2025年中考数学总复习《预选题》专项测试卷附答案

第第页2025年中考数学总复习《预选题》专项测试卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共18小题）1．榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（）A． B． C． D．2．下列运算正确的是（）A．a6÷a2＝a3 B．a+1aC．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．a3•a2＝a53．如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，OF平分∠AOE．若∠COF＝36°，则∠BOD的度数为（）A．20° B．18° C．16° D．14°4．两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作﹣150元，那么80元表示（）A．支出150 B．收入150元 C．支出80元 D．收入80元5．点（﹣4，1）关于原点的对称点是（）A．（﹣4，1） B．（﹣4，﹣1） C．（4，1） D．（4，﹣1）6．下列说法错误的是（）A．掷一枚正方体骰子，偶数朝上这一事件是随机事件 B．“在平面上任意画一个六边形，其内角和为720°”这一事件是必然事件 C．在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母为m的概率为211D．天气预报说明天的降水概率是90%，则明天一定会下雨7．不等式组2x+1≥34x−1＜7A．x≥1 B．x＜2 C．1≤x＜2 D．x＜8．如图，△ABC中∠BAC＝55°将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°）得到△ADEDE交AC于F．当α＝40°时点D恰好落在BC上此时∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°9．如图AB∥CD点E在CD上连接BCBE若BC平分∠ABE∠BED＝46°则∠C的度数为（）A．26° B．23° C．22° D．21°10．抛物线y＝﹣（x+2）2+4的顶点坐标为（）A．（24） B．（﹣2﹣4） C．（﹣24） D．（2﹣4）11．如图射线PAPB切⊙O于点AB直线DE切⊙O于点C交PA于点D交PB于点E若△PDE的周长是12cm则PA的长是（）A．3cm B．6cm C．12cm D．13cm12．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示它的对称轴为x=−12A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．4a﹣2b+c＜0 D．若（x1y1）和（x2y2）是这个抛物线上的两点则当|x1+12|＞|x14．如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值：x…﹣1124…y…﹣7353…下列说法：①函数图象的开口向下②函数图象与x轴有两个交点③函数的最大值是5④当x＞3时y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．如图△ABC的顶点ABC在边长为1的正方形网格的格点上BD⊥AC于点D．则BD的长为（）A．235 B．345 C．16．如图在矩形ABCD中AB＝6AD＝4点EF分别为BCCD的中点BFDE相交于点G过点E作EH∥CD交BF于点H则线段GH的长度是（）A．56 B．1 C．54 17．如图矩形ABCD中AB＝3AD＝4将矩形ABCD折叠后A点的对应点A'落在CD边上EF为折痕AA'和EF交于G点当AG+BG取最小值时此时EF的值为（）A． B．3 C．2 D．518．如图正方形ABCD的边长为6将正方形折叠使顶点D落在BC边上的点E处折痕为GH．若点E恰好是BC的中点则线段CH的长为（）A．32 B．3 C．3 D．二．填空题（共14小题）19．代数式1x−8有意义时x应满足的条件是20．因式分解：2a2﹣8＝．21．分解因式：ax2﹣4ay2＝．22．如图一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖击中黑色区域的概率是．23．如图AB是⊙O的直径圆上的点D与点CE分布在直线AB的两侧∠AED＝40°则∠BCD＝．24．如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案则它们的旋转角度是．25．如图在正方形ABCD中AB＝8E为对角线BD上一动点F为射线AB上一点．若EA＝EF则△AEF面积的最大值为．26．如图在矩形ABCD中AB＝2AD＝4以点A为圆心AD长为半径作圆交AB于点E过点B作⊙A的切线BF交CD于点G切点为F则图中阴影部分的面积为．27．如图菱形ABCD的边长为2∠BAD＝60°将该菱形绕顶点A在平面内旋转得到菱形AB′C′D′若B′C′与CD所在直线交于点E则当CB′最小时DE的长为．28．如图在矩形OABC和正方形ADEF中点AD均在x轴正半轴上点C在y轴的正半轴上点F在AB上点BE在同一个反比例函数图象上若正方形ADEF的面积为4且BF＝AF则这个反比例函数的表达式为．29．如图直线l：y=12x−4与反比例函数y=kx(k＞0)图象交于点A与x轴交于点B将线段AB绕点B逆时针旋转90°至线段BC若点C恰好也在反比例函数图象上30．如图在正方形ABCD中AB=83点E为边AD上一点连接BE点G在BE上以GE为边作等边△EFG点F落在CD上M为GF中点连接CM则CM的最小值为31．