新高考数学二轮复习 专题06 导数 解答题题型分类提升讲与练（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题06导数（解答题）考法一含参单调性的分类讨论【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】（1）函数的定义域为，则．当时，在上恒成立，故此时在上单调递减；当时，由，得,由，得，故此时在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，当时，在上单调递减，所以在上单调递减，所以；当时，(i)若，即时，在上单调递增，此时，；(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，；(iii)若，即时，在上单调递减，此时，．综上所述，．【变式】1．（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知函数其中．(1)若，求函数的单调区间和极值;(2)当时，讨论函数的单调区间．【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为；极小值答案见解析【解析】（1）函数的定义域为．则，令，可得，当变化时，和的变化情况如下：单调递减单调递减单调递增故函数的单调减区间为;单调增区间为．当时，函数有极小值.（2）因为，所以，所以函数的定义域为，求导可得令，可得，当时，，因为(当且仅当时，)所以函数在单调递增．当时，，当变化时，和的变化情况如下：单调递增单调递减单调递增故函数的单调减区间为单调增区间为当时，，当变化时，和的变化情况如下：单调递增单调递减单调递增故函数的单调减区间为单调增区间为，综上，当时，函数在单调递增；当时，函数的单调减区间为单调增区间为；当时，函数的单调减区间为单调增区间为，考法二讨论零点个数【例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知为实数，函数(1)当时，求函数的极值点；(2)当时，试判断函数的零点个数，并说明理由．【答案】(1)有且仅有一个极小值点(2)零点个数为2，理由见解析【解析】（1）当a=0时，，故，令，故，与在区间上的情况如下：0+极小值所以在区间上单调递减，在区间单调递增，所以函数有且仅有一个极小值点．（2）函数的零点个数为2，理由如下：（1）当时，．由于，所以，故函数在区间上单调递减，，所以函数在区间上有且仅有一个零点；（2）当时，，故，令，得，，故，因此恒有，所以函数在区间上单调递增；又，所以函数在区间上有且仅有一个零点．综上，函数的零点个数为2．【变式】1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）设函数，，其中，曲线在处的切线方程为(1)若的图象恒在图象的上方，求的取值范围；(2)讨论关于的方程根的个数．【答案】(1)；(2)答案见解析【解析】（1），则，则,又因为，解得，，所以；由题意得，对一切恒成立，分离参数得，对一切恒成立，令，则，令，则，，所以函数过点，且在上单调递减，当时，；当时，．又易知与同号，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以，故的取值范围为；（2）由题意，原方程等价于分离参数后的方程，令，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，又当时，；当时，，所以的大致图象如图.观察图象可知：

当时，方程根的个数为；当时，根的个数为；当时，根的个数为．考法三已知零点个数求参数【例3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数，其中.(1)若，求的单调区间；(2)若恰有2个不同的极值点，求的取值范围；(3)若恰有2个不同的零点，求的取值范围.【答案】(1)单调减区间为，无增区间.(2)(3)【解析】（1）解：若，则，可得，设，则，当时，递增；当时，递减，所以，即，所以在递减，即的单调减区间为，无增区间.（2）解：由函数，可得，由题意可得有两个不等的正根，设，若，则在递增，不符合题意；若，可得，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，可得，因为有两个不等的正根，所以，解得，所以实数的取值范围是.（3）解：由，可得，即，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，又时，时，，因为恰有2个不同的零点，所以，可得，所以实数的取值范围是.【变式】1．（2023·河南·模拟预测）已知函数，且.(1)求在上的最大值；(2)设函数，若函数在上有三个零点，求的取值范围.【答案】(1)最小值为，最大值为.(2)【解析】（1）解：由函数，可得，因为，可得，解得，所以且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；当，函数取得极大值；当，函数取得极小值，又由，所以函数在区间上的最小值为，最大值为.（2）解：由函数和，可得，因为函数在上有三个零点，即有三个实数根，等价于与的图象有三个不同的交点，又由，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当，函数取得极小值；当，函数取得极小值，又由当时，，当时，，要使得与的图象有三个不同的交点，可得，即实数的取值范围是.考法四恒成立与能成立问题【例4】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.(1)讨论函数极值点的个数；(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）由题意知：定义域为，，令，则，令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，当时，恒成立，大致图象如下图所示，

