18.2.1.2 矩形的判定 人教版八年级下册课时练习(含答案)

18.2.1.2矩形的判定【练基础】必备知识1有一个角是直角的平行四边形是矩形1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A.∠ABC=90°B.AC=BDC.AD=ABD.∠BAD=∠ADC2.如图，在▱ABCD中，点E，F在AD边上，且BF=CE，AE=DF.(1)求证：△ABF≌△DCE.(2)求证：四边形ABCD是矩形.必备知识2对角线相等的平行四边形是矩形3.【邯郸期末】四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A.AC=BDB.∠ABD=∠CBDC.AB=BDD.AB=CD4.如图，在▱ABCD中，E为DC的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC，DF.(1)求证：AD=CF.(2)嘉琪说：“添加一个条件，能使四边形ACFD是矩形”，你是否同意嘉琪的观点?如果同意，请添加一个条件，并给出证明；如果不同意，请说明理由.必备知识3有三个角是直角的四边形是矩形5.如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥BC于点E，AD平分∠FAC，CD⊥AD于点D.求证：四边形AECD是矩形.6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE，DF分别是△BDC，△ADC的角平分线.(1)求∠CFD的度数.(2)求证：四边形FDEC是矩形.【练能力】7.【教材P68T9变式】如图，连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，还要添加_______才能使四边形EFGH是矩形.(写出一个条件即可，图中不能再添加别的“点”或“线”)

8.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.(1)求证：BE=DF.(2)设ACBD=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形?请说明理由9.如图，已知点M，O，N在同一直线上，OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，连接BC交AO于点E.(1)求证：四边形ACOB是矩形.(2)猜想BC与MN的位置关系，并证明你的结论.10.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形.(2)已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=3，求DC的长.【练素养】11.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为ts，0≤t≤5.(1)AE=________cm，EF=________cm.(用含t的式子表示)

(2)若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形.(3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形.

参考答案【练基础】1.C2.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD.∵AE=FD，∴AE+EF=FD+EF，即AF=DE.在△ABF和△DCE中，AB∴△ABF≌△DCE(SSS).(2)由(1)可知△ABF≌△DCE，∴∠A=∠D.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠D=180°，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，∴▱ABCD是矩形.3.A4.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE.∵E为DC的中点，∴ED=EC，∴△ADE≌△FCE(AAS)，∴AD=CF.(2)同意.当DC=AF时，四边形ACFD是矩形.证明：∵AD∥CF，AD=CF，∴四边形ACFD是平行四边形.∵DC=AF，∴四边形ACFD是矩形.5.【证明】∵AB=AC，AE⊥BC于点E，∴∠AEC=90°，∠BAE=∠CAE=12∠∵AD平分∠FAC，∴∠DAC=12∠FAC∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12∠BAC+12∠FAC=12(∠BAC+∠FAC)=12×又∵CD⊥AD于点D，∴∠ADC=90°，∴四边形AECD是矩形.6.【解析】(1)∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴BD=CD=AD.∵DF是∠ADC的平分线，∴DF⊥AC.∴∠CFD=90°.(2)证明：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AD=CD=BD.∵DE是∠BDC的平分线，∴DE⊥BC，∴∠DEC=90°.∵∠CFD=90°，∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形.【练能力】7.AC⊥BD(答案不唯一)8.【解析】(1)证明：解法一如图，连接DE，BF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，AO=OC.∵E，F分别为AO，OC的中点，∴EO=12OA，OF=12∴EO=FO.∵BO=OD，EO=FO，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF.解法二∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，∴∠DCF=∠BAE.∵E，F分别OA，OC的中点，∴AE=12OA，CF=12OC在△DCF和△BAE中，DC∴△DCF≌△BAE，∴BE=DF.(2)当k=2时，四边形DEBF是矩形.理由如下：易知四边形DEBF是平行四边形，当BD=EF，即OD=OE时，四边形DEBF是矩形，此时AE=OE，∴AO=2OE，则k=ACBD=AOOD=2OE∴当k=2时，四边形DEBF是矩形.9.【解析】(1)证明：∵OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，∴∠AOM=2∠AOB，∠AON=2∠AOC.∵点M，O，N在同一直线上，∴∠AOM+∠AON=180°，∴2∠AOB+2∠AOC=180°，∴∠AOB+∠AOC=90°，即∠BOC=90°.∵AB⊥OB，AC⊥OC，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴四边形ACOB是矩形.(2)BC∥MN.证明：由(1)可得，四边形ACOB是矩形，∴OE=CE，∴∠AOC=∠BCO.∵OC是∠AON的平分线，∴∠AOC=∠NOC，∴∠BCO=∠NOC，∴BC∥MN.10.【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB.∵CF=AE，∴DF=BE.又∵DC∥AB，∴四边形DFBE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴平行四边形BFDE是矩形.(2)∵∠DAB=60°，AD=3，DE⊥AB，∴AE=32，DE=AD2由(1)可得四边形DFBE是矩形，∴BF=DE=33∵AF平分∠DAB，∴∠FAB=12∠DAB=30°，且BF⊥AB∴AF=2BF=33，∴AB=AF2-BF2=【练素养】11.【解析】(1)t；(5-2t)(0≤t≤2.5)或(2t-5)(2.5<t≤5).提示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴AC=AB2+BC2由题意得AE=CF=tcm.当0≤t≤2.5时，EF=AC-AE-CF=(5-2t)cm；当2.5<t≤5时，EF=AE+CF-AC=(2t-5)cm.(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GAF=∠HCE.∵G，H分别是AB，DC的中点，∴AG=CH.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.在△AFG与△CEH中，AG∴△AFG≌△CEH，∴GF=HE.在△AGE与△CHF中，AG∴△AGE≌△CHF，∴GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形.(3)如图，连接GH.由(2)知四边形EGFH是平行四边形.∵G，H分别是矩形