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中三角形被称为圭田圭田术曰：“半广以乘正纵”也就是说三角形的面积等于底的一半乘高说明三角形的面积是应用出入相补原理由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚以下补上．如果图中矩形的面积为20那么图中阴影部分的面积是．32．如图在菱形ABCD中AB＝AC＝3对角线ACBD交于点OE是BD上的一个动点将线段AE绕点A逆时针旋转到AF且∠EAF＝∠BAD连接EFDF若△DEF是直角三角形则BE的长为．三．解答题（共19小题）33．计算：2−134．已知：如图ADBC相交于点O且AD＝BC∠C＝∠D＝90°．求证：CO＝DO．35．计算：(−136．某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形ABCD为箱子截面图x轴经过箱子底面中心并与其一组对边平行AB＝CD＝1米OB＝BC＝2米）王同学站在原点将乒乓球从1.5米的高度P处抛出乒乓球运行轨迹为抛物线当乒乓球离王同学1米时达到最大高度2米．（1）求抛物线的解析式（2）王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子请通过计算说明（3）若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起沿与原抛物线形状相同的抛物线运动且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半请判断乒乓球是否弹出箱子并说明理由．37．图①中的陕西广播电视塔又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔此时飞行高度AB＝980m如图②从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°看塔底D的俯角∠EAD＝45°求西安电视塔的高度CD．（参考数据：sin37°＝0.60cos37°＝0.80tan37°＝0.75）38．学习完锐角三角函数知识后老师组织学生开展测量物体高度的实践活动小刚所在小组的任务为测量校园里一棵树的高度由于有围栏保护他们无法到达树的底部．于是小刚所在小组经过讨论后决定利用平面镜和测倾器进行实地测量并完成了如下的测量报告：课题测量树的高度测量工具平面镜测倾器和皮尺测量示意图及说明说明：①DCBF四点共线DEAB均垂直于DF②平面镜放置于C处且大小忽略③测倾器放置于F处且高度忽略．测量过程及相关数据小刚站在D处恰好可以通过平面镜看到树的顶端A小刚眼睛与地面高度DE＝1.5米小刚到平面镜的距离CD＝4.5米平面镜到测倾器的距离为CF＝34米测得∠AFB＝39°.参考数据sin39°≈0.6cos39°≈0.8tan39°≈0.8请你根据以上测量报告求树AB的高度．39．某校为了解七八两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况决定从七八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试满分100分成绩整理分析过程如下：【收集数据】七年级20名学生测试成绩统计如下：5658646769707071747778788486868686919295．【整理描述数据】七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值如最左边第一组的成绩范围为50≤x＜60）：八年级20名学生测试成绩频数分布表：成绩50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100人数045x4【分析数据】两组样本数据的平均数中位数众数方差如表所示：年级平均数中位数众数方差七年级76.9ab119.89八年级79.28174100.4根据以上提供的信息解答下列问题：（1）补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（2）统计表中x＝7a＝77.5b＝86（3）从样本数据分析看分数较集中的是八年级（填“七”或“八”）．40．如图△ABC内接于⊙OAB为直径作OD⊥AB交BC于点E且DE＝DC．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）如果OA=23OE＝241．如图△ABC是⊙O的内接三角形∠C＝60°点D在BO的延长线上且AB＝AD．（1）求证：DA是⊙O的切线（2）若⊙O的半径为2求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）42．某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练每人踢五次训练结束后把结果制成了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）求此次定点射门训练中进球5次的人数（2）在此次定点射门训练中进球5次的队员中有1名女生．学校想从进球5次的队员中选2人参加比赛请通过列表或画树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率．43．如图灌溉车为绿草地浇水以点O为坐标原点OC所在直线为x轴OH所在直线为y轴喷水口H离地竖直高度OH为1.2米可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米高出喷水口0.4米．（1）求上边缘抛物线的函数表达式（2）灌溉车行驶时喷出的水刚好能浇灌到整个绿草地求绿草地的宽度BC．44．如图已知△ABD内接于⊙O以ABD为顶点在△ABD上方作▱ABCD且边CD与⊙O相切于点D连接DO并延长交AB于点E对角线AC与BD相交于点F．（1）求证：∠DAB＝∠DBA（2）若⊙O的半径r＝6BD=82求▱ABCD45．