新高考数学二轮复习 专题06 导数 解答题 巩固练习三（教师版）

专题06导数解答题巩固练习三1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数，．(1)若函数在处的切线的斜率为，求实数a的值（e是自然对数的底数）；(2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)．【解析】（1）因为，定义域为，故，则，即，即，令，则，又因为在上单调递增，且当时，，所以，即，．（2）因为函数有且仅有两个零点，所以有且仅有两个大于1的实数根，又，则，即，令，则，由，得，当时，，当时，，

所以在上单调递减且，在上单调递增且时，又，，则，则，即得，所以，即，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，

当时，，且无限趋近于0，所以，故实数a的取值范围为．2．（2023·云南·校联考模拟预测）已知.(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，证明：函数有且仅有一个零点.【答案】(1)函数的单调递增区间为,，单调递减区间为,(2)证明见解析【解析】（1）当时，，，由得或，解得或由得或，解得或，故函数的单调递增区间为,，单调递减区间为,.（2）当时，，定义域为，，设，，所以在区间上是增函数，，存在唯一，使，即，当时，，即；当时，，即；当时，，即，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数，当时，取极大值为，设，，所以在区间上是减函数.在内无零点，，在内有且只有一个零点，综上所述，有且只有一个零点.3．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．【答案】(1)(2)答案见解析(3)3个【解析】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知函数．(1)当时，求函数在上的最大值．(2)若函数在定义域内有两个不相等的零点，，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）∵当时，，∴．当时；，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增．∵，，∴，∴函数在上的最大值为．（2）要证，只需证．∵，，∴由①－②得，整理得．只需证，即证，即证．不妨设，令，则只需证，即证．设，则只需证当时，即可．∵，令，则，∴在上单调递减，当时，，∴在上单调递增，当时，，∴原不等式得证．5．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数，.(1)求实数的值；(2)证明：时，.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）因为，则，则，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的单调减区间为，单调增区间为.故有最小值，故.（2）由（1）可知，，当时，要证，即证，即证，令，