调递增函数，故选B.3．C【解析】根据两个函数的图像可知．4．减【解析】函数y＝5－x可化为：y＝(eq\f(1,5))x.∵0<a<1，∴y＝5－x在R上为减函数．5．(－∞，0]【解析】由1－3x≥0，即3x≤30.由单调性可得x≤0，∴定义域为(－∞，0]．重难点突破【例2】【变式训练】4【解析】由f(2)＝16代入得a2＝16⇒a＝4或a＝－4(负值舍去)．【例3】【变式训练】A【解析】由所示图像是单调递减函数得该函数可能是y＝3－x.【例4】【变式训练】1.C【解析】要使y＝eq\f(\r(4－2x),2－x)有意义，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4－2x≥0,2－x≠0)))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x≤2,x≠2)))，∴x<2.2．(－∞，－4]【解析】(eq\f(1,2))x－16≥0，即2－x≥24.由单调性可得－x≥4，即x≤－4，定义域为(－∞，－4]．【例5】【变式训练】【解】由0<0.35.1<1，0.3－5.1>1可得0.35.1<1<0.3－5.1.【例7】【变式训练】【解】令5x＝t，则有t2－6t＋5＝0，解得t＝1或t＝5，由5x＝1或5x＝5，解得x＝0或x＝1.【例8】【变式训练】A【解析】由f(x－6)＝3x－6>3＝31⇒x－6>1即x>7，故选A.课堂训练1．D【解析】指数函数y＝(eq\f(1,2))x，∵0<a<1，∴函数是减函数．2．D【解析】若函数y＝(a2－6a＋6)ax是指数函数，则a2－6a＋6＝1，解得a＝1或a＝5，又∵指数函数的系数a>0且a≠1，∴a＝5，故选D.3．B【解析】当x－2＝0，即x＝2时，y＝a0＋3＝4，所以恒过点(2，4)，选B.4．C【解析】由题意可得y＝ex和y＝f(x)均过点(a，b)，则有a＝lnb，f(a)＝b，所以①③正确．∵y＝f(x)为减函数，∴当x>a时，f(x)<f(a)＝b，又由y＝ex为增函数，则当x>a时，ex>ea＝b，∴当x>a时，f(x)<ex.5．B【解析】∵f(x)＝(a2－3)x在R上是增函数，∴a2－3>1，解得a>2或a<－2.6．16【解析】f(2x)＝2x，令t＝2x，x＝eq\f(t,2)，f(t)＝2eq