问题探索：（1）如图1在矩形ABCD中点EF分别在边ABBC上连接CEDF且CE⊥DF于点G若ABAD=2则DFCE问题解决：（2）如图2小明家原有一块四边形菜地其中AB∥CDDA⊥ABAD＝20米CD＝10米CB=105米后经土地资源再分配调整为五边形AEFCD经测量BE＝10米FE⊥BE现需过点F修建一条小路将五边形AEFCD分割成两个区域进行不同的蔬菜种植设计时满足点P在边AD上FP与CB所夹锐角为45°求需修小路PF46．如图正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y=kx的图象相交于AB两点其中点A的坐标是（3（1）求反比例函数的表达式．（2）设直线y＝x+b与反比例函数的图象的交点横坐标分别为x1x2（x1＜x2）与直线y＝2x的交点横坐标为x3若x1＜x3＜x2求b的取值范围．47．一座三拱桥横跨于湖面之上三个桥洞L1L2L3均呈抛物线型且抛物线形状相同如图所示以AB中点O为坐标原点AB所在直线为x轴OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知：桥洞L1的最大高度OC为8米跨度AB＝32米桥洞L2L3关于y轴对称且最大高度均为4米．（1）求桥洞L1所在抛物线的函数表达式（2）如图所示现需要在桥洞L2L3上安装两盏靠近y轴的照明灯QP且照明灯的高度都是2米请计算照明灯的水平距离PQ的长度．48．如图在△ABC中AB＝AC以AC为直径的⊙O分别交ABBC于点DE延长AB到点F连接CF若∠BAC＝2∠BCF．（1）求证：CF是⊙O的切线（2）若AD＝3OA=52求49．如图四边形ABCD为菱形点E为CD边上一点连接BE点F为AD延长线上一点连接CF若∠DEB＝∠FCB求证：BE＝CF．50．如图1正方形ABCD中边长AB=2E为对角线AC上一动点△ABE沿着BE对折得到△GBE（1）当AEAC①求△AEB的面积②求AG的长（2）若在线段AC上另有一点F如图2把△BCF沿BF对折正好得到△BGF设AE＝xCF＝y用含x的代数式表示y（3）若点F在线段AC的延长线上把△BCF沿BF对折得到△BGF且在对角线AC上有一点E使得△BAE沿BE折叠后正好得到△BGE．请画出此时的图形（任选一种即可）并简要叙述画图步骤．若仍设AE＝xCF＝y用含x的代数式表示y．51．如图1抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于AC两点交y轴于点B对称轴为x＝2若点A的坐标为（﹣10）OB＝OC点D（m8）为某个动点．（1）直接写出点BC的坐标（2）当点D在抛物线上且在对称轴右侧时设直线AD的解析式为y＝kx+d依据函数图象试求不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣d＜0的解集（3）如图2过点D作x轴的垂线DE交抛物线于点E记DE＝n求n关于m的函数解析式．当n随m的增大而增大时求m的取值范围．参考答案一．选择题（共18小题）1．榫卯是我国古代建筑家具的一种结构方式它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起如图是其中一种榫其主视图是（）A． B． C． D．解题过程：解：该几何体的主视图是：答案为：B．2．下列运算正确的是（）A．a6÷a2＝a3 B．a+1aC．（﹣2a）3＝﹣6a3 D．a3•a2＝a5解题过程：解：A．a6÷a2＝a4原计算错误不符合题意B．a+1a−1a=C．（﹣2a）3＝﹣8a3原计算错误不符合题意D．a3•a2＝a5正确符合题意．答案为：D．3．如图已知直线AB和CD相交于点OOE⊥OCOF平分∠AOE．若∠COF＝36°则∠BOD的度数为（）A．20° B．18° C．16° D．14°解题过程：解：∵OE⊥OC∴∠COE＝90°∵∠COF＝36°∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣36°＝54°∵OF平分∠AOE∴∠AOF＝∠EOF＝54°∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝54°﹣36°＝18°∴∠BOD＝∠AOC＝18°答案为：B．4．两千多年前中国人就开始使用负数如果支出150元记作﹣150元那么80元表示（）A．支出150 B．收入150元 C．支出80元 D．收入80元解题过程：解：由题意可得：80元表示收入80元．答案为：D．5．点（﹣41）关于原点的对称点是（）A．（﹣41） B．（﹣4﹣1） C．（41） D．（4﹣1）解题过程：解：点（﹣41）关于原点的对称点是（4﹣1）答案为：D．6．下列说法错误的是（）A．掷一枚正方体骰子偶数朝上这一事件是随机事件 B．“在平面上任意画一个六边形其内角和为720°”这一事件是必然事件 C．在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母为m的概率为211D．天气预报说明天的降水概率是90%则明天一定会下雨解题过程：解：A掷一枚正方体骰子偶数朝上这一事件是随机事件选项说法正确不符合题意B“在平面上任意画一个六边形其内角和为720°”这一事件是必然事件选项说法正确不符合题意C在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母为m的概率为211选项说法正确不符合题意D天气预报说明天的降水概率是90%则明天不一定会下雨选项说法错误符合题意．答案为：D．7．不等式组2x+1≥34x−1＜7A．x≥1 B．x＜2 C．1≤x＜2 D．x＜解题过程：解：解不等式2x+1≥3得：x≥1解不等式4x﹣1＜7得：x＜2则不等式组的解集为1≤x＜2答案为：C．8．