湖南省永州市新田县2025届九年级上学期12月学科素养大赛数学试卷(含解析)

2024年新田县初中学科素养大赛九年级数学（试题卷）温馨提示：1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．3．本试卷满分120分，考试时间90分钟．本试卷共三道大题，14个题．如有缺页，考生须声明．一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上．每小题4分，共32分）1．估计的值应在（

）A．和之间B．和之间C．和之间 D．和之间2．c是a的，c是b的，那么a与b的比是（

）A． B． C． D．3．若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．4．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（

）．A． B．C． D．5．下列图形中阴影部分的面积相等的是（

）

A．②③B．③④ C．①②D．①④6．如图（1），地面上有一个不规则图案，为了求出图案的面积，我们采用以下方法：用一个长为a的正方形，将不规则图案围起来，然后在正方形中随机投掷小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），现将大量有效试验结果绘制成如图（2）所示的折线图，由此估计不规则图案的面积约为（

）A． B．C．D．7．如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（

）A． B．C． D．8．已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(

)A．或 B．或C．或 D．或二、填空题（本大题共4个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题5分，共20分）9．设，，则的取值范围是．10．如图，将边长为15的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离等于．11．方程的正整数解有组．12．由等式，定义一种对应，如：表示，对应的是，记作，那么.三、解答题（本大题共5个小题，共68分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）13．（8分)在车站开始检票时，有（）名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?14．（12分）已知m，n为实数，关于x的方程恒有三个不相等的实数根．（1）求n的最小值；（2）若该方程的三个不相等实根恰为一个直角三角形的三条边长，求直角三角形三边的长．15．（12分）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点C在的中垂线上，且，，如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行.（1）当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，求的长．（2）将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与到的距离之比，则求：的长．（18分）已知：如图，菱形中，对角线，相交于点O，且，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，直线从点D出发，沿方向匀速运动，速度为，，且与分别交于点E，Q，F；当直线停止运动时，点P也停止运动．连接，设运动时间为．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形是平行四边形？（2）设四边形的面积为，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．17．（18分）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、．（1）用含的代数式表示点坐标；（2）若与相似，求出此时的值．（3）过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值．

2024年新田县初中学科竞赛试卷九年级数学（参考答案）一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上．每小题4分，共32分）题号12345678答案ACABACCD二、填空题（本大题共4个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题5分，共20分）9．10．7或8/8或711．312．1．A解：原式，∵，∴，∴；故选：A．2．C解：是a的，c是b的，，，，故选：C．3．A解：∵不等式组有解，∴m＜2，故选A．4．B解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：．故选：B5．A解：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，阴影部分的面积不一定；②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=×2×2=2；③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×4=2；④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1．∴②③的面积相等．故选A．6．C解：根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，正方形的面积为（），设不规则图案的面积为，则，解得：，∴不规则图案的面积约为．故选：C．7．C解：根据中点四边形的性质可知，、是菱形，、是矩形，四边形的面积，四边形的面积四边形的面积，四边形的面积，，四边形的面积，四边形的面积为：．故选：C．8．D解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴．令，则，．将点和点代入，得；将点和点代入，得．∴，，∴，∴．∵，∴，∴．①当时，，∴不符合要求，应舍去；②当时，，∴符合要求；③当时，，∴不符合要求，应舍去；④当时，，∴符合要求；⑤当时，，∴不符合要求，应舍去．综上，t的取值范围是或．故选：D．9．解：，，，，，，故答案为：．10．7或8设，与相交于点，∵是正方形剪开得到的，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵两个三角形重叠部分的面积为，∴，解得，即移动的距离为或．故答案为：或．11．3解：原方程可化为，即，即．结合x，y为正整数可得或或，解得或或，共3组．故答案为：3．12．解：∵，∴比较等式两边的系数得，则，比较等式两边的系数得，则，比较等式两边的系数得，则，比较等式两边的常数项得，则，∴，故答案为：．12．（8分）设一个窗口每分检出的是人，每分来的是人，至少要开放个窗口;

+30=30①,

+10=2×10②,

+5≤5,

由①－②得:=2,

=30-30=30,

30+5≤52，即35≤10,

>0,

在不等式两边都除以10得:

≥3.5,

答:至少要同时开放4个检票口.13．（12分）(1)(2)（1）解：由原方程得：，，两方程的判别式分别为：，，∵原方程有三个根，∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，即中必有一个大于0，一个等于0，比较，显然，∴，，∴，即，∴n的最小值为；（2）解：由，知，得，∵，∴，∴，，∵，∴∴，∵三个不相等实根恰为一直角三角形的三条边长，∴，∴，（舍去），∴直角三角形的三条边长为6、8、10，14．（12分）(1)cm(2)cm（1）连接,过点作于.由题意，,，，，，，，，即，；（2）设∵四边形是矩形，，，，，，，，，，，即，，在中,则有，解得，．16．（18分）（1）；（2）；（3）t=4解：（1）四边形为菱形，，，，，由题意可知：，，则，，，，，，由勾股定理得：，，，当时，四边形为平行四边形，则，；当时，四边形是平行四边形；（2）过作于，则，，，，则；（3）存在，，，则，，解得：，（舍去），，符合题意，当时，．17．（18分）(1)(2)(3)不变；比值为（1）解：∵点纵坐标为，点在上，∴点的横坐标为，∴，设直线的解析式为，∴，解得：∴直线的解析式为联立解得：（舍去）或∴；（2）∵轴，点纵坐标为，∴点的纵坐标为，又∵点在上，∴点的横