高中数学第四讲 双曲线

第四讲双曲线

0夯基础考点练透

1.［2020浙江,4分］已知点0(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PAHPB|=2,且P为函数丫=3反正图象上的点,则

|0P|=()

A考B.FC.V7D.VW

2.［2021大同市调研测试］已知双曲线C与抛物线x'8y有共同的焦点F,且点F到双曲线C的渐近线的距离等于1,

则双曲线C的方程为()

A.^-X2=1B.jl

33

C.^-x2=lD.y$l

55

22

3.［2021郑州名校联考第一次调研］已知双曲线2-9=l(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-l)2+y2=sin2130°相切，则该双曲

线的离心率e等于()

A.—i―B.—i—C.2sin50°D.2cos50°

sinSOcos50

4.［2021四省八校联考］若P是双曲线x2-/=l上一点，以线段P0(0为坐标原点)为直径的圆与该双曲线的两条渐近

线分别交于不同于原点的A,B两点，则四边形PAOB的面积为()

A.i1B.1iC.1D.2

32

22

5.［2020天津,5分］设双曲线C的方程为"-9=1(a>0,b〉0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为1.若C的一

azb2

条渐近线与1平行，另一条渐近线与1垂直，则双曲线C的方程为()

A.匕匕1BY-匕1

444

C.--y2=lD.x2-y2=l

4」」

6.［2020南昌市测试］圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线三-*1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则

a4y

该双曲线的离心率的取值范围是()

A.(V2,V5)B.(|,|)C.(|,|)D.(V5,V2+1)

7.［多选题］已知双曲线1-〈=sin2。(0rkjkGZ),则不因。变化而变化的是()

42

A.焦距B.离心率

C.顶点坐标D.渐近线方程

2

8.[2020江西红色七校第一次联考]双曲线C:xs-十1的左、右焦点分别为宿,Fz,点P在C上且tanZF,PF2=4V3,0

为坐标原点,则10P|=.

提能力考法实战

9.[2021安徽省示范高中联考]已知点F为双曲线C:^-g=l(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx,ke喙四与双曲线C

交于A,B两点，若AFLBF,则该双曲线的离心率的取值范围是()

A.[V2,V3+1]B.[V2,V2+V6]

C.[2,V3+1]D.[2,V2+V6]

22

10.[2021江西九江三校联考]已知双曲线京春=l(a>0,b>0)的离心率为2,H,Fz分别是双曲线的左、右焦点，

M(-a,0),N(0,b),点P为线段MN上的动点，当耐•时取得最小值和最大值时，△PFR的面积分别为SbS2,则会=

()

A.4B.8C.2V3D.4旧

丫222

11.[2021河南省名校第一次联考]已知F.,F?分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过F.(-c,0)作x轴的垂

线交双曲线于A,B两点，若/RAF2的平分线过点M(qc,0),则双曲线的离心率为()

A.2B.V2C.3D.V3

12.[2020洛阳市第一次联考]已知双曲线C:4-g=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为K(-c,0),F2(c,0),A,B是圆

a2b2

6+<:)2+/=4/与双曲线C位于x轴上方的两个交点，且RA〃FzB,则双曲线C的离心率为()

A2B*CNDN

3344

22

13.[2021河北省六校第一次联考][多选题]己知双曲线q-£=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,双曲线的左

焦点在直线x+y+V5=0上,A,B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点,直线PA,PB

的斜率分别为kl(k2)则L+底的取值可能为()

A.-B.1C.-D.2

43

团创新预测

14.[2020惠州市二调][新定义题]我们把焦点相同、离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知

F“W是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当NRPFz=60°时,这一对相关曲线中双曲线的

离心率是()

A.V3B.V2C.—D.2

3

15.[递进型]在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程为2x±y=0,且该双曲线经过点G，1),则该双曲线的标准

42

方程为，焦点坐标为

答案

第四讲双曲线

目I夯基础•考点练透

1.D由|PA1-|PB|=2<|AB]=4,知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x?-学1(x》l),又y=3V^^,所以

X?书,y言,所以IOPI=〃2+y2=+鲁国,故选D.