如图△ABC中∠BAC＝55°将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°）得到△ADEDE交AC于F．当α＝40°时点D恰好落在BC上此时∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°解题过程：解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°）得到△ADE∴∠BAC＝∠DAE∠BAD＝∠CAE＝40°AB＝AD∠C＝∠E∴∠B＝70°∴∠C＝∠E＝55°∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°答案为：B．9．如图AB∥CD点E在CD上连接BCBE若BC平分∠ABE∠BED＝46°则∠C的度数为（）A．26° B．23° C．22° D．21°解题过程：解：∵AB∥CD∴∠ABE＝∠BED＝46°∠C＝∠ABC∵BC平分∠ABE∴∠ABC=12∠∴∠C＝23°．答案为：B．10．抛物线y＝﹣（x+2）2+4的顶点坐标为（）A．（24） B．（﹣2﹣4） C．（﹣24） D．（2﹣4）解题过程：解：∵抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+4∴抛物线的顶点坐标为（﹣24）答案为：C．11．如图射线PAPB切⊙O于点AB直线DE切⊙O于点C交PA于点D交PB于点E若△PDE的周长是12cm则PA的长是（）A．3cm B．6cm C．12cm D．13cm解题过程：解：∵射线PAPB切⊙O于点AB∴PA＝PB∵直线DE切⊙O于点C交PA于点D交PB于点E∴AD＝CDBE＝CE∵△PDE的周长是12cm∴PA+PB＝PD+AD+BE+PE＝PD+CD+CE+PE＝PD+DE+PE＝12cm∴2PA＝12cm∴PA＝6cm答案为：B．12．一元二次方程x2﹣5x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定解题过程：解：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝25﹣12＝13＞0∴原方程有两个不相等的实数根．答案为：A．13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示它的对称轴为x=−12A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．4a﹣2b+c＜0 D．若（x1y1）和（x2y2）是这个抛物线上的两点则当|x1+12|＞|x解题过程：解：A由图象可知a＞0b＞0c＜0∴abc＜0故A错误不符合题意B由图象可知b2﹣4ac＞0故B错误不符合题意C∵抛物线的对称轴为直线x=−∴2×(−∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标比﹣2小则当x＝﹣2时函数值小于零∴4a﹣2b+c＜0故C正确符合题意D根据开口向上抛物线上的点离对称轴越近其函数值越小∵|∴y1＜y2故D错误不符合题意答案为：C．14．如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值：x…﹣1124…y…﹣7353…下列说法：①函数图象的开口向下②函数图象与x轴有两个交点③函数的最大值是5④当x＞3时y的值随x值的增大而减小．正确说法的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解题过程：解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）将（﹣1﹣7）（13）（25）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）可得：a−b+c=−7解得：a=−1∴y＝﹣x2+5x﹣1∴a＝﹣1＜0∴函数图象的开口向下故①正确令y＝0则﹣x2+5x﹣1＝0∵Δ＝52﹣4×（﹣1）×（﹣1）＝21＞0∴函数图象与x轴有交点故②正确∵y＝﹣x2+5x﹣1＝﹣（x2﹣5x）﹣1=−(x−=−∴函数的最大值为214故③错误∴当x＞3时y的值随x值的增大而减小故④正确．答案为：C．15．如图△ABC的顶点ABC在边长为1的正方形网格的格点上BD⊥AC于点D．则BD的长为（）A．235 B．345 C．解题过程：解：如图由勾股定理得AC=1∵12BC×2=12AC•BD即1∴BD=4答案为：C．16．如图在矩形ABCD中AB＝6AD＝4点EF分别为BCCD的中点BFDE相交于点G过点E作EH∥CD交BF于点H则线段GH的长度是（）A．56 B．1 C．54 解题过程：解：∵四边形ABCD是矩形AB＝6AD＝4∴DC＝AB＝6BC＝AD＝4∠C＝90°∵点EF分别为BCCD的中点∴DF＝CF=12DC＝3CE＝BE=∵EH∥CD∴FH＝BH∵BE＝CE∴EH=12由勾股定理得：BF=B∴BH＝FH=12∵EH∥CD∴△EHG∽△DFG∴EH∴3解得：GH=答案为：A．17．如图矩形ABCD中AB＝3AD＝4将矩形ABCD折叠后A点的对应点A'落在CD边上EF为折痕AA'和EF交于G点当AG+BG取最小值时此时EF的值为（）A． B．3 C．2 D．5解题过程：解：过点G作GM⊥AD于M∵将矩形ABCD折叠后A点的对应点A'落在CD边上∴点G为AA'的中点∴GM为△ADA'的中位线∵A'在CD上运动∴G在GM上运动∴当AG+BG取最小值时此时A'与C重合AA'＝∴AG＝∵∠AGE＝∠ADC∠GAE＝∠DAC∴△AGE∽△ADC∴∴∴EG＝在△BFG和△DEG中∴△BFG≌△DEG（ASA）∴EG＝GF∴EF＝2EG＝2×＝答案为：A．18．如图正方形ABCD的边长为6将正方形折叠使顶点D落在BC边上的点E处折痕为GH．若点E恰好是BC的中点则线段CH的长为（）A．