2024-2025学年新教材高中数学 第6章 导数及其应用 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性教学实录 新人教B版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性教学实录新人教B版选择性必修第三册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课以“导数与函数的单调性”为主题，通过引入实际生活案例，引导学生理解导数在研究函数单调性中的应用。课程设计注重理论与实践相结合，通过课堂讲解、例题分析和学生自主探究，帮助学生掌握导数与函数单调性的关系，提高学生运用导数分析问题的能力。核心素养目标1.提升逻辑推理能力，通过导数的概念和性质，理解函数单调性与导数的关系。

2.培养数学建模意识，将实际问题转化为数学模型，运用导数解决函数单调性问题。

3.增强数学应用能力，学会将导数应用于实际情境，解决实际问题。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已具备函数概念、极限的基本知识以及导数的初步理解。他们能够运用导数的基本运算，如求导法则，计算简单函数的导数。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学学科普遍具有好奇心和探索欲，尤其是对与实际问题相结合的数学知识。他们的数学能力包括逻辑思维、抽象思维和解决问题的能力。学习风格上，部分学生偏好通过直观图形理解概念，而另一些学生则更倾向于逻辑推导和分析。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在理解导数与函数单调性的关系时，学生可能会遇到以下困难：一是对导数的概念理解不够深入，难以将导数的几何意义与函数的单调性联系起来；二是缺乏将实际问题转化为数学模型的能力，难以将所学知识应用于解决实际问题；三是对于复杂的函数，学生可能在计算导数时遇到困难，如应用高阶导数或复合函数的导数法则。教学资源准备1.教材：确保每位学生都具备人教版选择性必修第三册数学教材，并包含本节课的相关内容。

2.辅助材料：准备与导数和函数单调性相关的图片、图表、动画等多媒体资源，以帮助学生直观理解概念。

3.教学工具：准备计算器、投影仪等，以便演示导数计算过程和展示图形动态变化。

4.教室布置：设置互动讨论区，为学生提供合作学习的机会，并确保教室环境整洁，便于教学活动开展。教学过程一、导入（约5分钟）

1.激发兴趣：

-提问：同学们，你们在生活中遇到过需要判断事物变化趋势的情况吗？比如，如何判断一辆汽车是否在加速或减速？

-展示动态变化的图形，如速度-时间图，引导学生思考图形如何反映物体的运动状态。

2.回顾旧知：

-回顾函数的概念和基本性质，以及极限和导数的初步知识。

-提问：我们之前学习了导数，那么导数与函数的变化有什么关系呢？

二、新课呈现（约25分钟）

1.讲解新知：

-详细讲解导数的定义，包括导数的几何意义和物理意义。

-介绍导数与函数单调性的关系，如导数为正表示函数在该区间上单调递增，导数为负表示函数在该区间上单调递减。

2.举例说明：

-以简单的函数为例，如f(x)=x^2，展示如何计算导数并分析其单调性。

-通过图形展示导数为零时函数的极值点，以及导数符号变化时函数的拐点。

3.互动探究：

-引导学生讨论：如何根据导数的符号判断函数的单调性？

-分组进行实验，让学生尝试对不同的函数进行求导，并观察导数与函数图形的变化关系。

三、巩固练习（约20分钟）

1.学生活动：

-学生独立完成教材中的练习题，包括计算导数、判断单调性等。

-学生之间互相检查作业，共同讨论解决过程中遇到的问题。

2.教师指导：

-教师巡视课堂，解答学生在练习中遇到的问题。

-针对共性问题，进行集体讲解和示范。

四、拓展延伸（约10分钟）

1.提出问题：

-提问：如果函数在某一点处的导数不存在，我们还能判断该点附近函数的单调性吗？

-引导学生思考并尝试解答。

2.分享讨论：

-学生分享自己的思考结果，教师进行总结和点评。

五、课堂小结（约5分钟）

1.回顾本节课的主要内容：

-导数的概念和几何意义。

-导数与函数单调性的关系。

2.强调重点：

-导数是研究函数性质的重要工具，学会利用导数判断函数的单调性是数学学习的重要技能。

六、课后作业（约10分钟）

1.布置作业：

-完成教材中的课后习题，巩固本节课所学知识。

2.鼓励学生：

-鼓励学生在课后继续探究导数在其他数学问题中的应用。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《导数在经济学中的应用》：介绍导数在经济分析中的实际应用，如成本函数、收入函数的边际分析。

-《微分方程简介》：简要介绍微分方程的基本概念，以及导数在解决微分方程中的应用。

-《数学建模与导数》：探讨如何利用导数进行数学建模，解决实际问题。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试分析实际问题，如物理学中的运动学问题，经济学中的成本和收益问题，通过建立数学模型，运用导数解决这些问题。