2.A抛物线xMy的焦点为F(0,2),因为双曲线C与抛物线x?=8y有共同的焦点,所以双曲线的半焦距c=2,设双曲

线方程为学名=1(a>0,b>0),则其渐近线方程为y=±^x,即ax±by=O,点F(0,2)到渐近线的距离为7驾卫=1,所以

b=l,所以a2=c2-b2=3,故双曲线的方程为9-x2=l,故选A.

3.B根据对称性，取双曲线的一条渐近线bx-ay=O.

El(x-l)2+y2=sin2130°的圆心为(1,0),半径r=sin130°=sin50°.因为渐近线与圆(xT)'+yJsirT130°相切，所以

2

而bks】•n5「0co，所仁「以【、1匕后2二sin有S0°

所以e=-=+容[二—^―.故选B.

211+。：2；：

ayjayc♦os50cos50

4.B解法一由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为0P为圆的直

径,点A,B在圆上,所以NOAP=/OBP=90°,所以四边形PA0B为矩形.设点P(x[,外)，则点P到两条渐近线的距离分别

为，出言,所以四边形PA0B的面积为当匚.又点P(x„y)在双曲线x^yJl上,所以好-尤=1,

所以SmaiK1',™=-^^—=1,故选B.

解法二如图D9-4-1,由题意，点P为双曲线上任意一点，不妨设点P为双曲线的右顶点，即P(l,0).易知双曲线的

渐近线方程为y=±x,所以该双曲线的两条渐近线互相垂直.因为0P为圆的直径，点A,B在圆上,所以

Z0AP=Z0BP=90o.又点P(l,0)到两条渐近线的距离均为当所以四边形PA0B为正方形,所以S喊.=(纱号故

选B.

图D9-4-1

5.D解法一由题知y』x的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为x+9,而今\=1的渐近线方程

为马白。和上白0,由1与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得a=l,b=l,故选D.

abab

解法二由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直,则a=b,即渐近线方程为x±y=O,排除B,C.又知y2=4x的焦点坐标

为(1,0),1过点(1,0),(0,b),所以等=-l,b=l,故选D.

6.C不妨设该渐近线经过第二、四象限,则该渐近线的方程为bx+ay=0.因为圆C:x2+(y-5)2=9,所以圆C的圆心为

(0,5),半径为3,所以2＜7畀＜4,结合a2+b2=c2,得;《号所以该双曲线的离心率的取值范围是。认故选C.

22222

7.BD由题可得,双曲线方程可化为三三二1,.■2=4sin20,b=2sin0,c=6sin0,则e=^,渐近线方程为

4sin202sin20a22

y=±2x=±1x,.•.不因0变化而变化的是离心率和渐近线方程.故选BD.

a2

8.V5因为tanZF,PF2MV3,所以sin/FFF产竽,cos/FFF再.

ooo

由余弦定理得IF1F2I=］PF1I+|PF2|-2IPFJ•|PF2|«COSZF1PF2)

所以|招「2『=|「居|2+护「2|2-舁呼||•|PF/=16,

又I|PFi|-|PF川=2,所以|PF卜|PFj=7,

贝|J△FFF2的面积为六|PFJ-PF/•sinZF,PF2=2V3.

2

设P(x。,y0),因为的面积为：•2c•|y。|=2次,所以|y。仁百,代入x~^l得诏=2,所以

10P|=y/x^+yJ=V2+3=V5.

目〕提能力•考法实战

9.A解法一设直线y=kx的倾斜角为a,则k=tanae俘同，所以a€.设点A在第一象限,双曲线的左

焦点为F',0为坐标原点,则/A0F=a,连接F'A,F'B,由AF±BF,根据双曲线的对称性可得四边形F'BFA为矩形,所

以IFF'|=|AB|=2c,所以10A|=c,则A(ccosa.csina),代入双曲线方程可得，2等-驾兽=1,即江等学用1,

a2b2a2c2-a2

所以eWa_予=1,所以e'cola-21+1=0,可得62=^^=^^=^,贝ij5=-^_或,=_2_(舍去)，即

ez-l2cosza2coszacosza1-sina1+sina

e^—,5La昼号,勺，所以2・5・2=4+2b=(百+1)2,所以应・6忘旧+1.故选人.