32 B．3 C．3 D．解题过程：解：设CH＝x则DH＝EH＝6﹣x∵点E恰好是BC的中点BC＝6∴CE=12∵在Rt△ECH中EH2＝EC2+CH2∴（6﹣x）2＝32+x2解得：x=即CH=9答案为：D．二．填空题（共14小题）19．代数式1x−8有意义时x应满足的条件是x＞8解题过程：解：代数式1x−8x﹣8＞0解得：x＞8．答案为：x＞8．20．因式分解：2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）．解题过程：解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．答案为：2（a+2）（a﹣2）．21．分解因式：ax2﹣4ay2＝a（x+2y）（x﹣2y）．解题过程：解：ax2﹣4ay2＝a（x2﹣4y2）＝a（x+2y）（x﹣2y）．22．如图一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖击中黑色区域的概率是725解题过程：解：∵飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成∴设每个小正方形格子的面积都是1∴黑色区域的面积是7游戏板的面积是25∴击中黑色区域的概率为7答案为：72523．如图AB是⊙O的直径圆上的点D与点CE分布在直线AB的两侧∠AED＝40°则∠BCD＝50°．解题过程：解：连接AC由条件可知∠ACD＝40°∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∴∠BCD＝50°答案为：50°．24．如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案则它们的旋转角度是120°+n•360°或240°+n•360°（n为整数）．解题过程：解：如图由旋转的性质得∠DOF＝∠EOD＝∠FOEOD＝OE＝OF又∵∠DOF+∠EOD+∠FOE＝360°∴∠DOF=∠EOD=∠FOE=当梯形ADOF绕着点O旋转至梯形CEOD再旋转至梯形BFOE则它们的旋转角度是120°+n•360°（n为整数）当梯形ADOF绕着点O旋转至梯形BFOE再旋转至梯形CEOD则它们的旋转角度是240°+n•360°（n为整数）∴如图所示它们的旋转角度是120°+n•360°或240°+n•360°（n为整数）．答案为：120°+n•360°或240°+n•360°（n为整数）．25．如图在正方形ABCD中AB＝8E为对角线BD上一动点F为射线AB上一点．若EA＝EF则△AEF面积的最大值为16．解题过程：解：过E作EH⊥AF于H∵EA＝EF∴AF＝2AH∵四边形ABCD是正方形∴∠ABD＝45°∵∠EHB＝90°∴△EHB是等腰直角三角形∴EH＝BH设EH＝x∴AH＝AB﹣BH＝8﹣x∴AF＝2（8﹣x）∴△AEF的面积=12AF•EH=12×2×（8﹣x）×x＝8x﹣x2△AEF面积的最大值为16．答案为：16．26．如图在矩形ABCD中AB＝2AD＝4以点A为圆心AD长为半径作圆交AB于点E过点B作⊙A的切线BF交CD于点G切点为F则图中阴影部分的面积为8﹣23−π解题过程：解：连接AF∵BF切圆A于F∴AF⊥BG．∵AF＝AD＝2AB＝4∴sin∠ABF=∴∠ABF＝30°∵四边形ABCD是矩形∴DC∥AB∴∠BGC＝∠ABF＝30°∴CG=3BC＝2∴S阴影＝矩形的面积﹣△BCG的面积﹣扇形ADE的面积＝2×4−12×2×23−14π答案为：8﹣23−π27．如图菱形ABCD的边长为2∠BAD＝60°将该菱形绕顶点A在平面内旋转得到菱形AB′C′D′若B′C′与CD所在直线交于点E则当CB′最小时DE的长为3−1解题过程：解：如图AB′C三点共线连接ACBD相交于点O当AB′C三点共线时CB′＝AC﹣AB′当AB′C三点不共线时AB′C三点构成三角形AB′C则CB′＞AC﹣AB′∴当AB′C三点共线时CB′最小由题意可得：∠BAC＝∠CAD＝∠ACB＝∠ACD＝30°∠ABC＝120°AC⊥BDOA＝OCOB＝ODAB＝AD＝CD＝2∴△ABD为等边三角形∴BD＝2∴OD＝1∴OA=∴AC=2由旋转得∠AB′C′＝∠ABC＝120°AB′＝AB＝2∴CB'=AC−AB'=23−2∠CB′E＝180°﹣∠AB′∴∠CEB′＝90°∴B'E=∴CE=∴DE=CD−CE=2−(3−3答案为：3−128．如图在矩形OABC和正方形ADEF中点AD均在x轴正半轴上点C在y轴的正半轴上点F在AB上点BE在同一个反比例函数图象上若正方形ADEF的面积为4且BF＝AF则这个反比例函数的表达式为y=8x解题过程：解：由条件可知正方形ADEF的边长为2∴BF＝AF＝2AB＝AF+BF＝2+2＝4设B点坐标为（t4）则E点坐标（t+22）∵点BE在反比例函数的图象上∴k＝4t＝2（t+2）解得t＝2k＝8∴这个反比例函数的表达式为y=8答案为：y=829．如图直线l：y=12x−4与反比例函数y=kx(k＞0)图象交于点A与x轴交于点B将线段AB绕点B逆时针旋转90°至线段BC若点C恰好也在反比例函数图象上解题过程：解：如图过点C作CE⊥x轴于E过点A作AD⊥x轴于D∴∠BEC＝∠BDA＝90°∴∠BAD+∠ABD＝90°由旋转知AB＝BC∠ABC＝90°∴∠CBE+∠ABD＝90°∴∠BAD＝∠CBE∴△ABD≌△BCE（AAS）∴AD＝BEBD＝CE∵直线l：y=12x−4与反比例函数y=kx(k＞0)图象交于点∴B（80）设点A（m12∴OA＝mAD=∴CE＝BD＝m﹣8BE＝AD=∴OE＝8﹣（12m−4∴点C（12−12m∵点AC在反比例函数y=k∴k＝（12−12m）（m﹣8）＝m整理得m2﹣20m+96＝0解得m＝12或m＝8（舍去）∴A（122）∴k＝12×2＝24．答案为：24．30．