小学奥数教案-容斥问题

小学奥数教案——容斥问题一、教学目标1.让学生理解容斥原理的基本概念，能够清晰地阐述容斥问题的特点。2.学生熟练掌握利用韦恩图来分析容斥问题，学会根据图形准确找出各部分数量关系。3.通过不同类型容斥问题的学习，培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重难点1.教学重点深入理解容斥原理，明确其在解决重叠问题中的应用方法。熟练运用韦恩图分析各种容斥问题，准确计算出重叠部分及各部分的数量。2.教学难点能够灵活运用容斥原理解决复杂的容斥问题，尤其是涉及多个重叠情况的问题。引导学生在不同的情境中准确找出对应的数量关系，正确地运用公式进行计算。

三、教学方法讲授法、直观演示法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入（5分钟）1.展示图片：同学们，老师先给大家展示一幅有趣的图片。（展示一幅包含多种动物的图片，其中部分动物既是哺乳动物又是水生动物）2.提出问题：大家仔细观察这幅图片，看看能不能发现其中有哪些有趣的数学现象呢？比如说，动物的种类之间有没有什么重叠的情况呀？3.引导思考：就像图片里有些动物既属于哺乳动物这一类，又属于水生动物这一类，这就是我们今天要研究的容斥问题。在生活中，像这样有重叠现象的情况还有很多，大家能举几个例子吗？4.学生举例：请几位同学分享一下他们想到的生活中重叠现象的例子，如班级里会唱歌和会跳舞的同学，学科中既学语文又学英语的知识点等。5.引出课题：同学们都很善于观察和思考！这些例子都非常好。今天我们就一起来深入研究容斥问题，看看如何巧妙地解决这类数学问题。（板书课题：容斥问题）

（二）知识讲解（20分钟）1.介绍容斥原理讲解概念：容斥原理就是在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出的一种计数方法。比如，我们要统计一个班级里喜欢数学和喜欢语文的同学总数，如果直接把喜欢数学的人数和喜欢语文的人数加起来，可能会有一部分同学既喜欢数学又喜欢语文，这部分同学就被重复计算了一次。所以我们需要用容斥原理来准确计算。举例说明：假设有一个班级，喜欢数学的有20人，喜欢语文的有18人，其中有8人既喜欢数学又喜欢语文。那么喜欢数学或语文的同学总数就不是简单的20+18=38人，而是要用容斥原理来计算。2.引入韦恩图展示图形：（在黑板上画出韦恩图）这是一个简单的韦恩图，用两个相交的圆分别表示喜欢数学和喜欢语文的同学。标注说明：左边的圆表示喜欢数学的同学，右边的圆表示喜欢语文的同学，中间相交的部分就表示既喜欢数学又喜欢语文的同学。分析数量关系：我们可以看到，只喜欢数学的同学人数就是喜欢数学的人数减去既喜欢数学又喜欢语文的人数，即208=12人；只喜欢语文的同学人数就是喜欢语文的人数减去既喜欢数学又喜欢语文的人数，即188=10人。那么喜欢数学或语文的同学总数就是只喜欢数学的人数加上只喜欢语文的人数再加上两种都喜欢的人数，也就是12+10+8=30人。总结公式：通过这个例子，我们可以总结出容斥问题的基本公式：A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。用字母表示就是：A∪B=A+BA∩B。这里的A就相当于喜欢数学的同学集合，B相当于喜欢语文的同学集合，A∪B表示喜欢数学或语文的同学集合，A∩B表示既喜欢数学又喜欢语文的同学集合。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1：一个班有48人，班主任在班会上问："谁做完语文作业了？请举手！"有37人举手。又问："谁做完数学作业了？请举手！"有42人举手。最后问："谁语文、数学作业都没有做完？"没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。分析题目：已知班级总人数是48人，做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，且没有人语文、数学作业都没做完，也就是完成作业的人数就是班级总人数。运用公式：设语文、数学作业都完成的人数为x人。根据容斥原理公式A∪B=A+BA∩B，这里A就是做完语文作业的人数，B就是做完数学作业的人数，A∪B就是班级总人数。所以可以列出方程37+42x=48。解方程：先计算37+42=79，得到79x=48，两边同时加x得到79=48+x，再两边同时减48，解得x=31。总结方法：通过设未知数，利用容斥原理公式列出方程来求解，这种方法在解决类似问题时很常用。2.例2：五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学成绩都优秀的有多少人？分析题目：已知五年级参加考试的总人数是122人，语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人，每人至少有一门优秀。运用公式：设语文、数学成绩都优秀的人数为y人。根据容斥原理公式A∪B=A+BA∩B，这里A是语文成绩优秀的人数，B是数学成绩优秀的人数，A∪B是参加考试的总人数。所以可列出方程65+87y=122。解方程：先算65+87=152，得到152y=122，两边同时加y得152=122+y，再两边同时减122，解得y=30。强调关键：在这类问题中，要明确各部分数量与公式中字母的对应关系，准确运用公式求解。