则当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减，无极值点；当时，与有两个不同交点，此时有两个变号零点，有两个极值点；当时，与有且仅有一个交点，此时有且仅有一个变号零点，有且仅有一个极值点；综上所述：当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，有且仅有一个极值点.（2）由题意知：当时，恒成立；设，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，即，，又恒成立，，即实数的取值范围为.【变式】1．（2023·浙江·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1），当时，，在上单调递减；当时，，所以时，单调递增，时，单调递减，综上所述，当时，单调递减；当时，在上单调递增；在上单调递减.（2）若对任意恒成立，可得，即对任意恒成立，令，，，令，，因为，所以，所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以，可得.2．（2023秋·江西·高三临川一中校联考阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】（1）因为，所以，因为，当时，，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当时，由，得或，当即时，，在上单调递增，当时，，时，，在上单调递减，或时，，在上单调递增，当时，，时，，在上单调递减；或时，，在上单调递增．综上可得，时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增．（2）由题可得，所以，由（1）得当时，在上单调递增，则时，不满足题意，当时，在上单调递减，在上单调递增，当，即时在上单调递减，时，，满足题意，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，由时，恒成立，则，即，因为，，所以，综上得实数的取值范围为．考法五不等式的证明【例5】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数，．(1)求的极值；(2)证明：当时，．（参考数据：）【答案】(1)极大值为，无极小值(2)证明见解析【解析】（1）的定义域为，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，所以的极大值为，无极小值；（2）设，则，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，，所以存在，使得，即．当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以当时，在处取得极小值，即为最小值，故，设，因为，由二次函数的性质得函数在上单调递减，故，所以当时，，即．【变式】1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【解析】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.考法六三角函数型【例6】（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递减；(2)【解析】（1）因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.（2）法一：构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.【变式】1．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）已知函数，的导函数为．(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；(2)当时，记函数的极大值和极小值分别为，，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）依题意，，根据题意知，在上恒成立，即在上恒成立．令，，则，令，，则，则时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增．而，，，故，，当时，，，即在上单调递增，当时，，，即在上单调递减，故，则，故实数的取值范围为．（2）令，则，设，分别为函数在上的极大值点与极小值点，所以，，则，且．所以，由，得，其中，，故．设，，则，令，解得，故当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故，即，故．考法七切线问题【例7】（2022·全国·统考高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．【答案】(1)3；(2)【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；（2），则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：01000则的值域为，故的取值范围为.【变式】1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知，函数．(1)讨论的单调性；(2)求证：存在，使得直线与函数的图像相切．【解析】（1）的定义域是，，当时，恒成立，在单调递增；当时，令，则，显然成立，解得：，，当时，；当时，，的增区间是和，减区间是．（2），则，设切点坐标为．由直线与函数的图象相切，则，解得：．显然直线过原点，则，所以．整理得，即：，得：．设，．当时，，递减，当时，，递增．又，．所以存在，使得．存在，使得直线与函数的图像相切．2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，函数.(1)若是增函数，求的取值范围；(2)证明：当，且时，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）的定义域为令，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，从而，故的取值范围是.（2）设曲线的切点为，则曲线在点处的切线方程为.联立，得，必有，记函数，由题，故当时，.记，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增.当，且时，，当时，，故存在，使得，当，或时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减.由，得，代入并整理得：同理，记，由（1）知为增函数，，，又，当时，，有三个零点，存在三条直线是曲线的切线，也是曲线的切线.