如图在正方形ABCD中AB=83点E为边AD上一点连接BE点G在BE上以GE为边作等边△EFG点F落在CD上M为GF中点连接CM则CM的最小值为4解题过程：解：∵正方形ABCD∴CD=AB=8作∠CDN＝30°∵以GE为边作等边△EFG点F落在CD上M为GF中点∴EM⊥GF∴∠EMF＝90°∠FEM=∵四边形ABCD是正方形∴∠EDF＝90°∴点EDFM四点共圆所以∠MDF＝∠MEF＝30°∴当点E在AD上运动时点M在DN上运动当CM⊥DN时CM最小∵∠CDN＝30°∴CM最小值=答案为：4331．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中三角形被称为圭田圭田术曰：“半广以乘正纵”也就是说三角形的面积等于底的一半乘高说明三角形的面积是应用出入相补原理由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚以下补上．如果图中矩形的面积为20那么图中阴影部分的面积是5．解题过程：解：如图作AD⊥BC于点D∵四边形EFGH是矩形且边EH在BC上∴∠LHC＝∠ADC＝90°∠IEB＝∠ADB＝90°∴LH∥ADIE∥AD∴△BLH∽△BAD△CIE∽△CAD由题意得S△BLH＝S△ALGS△CIE＝S△AIFLB＝LA=12ABIC＝IA∴LBAB=∴S△BLHS∴S△BLH=14S△BADS△CIE=1∴S△BLH+S△CIE=14S∵S△ABC＝S矩形EFGH＝20∴S阴影＝S△ALG+S△AIF＝S△BLH+S△CIE=1答案为：5．32．如图在菱形ABCD中AB＝AC＝3对角线ACBD交于点OE是BD上的一个动点将线段AE绕点A逆时针旋转到AF且∠EAF＝∠BAD连接EFDF若△DEF是直角三角形则BE的长为3或23．解题过程：解：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝BCAC⊥BD∵AB＝AC∴AB＝BC＝AC则△ABC是等边三角形∴∠ABC＝60°∠BAD＝120°∴∠ABD＝30°∵AB＝3∴AO=∴BD＝33∠ABE＝∠ADB＝30°∵将线段AE绕点A逆时针旋转到AF∴AE＝AF∵∠EAF＝∠BADAB＝AD∴△ABE≌△ADF（SAS）∴BE＝DF∠ADF＝∠ABE＝30°∴∠EDF＝60°∴∠EDF是定值若△DEF是直角三角形分两种情况①当∠EFD＝90°时DE＝2DF＝2BE则BD＝3BE＝33．∴BE=3②当∠DEF＝90°时DE=12DF=12BE则BD∴BE＝23．综上所述BE的长为3或23．答案为：3或23．三．解答题（共19小题）33．计算：2−1解题过程：解：2=1=1=−334．已知：如图ADBC相交于点O且AD＝BC∠C＝∠D＝90°．求证：CO＝DO．解题过程：证明：∵∠D＝∠C＝90°∴△ABC和△BAD都是Rt△在Rt△ABC和Rt△BAD中AD=BC∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）∴∠BAD＝∠ABC∴AO＝BO∴BC﹣BO＝AD﹣AO即CO＝DO．35．计算：(−1解题过程：解：原式=−3+1−236．某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形ABCD为箱子截面图x轴经过箱子底面中心并与其一组对边平行AB＝CD＝1米OB＝BC＝2米）王同学站在原点将乒乓球从1.5米的高度P处抛出乒乓球运行轨迹为抛物线当乒乓球离王同学1米时达到最大高度2米．（1）求抛物线的解析式（2）王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子请通过计算说明（3）若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起沿与原抛物线形状相同的抛物线运动且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半请判断乒乓球是否弹出箱子并说明理由．解题过程：解：（1）由题意得P（01.5）抛物线的顶点坐标为（12）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2（a≠0）∵抛物线y＝a（x﹣1）2+2经过点P（01.5）∴1.5＝a+2∴a＝﹣0.5∴抛物线的解析式为y＝﹣0.5（x﹣1）2+2即y＝﹣0.5x2+x+1.5（2）能理由如下：当x＝2时y＝1.5＞AB当y＝0时﹣0.5x2+x+1.5＝0解得x1＝﹣1（舍去）x2＝3∴乒乓球在运行中高于AB并落在BC的中点处∴王同学抛出的乒乓球能投入箱子（3）解：乒乓球不能弹出箱子．理由如下：依题意设乒乓球弹出后的抛物线解析式为y＝﹣0.5（x﹣k）2+1∵抛物线y＝﹣0.5（x﹣k）2+1的图象经过点（30）∴﹣0.5（3﹣k）2+1＝0解得k1=3−2∴弹出后抛物线解析式为y=−0.5当x＝4时y=−0.5×∴乒乓球不能弹出箱子．37．图①中的陕西广播电视塔又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔此时飞行高度AB＝980m如图②从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°看塔底D的俯角∠EAD＝45°求西安电视塔的高度CD．（参考数据：sin37°＝0.60cos37°＝0.80tan37°＝0.75）解题过程：解：过点C作CF⊥AB垂足为F．∵AB⊥BDCF⊥ABDC⊥BD∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．∴四边形CDBF是矩形．∴BF＝CDCF＝BD＝980m．∵CF∥BD∥AE∴∠EAC＝∠ACF＝37°∠EAD＝∠ADB＝45°．在Rt△ACF中∵tan∠ACF=∴AF＝tan∠ACF•CF＝tan37°×980≈0.75×980≈735（m）．