-鼓励学生探索导数在更复杂函数中的应用，如隐函数求导、参数方程求导等。

-学生可以尝试研究导数在图形变换中的应用，例如，通过导数分析函数图像的伸缩、平移和旋转。

-鼓励学生利用计算机软件（如MATLAB、Python等）进行数值分析，观察导数在函数图形上的表现，加深对导数概念的理解。

-学生可以阅读相关数学史资料，了解导数的起源和发展，以及它在数学和科学中的重要性。

-通过小组合作，学生可以共同完成一个关于导数应用的综合性项目，如设计一个简单的游戏，其中的角色移动速度受导数控制，以此来提高学生的创新能力和团队协作能力。

3.实践活动建议：

-设计一个实验，使用传感器收集物体运动的数据，然后通过导数分析物体的加速度。

-分析一个实际的经济数据集，使用导数来估计经济变量的变化率。

-选择一个艺术作品，如音乐或绘画，尝试用导数的概念来描述其变化和节奏。板书设计①导数概念

-导数的定义：函数在某点处的导数是函数增量与自变量增量之比当增量趋于零时的极限。

-导数的几何意义：函数在某点处的导数表示函数曲线在该点切线的斜率。

②导数性质

-导数的符号：导数为正表示函数在该区间上单调递增，导数为负表示函数在该区间上单调递减。

-导数的零点：导数为零的点称为函数的驻点，可能是极值点。

③导数应用

-判断函数单调性：通过导数的符号判断函数在某个区间上的单调性。

-求函数的极值：利用导数找驻点，进一步判断极值点的性质。

-分析函数的凹凸性：通过二阶导数判断函数的凹凸性。课堂1.课堂提问与讨论：

-通过提问环节，检查学生对导数概念和性质的理解程度。

-设计开放性问题，如“你能举例说明导数在生活中的应用吗？”鼓励学生积极参与讨论，表达自己的观点。

-观察学生在讨论中的表现，包括是否能够清晰阐述自己的观点、是否能够倾听他人意见、是否能够提出建设性意见等。

2.实时反馈与纠正：

-在讲解过程中，注意观察学生的反应，对于学生出现的错误或困惑，及时给予纠正和解释。

-通过提问和示范，帮助学生建立正确的数学思维模式。

3.课堂练习与测试：

-安排课堂练习，让学生在有限的时间内完成导数的计算和单调性分析，以检验学生的实际操作能力。

-对学生的练习进行即时评价，指出错误原因，并给予正确的解答。

4.学生互评与自评：

-引导学生进行互评，鼓励学生互相学习，共同进步。

-学生自评环节，让学生反思自己在学习过程中的收获和不足，培养自我评价能力。

5.课后作业评价：

-对学生的课后作业进行认真批改，关注作业中的错误类型和数量。

-针对学生的作业反馈，给予个性化的指导和建议，帮助学生查漏补缺。

6.评价方式多样化：

-采用多种评价方式，如口头评价、书面评价、实践评价等，全面了解学生的学习情况。

-结合定量评价和定性评价，客观评价学生的学习效果。

7.评价反馈与改进：

-及时将评价结果反馈给学生，鼓励学生继续努力。

-教师根据评价结果，调整教学策略，改进教学方法，提高教学效果。

8.长期跟踪与评估：

-对学生的学习情况进行长期跟踪，观察学生的进步和变化。

-定期进行阶段性评估，了解学生的学习成果，为后续教学提供参考。重点题型整理1.题型一：求函数的导数

-已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f'(x)。

-解答：f'(x)=3x^2-3。

2.题型二：判断函数的单调性

-已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的定义域，并判断其单调性。

-解答：函数的定义域为全体实数。求导得f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，解得x=2。当x<2时，f'(x)<0，函数单调递减；当x>2时，f'(x)>0，函数单调递增。

3.题型三：求函数的极值

-已知函数f(x)=x^3-9x^2+24x-27，求函数的极值点。

-解答：求导得f'(x)=3x^2-18x+24。令f'(x)=0，解得x=2或x=4。进一步分析，当x<2或x>4时，f'(x)>0，函数单调递增；当2<x<4时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，x=2和x=4为极值点。

4.题型四：分析函数的凹凸性

-已知函数f(x)=e^x-x，求函数的二阶导数，并判断其凹凸性。

-解答：f'(x)=e^x-1，f''(x)=e^x。由于e^x恒大于0，所以f''(x)>0，函数在整个定义域上为凹函数。