（四）课堂练习（15分钟）1.练习题1：某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么两次测验都得满分的有多少人？学生独立思考解答，教师巡视指导，提醒学生运用容斥原理公式，找准各部分数量。请一位同学上台讲解解题过程：设两次测验都得满分的有x人。根据公式A∪B=A+BA∩B，这里A是第一次测验满分的人数，B是第二次测验满分的人数，A∪B是班级总人数减去两次都没得满分的人数。可列出方程26+21x=5017。先算26+21=47，5017=33，得到47x=33，两边同时加x得47=33+x，再两边同时减33，解得x=14。教师点评：这位同学的思路很清晰，解题过程也正确。大家要注意理解题目中的数量关系，准确运用公式。2.练习题2：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会的有8人。这个文艺组一共有多少人？学生独立完成后，同桌互相交流解题思路，然后请同学回答。学生回答：根据容斥原理公式A∪B=A+BA∩B，这里A是会拉手风琴的人数，B是会弹电子琴的人数，A∩B是两种乐器都会的人数。所以文艺组人数为24+178=33人。教师总结：非常棒！大家都掌握得很好。通过这两道练习题，我们进一步熟悉了容斥原理的应用。

（五）拓展提升（10分钟）1.例3：在1到100的自然数中，能被3或5整除的数有多少个？分析题目：能被3整除的数构成一个集合A，能被5整除的数构成一个集合B，我们要求的是A∪B的元素个数。分别计算：能被3整除的数有100÷3=33（个）......1，即33个；能被5整除的数有100÷5=20个。计算重叠部分：能被3和5同时整除，也就是能被15整除的数有100÷15=6（个）......10，即6个。运用公式：根据容斥原理公式A∪B=A+BA∩B，这里A是能被3整除的数的个数，B是能被5整除的数的个数，A∩B是能被15整除的数的个数。所以能被3或5整除的数有33+206=47个。2.引导思考：如果题目变成在1到200的自然数中，能被3或5整除的数有多少个呢？大家想一想该怎么计算？学生思考后回答思路，教师进行总结和点评，进一步强化容斥原理在不同情境下的应用。

（六）课堂小结（5分钟）1.回顾内容：同学们，今天我们学习了容斥问题。谁能说一说容斥原理的概念是什么呀？（请同学回答）2.总结方法：对啦，容斥原理就是在计数时避免重叠部分被重复计算的方法。我们通过韦恩图来直观地分析各部分数量关系，还学习了用公式A∪B=A+BA∩B来解决问题。在解题时，要准确找出题目中对应的A、B、A∩B所代表的数量，然后代入公式进行计算。3.强调重点：大家要注意，遇到复杂的容斥问题时，不要慌张，仔细分析数量关系，灵活运用我们所学的知识和方法。希望大家在课后能多做一些相关的练习题，巩固所学内容。

（七）课后作业1.基础作业：课本上相关容斥问题的练习题，要求认真完成，书写规范。2.拓展作业：在一个有60名学生的班级中，喜欢篮球的有35人，喜欢足球的有40人，两种球都喜欢的有20人。那么两种球都不喜欢的有多少人？（请运用容斥原理公式进行计算，并画出韦恩图）3.探究作业：思考生活中还有哪些地方可以用到容斥原理，举例说明并尝试用容斥原理解决你所举例子中的问题。

五、教学反思在本次容斥问题的教学中，通过多种教学方法相结合，引导学生逐步理解和掌握容斥原理。从生活实例导入，激发了学生的学习兴趣，使学生更容易理解容斥问题的概念。在知识讲解环节，利用韦恩图