∴CD＝FB＝AB﹣AF＝980﹣735＝245（m）．答：西安电视塔的高度CD为245m．38．学习完锐角三角函数知识后老师组织学生开展测量物体高度的实践活动小刚所在小组的任务为测量校园里一棵树的高度由于有围栏保护他们无法到达树的底部．于是小刚所在小组经过讨论后决定利用平面镜和测倾器进行实地测量并完成了如下的测量报告：课题测量树的高度测量工具平面镜测倾器和皮尺测量示意图及说明说明：①DCBF四点共线DEAB均垂直于DF②平面镜放置于C处且大小忽略③测倾器放置于F处且高度忽略．测量过程及相关数据小刚站在D处恰好可以通过平面镜看到树的顶端A小刚眼睛与地面高度DE＝1.5米小刚到平面镜的距离CD＝4.5米平面镜到测倾器的距离为CF＝34米测得∠AFB＝39°.参考数据sin39°≈0.6cos39°≈0.8tan39°≈0.8请你根据以上测量报告求树AB的高度．解题过程：解：设AB的高度为x米在Rt△ABF中∠AFB＝39°∵tan∠AFB=∴BF=ABtan∠AFB∴CB＝（34−54由题意得：DEAB=DC解得：x＝8经检验x＝8是原方程的解答：树AB的高度约为8米．39．某校为了解七八两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况决定从七八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试满分100分成绩整理分析过程如下：【收集数据】七年级20名学生测试成绩统计如下：5658646769707071747778788486868686919295．【整理描述数据】七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（每组数据包括左端值不包括右端值如最左边第一组的成绩范围为50≤x＜60）：八年级20名学生测试成绩频数分布表：成绩50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100人数045x4【分析数据】两组样本数据的平均数中位数众数方差如表所示：年级平均数中位数众数方差七年级76.9ab119.89八年级79.28174100.4根据以上提供的信息解答下列问题：（1）补全七年级20名学生测试成绩频数分布直方图（2）统计表中x＝7a＝77.5b＝86（3）从样本数据分析看分数较集中的是八年级（填“七”或“八”）．解题过程：解：（1）由题意可得：七年级在70≤x＜80范围内的人数有20﹣2﹣3﹣5﹣3＝7（人）（2）八年级在80≤x＜90范围内的人数有20﹣0﹣4﹣5﹣4＝7（人）即x＝7由七年级20名学生测试成绩可得：成绩从小到大排列处于第十十一位的数据为：7778则中位数a=77+782=77.586出现4次次数最多答案为：777.586．（3）∵119.89＞100.4∴八年级方差较小答案为：八．40．如图△ABC内接于⊙OAB为直径作OD⊥AB交BC于点E且DE＝DC．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）如果OA=23OE＝2解题过程：（1）证明：连接CO∵DC＝DE∴∠DCE＝∠DEC∵OD⊥AB∴∠DOB＝90°∴∠B+∠BEO＝90°∴∠BEO＝∠DEC由条件可知∠B＝∠BCO∴∠BCO+∠DCE＝90°即∠DCO＝90°∴DC为⊙O的切线（2）解：由条件可知tan∠OEB=由条件可知△CDE是等边三角形∴∠DCE＝∠D＝60°DC＝CE＝DE又∵∠DCO＝90°∴∠ECO＝∠EOC＝30°∴DC＝CE＝DE＝OE＝2∴OD＝4∴S阴影41．如图△ABC是⊙O的内接三角形∠C＝60°点D在BO的延长线上且AB＝AD．（1）求证：DA是⊙O的切线（2）若⊙O的半径为2求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）解题过程：（1）证明：如图连接OA∵∠C＝60°∴∠AOB＝120°∵OA＝OB∴∠OBA＝∠OAB∵在△AOB中∠AOB+∠OBA+∠OAB＝180°∴∠OBA＝∠OAB＝30°∵AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB＝30°由条件可知∠BAD＝120°∵∠BAD＝∠OAB+∠OAD∴∠OAD＝90°即OA⊥AD∵OA是半径∴DA是⊙O的切线（2）解：过点O作OE⊥AB垂足为点E∴∠OEB＝90°AB＝2BE∵在Rt△OEB中∠OBE＝30°OB＝2∴OE＝1∴BE2＝22﹣12＝3∴BE=∴AB=2BE=2∴S∵S∴S答：图中阴影部分的面积为4π342．某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练每人踢五次训练结束后把结果制成了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．（1）求此次定点射门训练中进球5次的人数（2）在此次定点射门训练中进球5次的队员中有1名女生．学校想从进球5次的队员中选2人参加比赛请通过列表或画树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率．解题过程：解：（1）进球4次的人数：12÷30%＝40（人）进球5次的人数：40﹣1﹣9﹣15﹣12＝3（人）答：进球5次的人数有3人．（2）进球5次的人数有3人其中女队员1人所以男队员有2人．男男女男（男男）（女男）男（男男）（女男）女（男女）（男女）由表可知一共有6种等可能结果其中参加比赛的队员是一男一女的结果有：（女男）（女男）（男女）（男女）共4种．∴概率=443．如图灌溉车为绿草地浇水以点O为坐标原点OC所在直线为x轴OH所在直线为y轴喷水口H离地竖直高度OH为1.2米可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米高出喷水口0.4米．