1-sma632V3

解法二设直线y=kx的倾斜角为a,则k=tanae［争同，所以ae阜具设点A在第一象限,双曲线的左焦点

为F',0为坐标原点，则/A0F=a,连接F'A,F'B,由AF1BF,根据双曲线的对称性可得四边形F'BFA为矩形,所以

IFF'HAB|=2c,则NABF(,在直角三角形ABF中，|AF|=2csin*|BF|=2CCOS要由对称性可得|AF'|=|BF|=2ccos1由

双曲线的定义可得,2a=|AF'HAF|=2c(cos.sin》所以e=—~^=方心,因为a右白舁所以尹衿耳等，

则夜cos(＞？e［第,学，所以eG［夜，仔1］,故选A.

解法三设直线y=kx的倾斜角为a,则k=tanaG［手,百］,所以aGJ；］.设点A在第一象限,双曲线的左焦点

363

为F',0为坐标原点，则NA0F=a,连接F'A,F'B,由AF1BF,根据双曲线的对称性可得四边形F'BFA为矩形,所以

|FF，|=|AB|=2C,所以IOAI=c.当a=-

6

时，IAF|=Jc2+c2-2c2cosg力2-百「5%,NAOF'=詈，］AF'l=Jc2+c2-2c2cos,=\/2+根据双曲线

的定义可得,2a=|AF'HAF产方c,所以e=&.当a三时,^OF为正三角形，所以

|AF|=c,/AOF'哼|AF'|=卜+c2-2c2cos*gc,根据双曲线的定义可得,2a=|AF'HAF|=(百-l)c,所以

e=V3+l.所以或We〈V5+l,故选A.

10.A由双曲线的离心率为2,可知c=2a,b=V3a,则N(0,岳),为(-2a,0),J(2a,0),线段MN的方程为

y=(一aWx<0).设P(xo,V3xo+V3a),-a^xo^O,则PF；=(-2a-xo,~V3xo~V3a),PF；=(2a-xo,-V3xo-V3a),所以

JJ

PF；•PF2=(-2a-x0)(2a-xo)+(-V3x0-\/3a)=4XQ+6ax0-a(-a^xo^O).当x0=-^a时,PF；•PF；取得最小值,此时P(-

^a,ya),贝(JS】=2aX乎a《a1当xo=O时,PF；•PF；取得最大值,此时P(0,V3a),贝I」S2=2aXV3a=2-73a".所以

诺翁4.故选A.

ll.D由题知，|MF」=|c,|限|小，|AF』0,又|AF?HAF"=2a,则|AFz|=2a+Q,由角平分线性质得给=若，即

33aaIMF21IAF21

b2

化简得b2=2a2,月亍以eq=Jl+g=V3,故选D.

2a+?2,

12.C如图D9-4-2,连接BB,AF2,由双曲线的定义知，|AFzHAFj=2a,|BF，HBFz|=2a,由|BFi|=|AF/=2c,可得

|AF?|=2a+2c,|BFj=2c-2a,在△AFE中，由余弦定理可得在△BFR中,由余弦

2•2c•2c2cz

定理可得cosNBFZR/C*(2c-ja)J4cZ由RA〃F?B,可得NBFZFI+NAFR=n,则有cosNBFF+cosNAFFzR,即

=o,整理得2c2-3ac-a2=0,可化为Ze^Te-FO,解得e=字或e=f(舍去)，所以双曲线C的离心率为

巴2c等z穹2c44

史包.故选c.

4

图D9-4-2

13.CD由双曲线捺-，=l(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,可得a=2b,由双曲线的左焦点在直线x+y+遍=0

上,可得c=V5,则a2+b2=5,得a=2,b=l,双曲线的方程为。-/=1,由题意可得A(-2,0),B(2,0),设P(m,n)(m>2,n>0),

贝即一^7=；,k,k2=-^•"jJ,易知kDO,k2>0,贝ijL+kz22庖Q=l,当且仅当ki=kz时"=”成立.由A,B

4m