考法八极值点偏移【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．【答案】(1)；(2)证明见的解析【解析】（1）[方法一]：常规求导的定义域为，则令,得，当单调递减当单调递增，若,则,即，所以的取值范围为[方法二]：同构处理由得：，令，则即令，则，故在区间上是增函数故，即所以的取值范围为（2）[方法一]：构造函数由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设要证,即证因为,即证又因为,故只需证即证即证下面证明时，设，则设所以,而所以,所以所以在单调递增，即,所以令，所以在单调递减，即,所以；综上,,所以.[方法二]：对数平均不等式由题意得：，令，则，所以在上单调递增，故只有1个解又因为有两个零点，故两边取对数得：，即又因为，故，即下证因为不妨设，则只需证构造，则故在上单调递减，故，即得证【变式】1．（2023·安徽马鞍山·统考一模）设函数.(1)若对恒成立，求实数的取值范围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）解：由，得.令，，则，令，则.所以，函数在上单增，故.①当时，则，所以在上单增，，此时对恒成立，符合题意；②当时，，，故存在使得，当时，，则单调递减，此时，不符合题意.综上，实数的取值范围.（2）证明：由（1）中结论，取，有，即.不妨设，，则，整理得.于是，即.专题06导数（解答题）巩固提升练习1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性.【答案】(1)；(2)答案见解析【解析】（1）由已知，则，当时，，，则曲线在处的切线方程为，即（2）由（1）知，，①当时，，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；②当时，由，得，（ⅰ）当时，，当时，，在，单调递增；当时，，在单调递减；（ⅱ）当时，，，在单调递增；（ⅲ）当时，，当时，，在，单调递增；当时，，在单调递减；综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减；②当时，在，单调递增，在单调递减；③当时，在单调递增；④当时，在，单调递增，在单调递减.2.(2022·广东广州检测)已知a≥1，函数f(x)＝xlnx－ax＋1＋a(x－1)2．(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的零点个数．【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋2(x－1)．当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0．所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)当a＝1时，f(x)＝xlnx－x＋1＋(x－1)2，因为f(1)＝0，且f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有1个零点．当a＞1时，f′(x)＝1＋lnx－a＋2a(x－1)＝1＋lnx＋2ax－3a，令g(x)＝1＋lnx＋2ax－3a，因为a＞1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f′(1)＝g(1)＝1－a＜0，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝1＋lneq\f(3,2)＞0，所以存在实数x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，使得g(x0)＝0．在(0，x0)上，f′(x)＜0，f(x)是减函数；在(x0，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)是增函数．所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0满足f′(x0)＝0，即1＋lnx0＋2ax0－3a＝0．所以f(x0)＝x0lnx0－ax0＋1＋a(x0－1)2＝x0(3a－1－2ax0)－ax0＋1＋a(x0－1)2＝(1－x0)(a＋ax0＋1)，因为x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以f(x0)＜0，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(a,9)＋1－eq\f(ln3,3)＞0，f(3)＝3ln3＋a＋1＞0，所以f(x)有2个零点．综上所述，当a＝1时，f(x)有1个零点；当a＞1时，f(x)有2个零点3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)【解析】（1）当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；（2），则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.4．（2023秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）设，.(1)当时，求的极值；(2)讨论函数的单调性；(3)若有恒成立，求的取值范围.【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3)【解析】（1）的定义域为，因为，∴，∴时，，单调递增，时，，单调递增，时，，单调递减，∴，；（2）由题：，1°当时：，时，，单调递减，时，，单调递增；2°当时：∵，∴时，，单调递减，时，，单调递增；3°当时：①若即，所以时，，单调递增，时，，单调递减；时，，单调递增，②若即，，则在单调递增；③若即，所以时，，单调递增，时，，单调递减；时，，单调递增；（3）欲使恒成立，只需，根据(2)的结论，1°，当时：时，，单调递增；时，，单调递减，∴令，得，此时，；2°当时：①若即，所以时，，单调递增，时，，单调递减；时，，单调递增；②若即，时，，单调递增；③若即，所以时，，单调递增，时，，单调递减；时，，单调递增；不论上述哪种情况，均有时，因此，不可能有恒成立，舍去.综上：的取值范围为.5.（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)当时，若不等式恒成立，求的取值范