（1）求上边缘抛物线的函数表达式（2）灌溉车行驶时喷出的水刚好能浇灌到整个绿草地求绿草地的宽度BC．解题过程：解：（1）由题意知A（21.6）H（01.2）设y＝a（x﹣2）2+1.6将H（01.2）代入y＝a（x﹣2）2+1.6得1.2＝4a+1.6解得a=−∴y=−即y=−1（2）由题意知H（01.2）关于直线x＝2的对称点为（41.2）∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的∴BC＝4米．即绿草地的宽度BC为4米．44．如图已知△ABD内接于⊙O以ABD为顶点在△ABD上方作▱ABCD且边CD与⊙O相切于点D连接DO并延长交AB于点E对角线AC与BD相交于点F．（1）求证：∠DAB＝∠DBA（2）若⊙O的半径r＝6BD=82求▱ABCD解题过程：（1）证明：∵边CD与⊙O相切于点D∴OD⊥CD∵四边形ABCD是平行四边形AB∥CD∴DE⊥AB∴∠AED＝∠BED＝90°AE＝BE在△AED和△BED中DE=DE∴△AED≌△BED（SAS）∴AD＝BD∴∠DAB＝∠DBA（2）过O作OG⊥BD交于G∴∠DGO＝90°DG=∴OG=O∴∠DEB＝∠DGO＝90°∵∠ODG＝∠BDE∴△ODG∽△BDE∴6解得：BE=82∴AB=2BE=∴S▱ABCD＝AB•DE=16=51245．问题探索：（1）如图1在矩形ABCD中点EF分别在边ABBC上连接CEDF且CE⊥DF于点G若ABAD=2则DFCE问题解决：（2）如图2小明家原有一块四边形菜地其中AB∥CDDA⊥ABAD＝20米CD＝10米CB=105米后经土地资源再分配调整为五边形AEFCD经测量BE＝10米FE⊥BE现需过点F修建一条小路将五边形AEFCD分割成两个区域进行不同的蔬菜种植设计时满足点P在边AD上FP与CB所夹锐角为45°求需修小路PF解题过程：解：（1）在矩形ABCD中点EF分别在边ABBC上连接CEDF且CE⊥DF于点G∴∠DCF＝∠B＝90°∵AD＝BCAB＝CD∴∠DCE+∠BCE＝90°∵CE⊥DFAB∴∠CDF+∠DCE＝90°CD∴∠CDF＝∠BCE∴△CDF∽△BCE∴DF答案为：2（2）过B作BS∥PF交AD于S过C作CH⊥BF交AB于H交BS于Q过Q作MN⊥AB交CD于M交AB于N过C作CK⊥AB交AB于K∴∠QMC＝∠BNQ＝∠BQC＝90°CQ⊥PFMN＝CK＝AD＝20AK＝CD＝10FT＝AE∴∠CQM+∠QCM＝90°∠CQM+∠BQN＝90°BK=B=(10＝10∴∠QCM＝∠BQNFT＝AE＝AK+BK+BE＝30∵FP与CB所夹锐角为45°∴∠QBC＝∠PGC＝45°∴QB＝CQ∵QB2+CQ2＝BC2∴QB＝CQ=在△QCM和△BQN中∠QMC=∠BNQ∴△QCM≌△BQN（AAS）∴CM＝QN∴QM＝MN﹣QN＝MN﹣CM＝20﹣CM由题意可得：（20﹣CM）2+CM2＝CQ2∴CM＝5∴QM＝15∵△QMC∽△FTP∴CQ∴5∴PF=1010故需修小路PF的长101046．如图正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y=kx的图象相交于AB两点其中点A的坐标是（3（1）求反比例函数的表达式．（2）设直线y＝x+b与反比例函数的图象的交点横坐标分别为x1x2（x1＜x2）与直线y＝2x的交点横坐标为x3若x1＜x3＜x2求b的取值范围．解题过程：解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y=kx的图象相交于AB两点其中点A（3∴m=2×3解得：m＝6k＝18∴点A（36）反比例函数的表达式为：y=18（2）∴正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝18/x的图象都关于原点O点对称∴点AB关于原点O对称∴点B的坐标为（﹣3﹣6）当直线y＝x+b经过点A（36）时则6＝3+b∴b＝3当直线y＝x+b经过点B（﹣3﹣6）时则﹣6＝﹣3+b∴b＝﹣3结合函数的图象可知：当x1＜x3＜x2时直线y＝x+b与y＝2x的交点在线段AB上如图所示：∴b的取值范围是：﹣3＜b＜3．47．一座三拱桥横跨于湖面之上三个桥洞L1L2L3均呈抛物线型且抛物线形状相同如图所示以AB中点O为坐标原点AB所在直线为x轴OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知：桥洞L1的最大高度OC为8米跨度AB＝32米桥洞L2L3关于y轴对称且最大高度均为4米．（1）求桥洞L1所在抛物线的函数表达式（2）如图所示现需要在桥洞L2L3上安装两盏靠近y轴的照明灯QP且照明灯的高度都是2米请计算照明灯的水平距离PQ的长度．解题过程：解：（1）由题意得顶点C（08）∴可设桥洞L1所在抛物线的函数表达式为y＝ax2+8．∵AB＝32∴B（160）．∴256a+8＝0．∴a=−1∴桥洞L1所在抛物线的函数表达式y=−132x（2）由题意∵桥洞L1所在抛物线的函数表达式y=−132x2+8且三个桥洞L1L2L∴可设桥洞L2所在抛物线的函数表达式y=−132（x﹣h）2+k桥洞L3所在抛物线的函数表达式y=−132（x+h）2+又∵桥洞L2L3关于y轴对称且最大高度均为4米∴k＝4．∴桥洞L2所在抛物线的函数表达式y=−132（x﹣h）2+4桥洞L3所在抛物线的函数表达式y=−132（x+又∵A（﹣160）B（160）∴−132（16﹣h）∴h＝16+82或h＝16﹣82（舍去）．∴桥洞L2所在抛物线的函数表达式y=−132（x﹣16﹣82）2+4桥洞L3所在抛物线的函数表达式y=−132（x+16+8令y＝2∴x＝8+82或24+82（舍去）x＝﹣8﹣82或﹣24﹣82（舍去）．∴PQ＝8+82−（﹣8﹣82）＝（16+16248．如图在△ABC中AB＝AC以AC为直径的⊙O分别交ABBC于点DE延长